上海高二數(shù)學(xué)矩陣及其運算有詳細(xì)答案

1、矩陣及其運算一.初識矩陣 (一)引入：uur引例1：已知向量OP1,3 ,如果把OP的坐標(biāo)排成一列，可簡記為引例2: 2008年北京奧運會獎牌榜前三位成績?nèi)缦卤?我們可將上表獎牌512128363836 ;2321282x3:將方程組3x4x（二）矩陣的概念1、上述形如2、在矩陣中,b1b2bn獎項 國家(地金牌銀牌銅牌中國512128美國363836俄羅斯2321283y2ymz4znz若將常數(shù)項增加進(jìn)去,5136232138212836 、28水平方向排列的數(shù)組成的向量中未知數(shù)x, y, z的系數(shù)按原來的次序排列則可簡記為:可簡記為這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。耳e2,an稱為行向量;垂直方向排

2、列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由m個行向量與n個列向量組成的矩陣稱為n階矩陣，m n階矩陣可記做51Am n,如矩陣1為2 1階矩陣，可記做 A21;矩陣363232138212836為3 3階矩陣，可記做A3 3。28有時矩陣也可用 A、B等字母表示。3、矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的元素，在一個m n階矩陣Am n中的第i (i m)行第j ( j n)21 o0 0，人為一個2 3階零矩陣。0 05、當(dāng)一個矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時,這個矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，一個方陣有n行（列），可稱此51方陣為n階方陣，如矩陣 3621 2838 36、均為三階方陣。在一個 n階方陣中，從左2321 28上

3、角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為1,其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣110,_八_為2階單位矩陣，矩陣 00 100為3階單位矩陣。6、如果矩陣 同階矩陣, A B 。A與矩陣B的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么A與B叫做同階矩陣；如果矩陣A與矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它們對應(yīng)位置的元素都相等時，那么矩陣A與矩陣B叫做相等的矩陣，B是記為7、對于方程組2x3x3y2ymz 14z 2中未知數(shù)x, y,z的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣4xnz 44 ,我們叫做方程組的 系數(shù)矩陣；而矩陣 312叫做方程組的 增廣矩陣。51 21 28列數(shù)可用字母a。表示，如矩陣 36 38 36第3行第

4、2個數(shù)為a3223 21 284、當(dāng)一個矩陣中所有元素均為 0時，我們稱這個矩陣為 零矩陣。如00階段 姓名第1組第2組第3組第4組總成績張娟娟26272928110樸成賢29262628109一 2 x例2、已知矩陣A, B2x a 2b2a且A B ,求a、b的值及矩陣A。 y（三）、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國第一位奧運會射箭比賽金牌得主張娟娟與對手韓國選手樸成賢在決賽中的各階段成績 表：（1）將兩人的成績各階段成績用矩陣表示；（2）寫出行向量、列向量，并指出其實際意義。例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣:2x 3y 1(1) ;4x y 6(2)2x2y3y3z2z 5 0(2)例4、已

5、知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的方程組:(1)例5、已知矩陣sincos為單位矩陣，且sincos, ，求 sin 2的值。（四）、課堂練習(xí)：1、請根據(jù)游戲“剪刀、 則為0）。石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個3階方陣（勝用1表示，車用 1表示，相同2、奧運會足球比賽中國隊所在 中國平新西蘭1 ： 1 巴西勝新西蘭5 : 0（1）試用一個4階方陣表示這C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下:巴西勝比利時1 ： 0中國負(fù)巴西0 : 34個隊之間的凈勝球數(shù);（2）若勝一場可得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分,中國負(fù)比利時0 ： 2比利時勝新西蘭0 ： 1（以中國、巴西、比利時：新西蘭為順序排列）試寫出一個4

6、階方陣表示各隊的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（ 各隊名次。二、矩陣的三種基本變換1）、（2）兩個矩陣確定（一）、復(fù)習(xí)引入：弓I例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對應(yīng)線性方程組解的關(guān)系,從中你能得到哪些啟發(fā)?(1)(2)1(3)1(4)(二)32136、矩陣的三種基本變換(5)新課講解:1361(6)013(1)(2)(3)通過上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：互換矩陣的兩行；把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；某一行乘以一個數(shù)加到另一行。顯然，通過以上三個基本

