函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧

1、臨沂市高三二輪會材料函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧新課標下的高考越來越重視考查知識的綜合應(yīng)用， 恒成立問題涉及方程、 不等式、函數(shù)性質(zhì)與圖象及它們之間的綜合應(yīng)用，同時滲透換元、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，考查綜合解題能力，尤其是在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)的更為明顯，也是歷年高考的熱點問題 , 根據(jù)本人的體會，恒成立問題主要有以下幾種 .一、 利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題例 1 已知函數(shù) f (x) x3 (1 a)x2 a(a 2)x b (a,b R) (1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3,求a,b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(

2、1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.解： (1) 由題意得 f (x) 3x2 2(1 a)x a(a 2)又 f(0) b f (0) a(a02)，解得 b 0 ， a 3或 a 13(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)不單調(diào)，等價于導(dǎo)函數(shù)f觸)在(1,1)既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)即函數(shù)f觸)在(1,1)上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有f ( 1)f (1) 0, 即：32(1a) a(a2)32(1 a) a(a 2) 0整理得：(a5)(a 1)(a1)20 ,解得5 a 1所以a的取值范圍是a 5 a 1 .【方法點評】利用函數(shù)的性質(zhì)解決包成立問題，主要是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)

3、用，函數(shù) 在給定的區(qū)間上不單調(diào)意味著導(dǎo)函數(shù)在給定的區(qū)間上有零點， 利用函數(shù)零點的存 在性定理即可解決問題.二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決包成立問題例2已知x 3是函數(shù)f x aln 1 x x2 10x的一個極值點.(1)求 a ;(2)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)問；(3)若直線y b與函數(shù)y f x的圖象有3個交點，求b的取值范圍.【方法指導(dǎo)】(1)在極值點處導(dǎo)數(shù)為零，可以求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問借助f (x) 0可以求出單調(diào)遞增區(qū)間，f (x) 0可以求出單調(diào)遞減區(qū)間；(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可以求出其極大值和極小值，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可以求出b的取值范圍.解：(1)因為 f'

4、x 2x 10,所以 f 3- 6 10 0,因此 a 16.1 x4上 .2'2 x2 4x 3(2)由(1)知，f x 16ln 1 x x 10x,x1, f x 1 x當(dāng) x 1,1 U 3, 時，f x 0;當(dāng) x 1,3 時，f x 0 .所以f x的單調(diào)增區(qū)間是1,1 , 3, f x的單調(diào)減區(qū)間是1,3 .(3)由(2)知，f x在 1,1內(nèi)單調(diào)增加，在1,3內(nèi)單調(diào)減少，在 3, 上單調(diào)增加，且當(dāng)x 1或x 3時，f x 0所以f x的極大值為f 1161n 2 9,極小值為f 3 32ln 2 21因止匕 f 16162 10 16 16ln 2 9 f 1f e2

5、132 1121 f 3所以在f x的三個單調(diào)區(qū)間1,1 , 1,3 , 3, 直線y b有y f x的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng)f 3 b f 1因此，b的取值范圍為321n 2 21,16ln2 9 .【方法點評】數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中常考的思想方法之一，在有關(guān)取值范圍問題、 單調(diào)性問題、最值問題中體現(xiàn)較明顯，同時方程的根及函數(shù)零點也可轉(zhuǎn)化為交點 問題解決.三、分離參數(shù)解決包成立問題例3已知函數(shù)f(x) 1nx a,x(1)當(dāng)a 0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)若f(x) x2在(1,)上恒成立，求a的取值范圍.【方法指導(dǎo)】(1)通過判斷導(dǎo)數(shù)的符號解決；(2)由于參數(shù)a是“孤立”

6、的，可 以分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的單調(diào)性或最值等解決.解：(1)由題意：f(x)的定義域為(0,)，且f (x)月 x xQa 0, f (x) 0,故f(x)在(0,)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2) f (x) x2, In x a x2又x 0, a xln x x3 x6x 3321令g(x) x 1n x x ,h(x) g (x) 1 In x 3x , h (x) xQh(x)在1,)上是減函數(shù)，h(x) h(1)2,即 g(x) 0,g(x)在1,)上也是減函數(shù)，g(x) g(1)1 .令a 1 得a g(x),.當(dāng)f (x) x2在(1,)恒成立時，a的取值范圍是aa 1 .【方法

7、點評】分離參數(shù)是包成立問題中的一種重要解題方法，分離參數(shù)后，構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的最值即可解決包成立問題中的參數(shù)取值范圍.四、利用兩個函數(shù)的最值解決包成立問題例4 2014 新課標全國卷I 設(shè)函數(shù)f(x)=aex1n x +星一,曲線y = f(x) x在點(1, f(1)處的切線方程為y = e(x1)+2.(1)求 a b；(2)證明：f(x)>1.解：(1)函數(shù) f (x)的定義域為(0 , +oo) f'(x) = aexln x+aex-4ex 1+-ex x x x-1.由題意可得 f(1) =2, f' (1) =e,故 a= 1, b=2.x2 x 1x(

8、2)證明：由(1)知，f(x)=eln x+xe ,從而 f(x)>1 等價于 xln x>xe2一e.設(shè)函數(shù) g(x)=xln x,則 g' (x) = 1+ln x,所以當(dāng) xC (0,1)時，g' (x)<0；當(dāng) xC(1,)時,g' (x)>0. ee一 .11故g(x)在(0,-)上單調(diào)遞減，在(-，)上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0, +oo) ee一 ，一，11上的最小值為g(1)=1.e e設(shè)函數(shù) h(x) = xe x-2,則 h' (x) =e-x(1 x).所以當(dāng) x (0 , 1)時， eh' (x)>