7、變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后 一個列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價值132元，每公斤一元硬幣價值 165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣,總數(shù)共計462個，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組例3、運用矩陣變換方法解方程組:ax2x4x7x5x3y 2 y b3y2y2y3z54的解。(a、b為常數(shù))說明:(1)符合情況i)時，方程組有唯一解，此時兩個線性方程所表示的直線相交；(2)符合情況ii)時，兩個線性方程所表示的直線平行，此時方程組無解；(3)符合情況ii

8、i)時，兩個線性方程所表示的直線重合，此時方程組有無窮多解。(四)、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問題:(1)若方程組 x y 2的解x與y相等，求k的值。(k 1)x (k 1)y 4(3)解方程組:第二次稱量(2)有黑白兩種小球各若干個，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡, 如果每只祛碼質(zhì)量均為 5克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？三、矩陣運算(對從實際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們在什 么條件下可以進(jìn)行何種運算，這些運算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容1 .相等定義如果兩個矩陣A30 mn(1)(2)則稱矩

9、陣行、列數(shù)相同，即 對應(yīng)元素相等，即 A與矩陣B相等,m s, na。bj (P；=1,2,，m； j = 1,2,，n ),(由矩陣相等定義可知, 矩陣記作 A = B同等式表示兩個n矩陣相等，等價于元素之間的 m n個等式.)例如,“ a11A=321a12a13a22a23那么A = B,當(dāng)且僅當(dāng)311 = 3 , 312 = 0,313 = -5a2i = -2322 = 1C= G1 G2C21c22C11, C12,C21,C22取什么數(shù)都不會與矩陣B因為B C這兩個矩陣的列數(shù)不同，所以無論矩陣 C中的元素 相等.2.加法定義2.3設(shè)A20，Bbiij s p是兩個m n矩陣,則稱

10、矩陣a2n6nb2nC二ana2i3b21a12 a22bl2b22為A與B的和，記作am1bm1am2bm2amnbmnaijbij.)（由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個矩陣，才能作加法運算同樣，我們可以定義矩陣的減法:B = A + (- B ) = aijbj稱D為A與B的差.例1設(shè)矩陣A =34-，求 A + B, A - 1例2、矩陣Acoscostantantan tan101(0, 2)，(2,)，求sin 恐的值。矩陣加法滿足的運算規(guī)則是什么?3.數(shù)乘為任意實數(shù)，則稱矩陣C 0為數(shù)定義2.4 設(shè)矩陣Aa.ij m n '與矩陣A的數(shù)乘，其中Cijaj (i

11、 1,2, ,m;j 1,2, n),記為C = A.特別地，當(dāng) =-1（由定義2.4可知，數(shù) 乘一個矩陣A,需要用數(shù) 去乘矩陣A的每一個元素 時， A = - A,得到A的負(fù)矩陣.）3例3設(shè)矩陣A =475 ,用2去乘矩陣A,求2A.數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)則是什么?對數(shù)k , l和矩陣A = aH, B = bii滿足以下運算規(guī)則:ij m nij m n1.數(shù)對矩陣的分配律：k （ A + B ） = kA + kB；例4設(shè)矩陣A =50 , B=832 ，求 3A - 2 B.7例5 .給出二元一次方程組a1x b1ya2x b2yc1存在唯一解的條件。C24.乘法某地區(qū)甲、乙、丙三家商場

12、同時銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣A表示各商場銷售這兩種家用電器的日平均銷售量(單位：臺),用B表示兩種家用電器的單位售價(單位：千元)和單位利潤(單位：千元)：III單價利潤20102511183.5 B=50.81.2III用矩陣C = cj 3 ,表示這三家商場銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤，那么C中的元素分別為3 2總總收利入潤20 0.8 10 1.225 0.8 11 1.218 0.8 9 1.2c11g2203.5105C =c21c22=253.5115C31c32183.59512028142.5133.210825.2其中，矩陣C中的第 行第j列的元素是矩陣 A

13、第行元素與矩陣B第j列對應(yīng)元素的乘積之和矩陣乘積的定義設(shè)A=aij是一個ms矩陣，B= bj是一個sn矩陣，則稱m n矩陣C = cj為矩陣 A與 B 的乘積，記作 C= AB 其中 Cij = ai1b1 j + a2b2 j + + a s bs j =(= 1, 2,m j = 1,2,，n ).(由矩陣乘積的定義可知：)(1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣 B的行數(shù)時，A B才能作乘法運算AB；(2) 兩個矩陣的乘積 AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣 A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣 B的列數(shù);(3) 乘積矩陣AB中的第 行第j列的元素等于 A的第 行元素與B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和，

14、故簡稱行乘列的法則.8 ,計算AB10例7設(shè)矩陣A=由例6、例7可知當(dāng)乘積矩陣 AB有意義時,求AB和BABA不一定有意義；即使乘積矩陣 AB和BA有意義時,例6設(shè)矩陣A=AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時， 一定要注意乘法的次序， 不能隨意改變.在例6中矩陣A和B都是非零矩陣(A O B O ),但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個零矩陣 (AB = Q,即兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣 .因此，當(dāng)AB= Q不能得出A和B中至少有一個是零 矩陣的結(jié)論.一般地，當(dāng)乘積矩陣 AB= AC且A O時，不能消去矩陣 A而彳#到B= C這說明矩陣乘法也不滿 足消去律

15、.那么矩陣乘法滿足哪些運算規(guī)則呢?一 八 0 11,例8：已知A，矩陣B ，求AB。1 02“2 、一，1 ，-解：AB ,這可以看作向重 經(jīng)過矩陣變換為向重12對稱。變換后的向量與原向量關(guān)于直線_10練習(xí)：已知A,矩陣B01,(1)求AB; (2)說明矩陣 A對向量B產(chǎn)生了怎樣的變換。練習(xí)：計算下列矩陣的乘法b1b2(1) (a1a2 L 4) L2 ; (2)bna2L(bb2 Lbn)。例9、已知矩陣Af(x) , B x 1 x , Cx,若A=BC求函數(shù)f(x)在1,2 上的最小值. 2a例10：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式2x y 3z 12x y 1(1); 4x 2y 3

16、z 1。4x 3y 72x y 4z 1例11：若ABBA,矩陣B就稱為與 A可變換，設(shè) A,求所有與 A可交換的矩陣?yán)?12、A1 0 12 0 ,求 Ak (k 2,3, ).111.0. n *練習(xí)：設(shè)A 0 ，求A2、A3，猜測An（n N ）并證明。5.轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置的定義把將一個m n矩陣a1a2a1na21a22a2nam1am 2amn的行和列按順序互換得到的n mt陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A ,即a11 a21am1Aa12 a22am2A =an a2namn簡記為由定義2.6可知，轉(zhuǎn)置矩陣 A的第 行第j列的元素等于矩陣 A的第j行第 列的元素, A的（，j）元=A的（j

17、 ,）元矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)則：1. （A） = A;2. （A B） =A + B ；3. （kA） = kA , （k 為實數(shù)）；4. （AB） =B A .高二A數(shù)學(xué)講義第十八講（130812）課后作業(yè)（本試卷共19題，時間45分鐘，滿分100分）班級：姓名：一、選擇題（每小題4分，共15個小題，共60分）1、“兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個矩陣相等”的（）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件D 、既不充分又不必要條件2x 3y 2升日2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組，其中正確的是（x 2y 1232 x 2D 、12 1 y 11420 ,且2A 3X

18、B,則矩陣X5324、點A (1 , 2)在矩陣02對應(yīng)的變換作用下得到的點的坐標(biāo)是1-0 0a 口人 °5、已知是一個正三角形的三個頂點坐標(biāo)所組成的矩陣，那么 a+b= .0 2b6、若點A，.2 a(2,2、 cos）在矩陣sinsin對應(yīng)的變換作用下得到的點為（1 , 0）,那么acos7、若點A在矩陣2對應(yīng)的變換作用下下得到的點為（22, 4）,那么點A的坐標(biāo)為8、已知cos sincossin129、設(shè)A為二階矩陣,其元素滿足,a a ij ji0 i=12,j=12,且a12 a212,那么矩陣人=A+AB=11、一個線性方程組滿足,系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1行3列的矩陣