9、0；當(dāng) xC (1 , +oo)時，h' (x)V0.故h(x)在(0 , 1)上單調(diào)遞增，在(1 , +8)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0, 十°°)上的最大值為h(1) =-1.e1因為 gmin(x) = g() =h(1) =hma(x), e所以當(dāng) x>0 時，g(x)>h(x),即 f(x)>1.五、不等式中的包成立問題2x 1例 5 (2016?山東)已知 f(x) a(x In x) *,a R.x(1)討論f(x)的單調(diào)性；3(2)當(dāng)a 1時，證明f(x) f (x):對于任意的x 1,2恒成立.2解：(1) f(x)的定義域為(

10、0,) , f (x) a a -2 -3 (ax髻一)x xxx當(dāng)a 0時，若x (0,1),則f(x) 0, f(x)單調(diào)遞增,若x (1,)，則f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減.當(dāng) a 0時，f (x)注6(x J2)(x J-). xa i a(i)當(dāng) 0 a 2時，J| 1.當(dāng) x (0,1)或 x (J2,)時，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增.當(dāng) x (1,J2)時，f (x) 0,f(x)單調(diào)遞減.(ii)當(dāng)a 2時，Jj 1,在區(qū)間(0,)內(nèi)，f (x)0,f(x)單調(diào)遞增.(iii)當(dāng) a 2時，0 J： 1.當(dāng) x oj)或 x (1,)時，f (x) 0, f(x)

11、單調(diào)遞增，當(dāng)x (J；,1)時，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)a 0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減;當(dāng)0 a 2時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，；)上單調(diào)遞減，在(J1,)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 2時，”*)在(0,)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a 2時，f(x)在(0, 、，!)上單調(diào)遞增，在(1)上單調(diào)遞減，在(1 , + 8)上單調(diào)遞增.證明：由知，當(dāng)a 1時，f (x) f (x) x In x2x 12- x(1In xx 1,2設(shè) g(x) x In x,h(x)312一二二 1,x 1,2,則 f (x) f (x) g(x) h(x). x

12、 xx由 g (x)0,可得g(x) g(1) 1,當(dāng)且僅當(dāng)x 1時取得等號.3x 2x 6.又h(x) 4.設(shè)(x) 3x 2x 6,則 (x)在1,2上單調(diào)遞減.x因為(1) 1, (2)10,所以 x0 (1,2),使得當(dāng) x (1,%)時，(x) 0, x (%,2)時，(x) 0.所以h(x)h(x)在(1,刈)上單調(diào)遞增，在(x0,2)上單調(diào)遞減.11由 h(1) 1,h(2),可得 h(x) h(2),22當(dāng)且僅當(dāng)x 2時取得等號.3所以 f(x) f (x) g(1) h(2)23即f(x) f (x) 3對于任意的x 1,2成立. 2六、利用包成立問題求參數(shù)的取值范圍例6 (

13、2015 北京)已知函數(shù)。(1)求曲線在點處的切線方程；求證：當(dāng)時，；設(shè)實數(shù)k使得對恒成立，求k的最大值。解：(1),所以切線方程為(2)原命題造價于任意，設(shè)函數(shù)，0當(dāng)時，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)。，因此任意。3(3)由(2)知，當(dāng)k 2時，f(x)>k(x 彳)對xC(0, 1)恒成立.3當(dāng) k>2 時，令 h(x) =f(x) k(x 圣)，則 3h' (x)=f，(x) k(1 +x2)kx4 (k 2)1 x2所以當(dāng)0<x<故當(dāng)0<x<yi時，h'(x)<0,因此h(x)在區(qū)間(0,4口：2)上單調(diào)遞減.k2 r幡x3時，h(x)

14、<h(0) =0,即 f(x)<k(x ).k33所以當(dāng)k>2時，f(x)>k(x3)并非對xC(0, 1)恒成立.綜上可知，k的最大值為2.【方法總結(jié)】研究不等式f (x) 0在區(qū)間A上包成立，求其中參數(shù)a的取值范圍問題，一般有兩種方法：直接轉(zhuǎn)化為研究帶參數(shù)的動態(tài)函數(shù)y f(x)在區(qū)間A上的最小值.由于函數(shù)y f(x)帶有參數(shù)，它在區(qū)間A上的單調(diào)性會由于參數(shù)a 的不同而變化，因此需要分類討論.由于函數(shù) y f(x)的單調(diào)性和其導(dǎo)函數(shù)在區(qū) 間A上的零點個數(shù)有關(guān)，問題最后都歸結(jié)為就函數(shù)y f (x)在區(qū)間A上的零點個 數(shù)進行分類討論.問題(2)中的方法一就是遵循這一思路；是將不等式f(x) 0 作變形，將參數(shù)a和變量x進行分離，將不等式轉(zhuǎn)化為h(a) g(x)(或 h(a) g (x),利用極值原理，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y g (x)在區(qū)間A上的最大值(或最小值)的問題.七、變形構(gòu)造函數(shù)解答包成立問題 例7已知函數(shù).(1)求證在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞減；(2)若不等式是自然對數(shù)的底數(shù))對任意的都成立，求實數(shù)