19、（1,2, 1）,那么該線性方程組12、計算：若矩陣Acos60sin60sin60cos6012322 ，則 AB12113、計算：'114.線性方程組,增廣矩陣是x y 6 0對應(yīng)的系數(shù)矩陣是3x 5y 4 015、已知矩陣21 , B ( 1,2),30 ,則(AB)C2二、簡答題1.已知A,分別計算A2、A3,猜測An (n 2, n）；2.3.4、3x2x已知矩陣2y 11f(x)sin x cosx 2sin x , Ccosx,若A=BC求函數(shù)sin xf(x)在叼將下列線性方程組寫成矩陣形式，并用矩陣變換的方法求解上的最小值.老師講義130812)2013年暑期高二A數(shù)

20、學(xué)講義第十八講（ 矩陣及其運算一.初識矩陣 （一）引入：，引例1：已知向量uurOP1,3,如果把OP的坐標(biāo)排成一列，可簡記為引例我們可將上表獎牌512128363836 ;232128獎項 國家（地由金牌銀牌銅牌中國512128美國363836俄羅斯2321282x 3y mz 1引例3:將方程組3x 2y 4z 2中未知數(shù)x,y,z的系數(shù)按原來的次序排列，可簡記為4x y nz 42 3m3 24;若將常數(shù)項增加進(jìn)去，則可簡記為:4 1 n(二)矩陣的概念2 3m32441 n51 21 28，一 11、上述形如、36 38 36323 21 283m1242這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。1n

21、42、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量a),a2, an稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量b1b2稱為列向量；由m個行向量與n個列向量組成的矩陣稱為m n階矩陣，m n階矩陣可記做bn2836為3 3階矩陣，可記做A332851 21Am n,如矩陣1為2 1階矩陣，可記做 A21；矩陣36 3823 21有時矩陣也可用 A、B等字母表示。3、矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的元素，在一個m n階矩陣Am n中的第i (i m)行第j ( j n)51 21 28列數(shù)可用字母aij表示，如矩陣 36 38 36第3行第2個數(shù)為a32 21。23 21 28，人， 工,-0000，人4、當(dāng)一個矩

22、陣中所有元素均為0時，我們稱這個矩陣為 零矩陣。如為一個2 3階零矩陣。0 0 0上角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為5、子-個矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時，這個矩陣稱為5121282方陣為n階方陣，如矩陣 363836、32321284方矩陣，簡稱方陣，一個方陣有n行(列)，可稱此3 m2 4 均為三階方陣。在一個 n階方陣中，從左1 n1,其余元素均為零的方陣，叫做 單位110, 一八，二八二矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣 00 106、如果矩陣 A與矩陣B的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么0 01 0為3階單位矩陣。0 1A與B叫做同階矩陣；如果矩陣 A與矩陣B是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)

23、它們對應(yīng)位置的元素都相等時，那么矩陣A B 。對于方程組A與矩陣B叫做相等的矩陣，記為2x 3y mz 13X 2y 4z 2中未知數(shù)x, y,z的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣4x y nz 43m224 ,我們叫做方程組的 系數(shù)矩陣；而矩陣 31n43m1242叫做方程組的 增廣矩陣。1n 4、各階段第1組第2組第3組第4組總成績p張娟娟262729；28110樸成賢29262628109(三)、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國第一位奧運會射箭比賽金牌得主張娟娟與對手韓國選手樸成賢在決賽中的各階段成績 表：(1)將兩人的成績各階段成績用矩陣表示；(2)寫出行向量、列向量，并指出其實際意義。左26

24、 27 29 28 110解：(1)29 26 26 28 109ur(2)有兩個行向量，分別為：a126 27 29 28 110 ,uuua229 26 26 28 109 ,它們分別表示兩位運動員在決賽各階段各自成績；ir26uu 27ur 29uuu 28ur 110有五個列向量，分別為b,b2,b3,b4,b529262628109它們分別表示兩位運動員在每一個階段的成績。2 x例2、已知矩陣A, B2x a 2b2aB ,求a、b的值及矩陣A。x , 口ax y 2 , /口 x解：由題息知：解得：2x yy例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：b 2aa 2b解得:14(1)2x

25、3y 14x y 6x 2y 3z 2 0(2)x 3y 2z 5 02x y z 3 0(2)1左2解：（1）4例4、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的方程組:(2)(1)解：（1）2x3y2y(2)例5、已知矩陣sincos2x3y3xy2z2zsin為單位矩陣，且的值。解：由單位矩陣定義可知:cossincossincos.2sinsinO2（四）、課堂練習(xí):1、請根據(jù)游戲則為0）。“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個3階方陣（勝用1表示，車用 1表示，相同0解：1（2）若勝一場可得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分, 列順序與（1）相同）中國負(fù)比利時0 ： 2比利時勝新西蘭0 ：

26、1（以中國、巴西、比利時、新西蘭為順序排列）試寫出一個4階方陣表示各隊的得分情況；（排2、奧運會足球比賽中國隊所在 中國平新西蘭1 ： 1 巴西勝新西蘭5 : 0（1）試用一個4階方陣表示這C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下:巴西勝比利時1 ： 0中國負(fù)巴西0 : 34個隊之間的凈勝球數(shù);（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分, 各隊名次。同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個矩陣確定“3解：(1)2(2)3， 一 一，一 一、，（3）名次為巴西、比利時、中國、新西蘭。3二、矩陣的三種基本變換（一）、復(fù)習(xí)引入:弓I例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對應(yīng)線性方程

27、組解的 關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？(1)(2)(3)1(4)0132 2113661 08(5)八 113066(6)1 0 80 1 13解：這些方程組為2x y 33x 2y 2133x 2y 2 x 2y 22x y 322x y 331x 2y16y136x 8113；x 8y 13這些增廣矩陣所對應(yīng)的線性方程組的解都是相同的。（二）、矩陣的三種基本變換 新課講解：通過上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個數(shù)加到另一行。顯然，通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成

28、單位矩陣，這時增廣矩陣的最后 一個列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價值 132元，每公斤一元硬幣價值 165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣,總數(shù)共計462個，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）x y 462解：設(shè)一元硬幣有 x個，五角硬幣有 y個，則根據(jù)題意可得:x 0.5y165 13211462則該方程組的增廣矩陣為A11,設(shè)、分別表示矩陣 A的第1、2行，對矩2165 264陣A進(jìn)行下列變換:-加到5不變11462-11462332 一'1166165 26458404621323不變1 1 462（1）加到 1 0

29、 1100 1 3520 1 352由最后一個矩陣可知:x 110y 352答：一元硬幣有110個，五角硬幣有 352個。4x 3y z 5例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組7x 2y z 4 的解。5x 2y 3z 8431 5解：此方程對應(yīng)的增廣矩陣為:7214523 84315加到1150972143加到721145238不變264020設(shè)此矩陣第1、2、3行分別為、，對此矩陣進(jìn)行下列變換:（2）加到（5）加到不變11 5 0 97 2 1400162 6 0 16、不變2132132032431竺430 10 436加到cc32“0 0瓦（13）加到432016不變105交換、不變

30、32437436643此方程組的解為32437436643說明：1、利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個行向量所對應(yīng)的方程只有一個變量;2、在變換過程中，實際為加減消元的過程,化簡運算。此過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點，運用適當(dāng)?shù)某绦蜻M(jìn)行例3、運用矩陣變換方法解方程組:ax 3y2x y2（ a、b為常數(shù)） b解：此方程組對應(yīng)的增廣矩陣為:,設(shè)、分別表示此矩陣的第1、2行,對此矩陣進(jìn)行下列變換:3加到不變0 2 3bi)當(dāng) a 6 0,6時，以上矩陣可作如下變換:不變2 3ba 6b(1)不變2 3ba 64 aba 6（2）加到不變此時方程有唯一解ii)當(dāng) a 66時，若23b20即b 時, 3iii)

31、當(dāng) a 66時且b2 3ba 6ab 42 3ba 64 aba 6方程組無解;2時，方程組有無窮多解，它們均符合36x3y 2 0。說明：（1）符合情況i）時，方程組有唯一解，此時兩個線性方程所表示的直線相交；（2）符合情況ii）時，兩個線性方程所表示的直線平行，此時方程組無解；（3）符合情況iii）時，兩個線性方程所表示的直線重合，此時方程組有無窮多解。（四）、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問題：(1)x若方程組（ky 2 1)x(k1)y的解x與4y相等，求k的值。解:2k解得1，口,由題息知:kk求得：k2。有黑白兩種小球各若干個，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好

32、平衡,如果每只祛碼質(zhì)量均為 5克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克?第一次稱量第二次稱量x 2y 53x y 10解：設(shè)黑球和白球的質(zhì)量各為 x、y千克，則由題意知:通過矩陣變換1 2 53 1 108z 1055151125012226x 10 113112 50 6 1 13125103011011解得：黑球每個3千克，白球每個1千克。3x 2y z 0(3)解方程組：x y 2z 55x 7 y3210解：112 5578110 0 1010 2即方程組的解為y2。00 11z1三、矩陣運算(對從實際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們在什 么條件下可以

33、進(jìn)行何種運算，這些運算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容1 .相等定義如果兩個矩陣A aj, B bj 滿足：j m n)f s p(1) 行、列數(shù)相同，即 ms, np；(2) 對應(yīng)元素相等，即aij =bj (= 1,2,，3j = 1,2,，n ),則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A = B(由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個m n矩陣相等，等價于元素之間的m n個等式.)例如,矩陣A=那么A = B,當(dāng)且僅當(dāng)an = 3 ,而ana12a13a21a22a23212 = 0,a13 = -5a21 = -2a22 = 1c G1C12C二C21C22所以無論矩陣C中的元素C11

34、, C12,C21,C22取什么數(shù)都不會與矩陣B因為B C這兩個矩陣的列數(shù)不同, 相等.2.加法定義2.3設(shè)Aajmn，Bbj sp是兩個m n矩陣，則稱矩陣為A與B的和，記作anb11a12bl2an"na21b21a22b22a2nb2nam1bm1am2bm2amnbmnC=C = A + B =aijbij（由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個矩陣，才能作加法運算.)同樣，我們可以定義矩陣的減法:A + (-a.b.ij ij稱D為A與B的差.例1設(shè)矩陣A =32例2、矩陣A(0, 2)B,cos costan2)03)2)03)tantantan2101(-,)，

35、求 sin 2的值。3(0,-)22解：由A+B=C知:cos a cos 210tan a1-tan+ tana tan=-1;=7tan(tan tan1 tan tank ,k由于(2, )知:從而sin(2 /)-；cos(10矩陣加法滿足的運算規(guī)則是什么?3.數(shù)乘為任意實數(shù)，則稱矩陣 C定義2.4設(shè)矩陣Aajmn，Gj m n為數(shù) 與矩陣A的數(shù)乘，其中 隊 a。(i 1,2，, m; j 1,2, n),記為(由定義2.4可知，數(shù)乘一個矩陣C = AA需要用數(shù)去乘矩陣A的每一個元素.特別地，當(dāng) =-1時， A = - A,得到例3設(shè)矩陣A的負(fù)矩陣.)那么，用2去乘矩陣A可以得到4)2

36、1)0141012數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)則是什么?24B =32 ，求 3A - 2 B.3例4設(shè)矩陣A = 5解先做矩陣的數(shù)乘運算3A 和 2B,然后求矩陣3A與2B的差.(2)3 0153A = 35313 6318(3)2161)143 A - 2 B=15161418例5 .給出次方程組a1xa2xbyb2yC1c2解：原方程組可以表示成a2存在唯一解的條件。，其中a1 a?c2理可知，當(dāng)向量a1a2bib2不平行時,向量C1c2可表不成向量aia2是三個列向量，由平面分解定b 岫的線性組合，且系數(shù)x、y唯b2,那么對應(yīng)的方程組有存在唯一解，即aba2bl 。A表示各商場銷售這兩種家4.

37、乘法某地區(qū)甲、乙、丙三家商場同時銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣用電器的日平均銷售量（單位：臺）,用B表示兩種家用電器的單位售價（單位：千元）和單位利潤（單位：千元）：III單價利潤用矩陣C =其中，矩陣20251810113.5 B=50.81.2IIIQ。表示這三家商場銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤，那么 3 2120142.5108c11c12203.5105200.8101.2c21C22=:253.5115250.8111.2c31c32183.595180.891.2C =2833.225.2C中的元素分別為C中的第行第j列的元素是矩陣行元素與矩陣B第j列對應(yīng)元素的乘積之和

38、矩陣乘積的 定義 設(shè)A= aj是一個m s矩陣,B=bij 是一個 sn矩陣，則稱m n矩陣C = cj(=1, 2,為矩陣A與B的乘積，記作 C= AB其中cj = ah j + a2b2 j + a s bs j =mi j = 1,2,，n ).(由矩陣乘積的定義可知：)(1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣 B的行數(shù)時，A B才能作乘法運算AB;(2) 兩個矩陣的乘積 AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣 A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣 B的列數(shù);乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于 A的第 行元素與B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和,故簡稱行乘列的法則.例6設(shè)矩陣A=810,計算AB解 AB=9

39、87 102 9 ( 1) (7)4 9 0 ( 7)2 ( 8) ( 1) 104 ( 8)10252636323 9 5 ( 7)3 ( 8) 5 10826在例6中，能否計算BA>由于矩陣B有2歹U,矩陣A有3行，B的列數(shù) A的行數(shù)，所以BA是無意義的例7設(shè)矩陣A=2, 求AB和BA 1解AB=2 24 ( 1)2 (12 2(1)1 (2) 4 1 _ 0 02) 2 10 0(2) 1 2 4 ( 2) 22 1 114 1222 2 42 2BA=11121由例6、例7可知，當(dāng)乘積矩陣 AB有意義時,BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時,定要注意乘法的次序,在例6

40、中矩陣A和B都是非零矩陣(A O BO),但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個零矩陣(AB = Q,即兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當(dāng)AB= Q不能得出A和B中至少有一個是零矩陣的結(jié)論般地，當(dāng)乘積矩陣 AB= AC且A O時，不能消去矩陣A而彳#到B= C這說明矩陣乘法也不滿AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時,不能隨意改變足消去律.那么矩陣乘法滿足哪些運算規(guī)則呢?矩陣乘法滿足下列運算規(guī)則：1. 乘法結(jié)合律2. 左乘分配律(AB C= A(BC;A (B + C) = AB+ AC右乘分配律3. 數(shù)乘結(jié)合律例8:已知解：AB(B + C) A = BA

41、+ CAk (AB)= (k A) B = A (k B),其中 k 是一個常數(shù).這可以看作向量1-，求 AB。2經(jīng)過矩陣變換為向量2 。變換后的向量與原向量關(guān)于直線1對稱。練習(xí):已知(1)求 AB;(2)說明矩陣 A對向量B產(chǎn)生了怎樣的變換。練習(xí):計算下列矩陣的乘法(1)(aa2an)b1 b2 La2 L(b1b2bn)°bnan解：略解(1)列;例9、已知矩陣f(x)2a,若A=BC求函數(shù)f(x)在1,2 上的最小值解：.BC=x=x22a2a(1x) , Af(x)f(x) x22ax 2a (xa)22a a21,2函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為f(2)4 2a .當(dāng)1w

42、av2時，函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為f(a) 2a a2.當(dāng)a<1時，函數(shù)f (x)在1,2上的最小值為f(1)1 f (x)min 2a2a2a(a(1 a(a2)2)1)點評：(1)本題運用了行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則及兩個矩陣相等的充要條件;(2)求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，通常需要分類討論例10:將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式2x y 1(1),4x 3y(2)解：（1）例11：若ABBA,矩陣解：設(shè)與A可交換的矩陣BAa11a!1&212、2x4x2xa21a21a22y2y(2)3z3z4zB就稱為與 A可變換,anABA2,則AB a22a11,

43、求所有與 A可交換的矩陣B。a12a22a11a11a110a11am解:A2BA,得 a21a12a22a21a11,解得 a12a210a11a22a21a22a12取任意實數(shù)時，所得的矩陣與A可交換。(k2,3,)022可以利用數(shù)學(xué)歸納法證得:Ak20k練習(xí)：設(shè)A，求A2、A3,猜測An(n）并證明。解：A2 AAA3A2AAn1 n e ,，一 ,用數(shù)學(xué)歸納法證明。0 15.轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置的定義把將一個m n矩陣a!1a!2a1nA a21A =a22a2n的行和列按順序互換得到的 n mg陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A ,即am1am2amna11a21am1A =%a22am2a2namn由定義2.6可知，轉(zhuǎn)置矩陣 A的第 行第j列的元素等于矩陣 A的第j行第 列的元素，簡記為A的（，j）元=A的（j ,）元矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)則：1. (A) = A;2. (A B) =A + B ;3. （kA） = kA , （ k