初中七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題22直線、射線與線段

1、初中七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)） 專題 22 直線、射線與線段（閱讀與思考構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線，在幾何圖形中，點(diǎn)無(wú)大小，線無(wú)寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物，點(diǎn)與線有著密切的聯(lián)系，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成線，線與線相交的地方形成點(diǎn)，一條線確定了兩個(gè)端點(diǎn)，線的長(zhǎng)短也就確定了，從這個(gè)意義上講，點(diǎn)是線的界限在線中，最簡(jiǎn)單、最常見(jiàn)的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質(zhì)及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎(chǔ)，解與直線、射線、線段相關(guān)問(wèn)題常涉及如下知識(shí)與方法：1直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系2線段中點(diǎn)的概念3枚舉法、分類討論法例題與求解【例1】已知一條直線上有A,

2、B, C三點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P, AB=10,線段BC的中點(diǎn)為Q,BC=6,則線段PQ的長(zhǎng)為.（ 江蘇省競(jìng)賽試題 ）解題思路 ： 未給出圖形，注意C 點(diǎn)位置有多種可能【例2】在一條直線上已知四個(gè)不同的點(diǎn)依次是A， B ， C， D ，那么到 A， B ， C， D 的距離之和最小的點(diǎn)（ ）A.可以是直線 AD外的某一點(diǎn)B.只有點(diǎn)B或點(diǎn)CC.只是線段AD的中點(diǎn)D.有無(wú)窮多個(gè)（ 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 ）解題思路 ： 直線上的四個(gè)點(diǎn)把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到 A， B， C ， D 的距離，從直觀的圖形中作出判斷【例3】如圖，C是線段上白一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，已知圖中所有線段的長(zhǎng)度

3、之和為23,線段AC的長(zhǎng)度與線段BC的長(zhǎng)度都是正整數(shù)，求線段 AC的長(zhǎng). II口IA CDB（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來(lái)表示，依題意可列一個(gè)關(guān)于 AC, BC的方程，討論此不定方程的正整數(shù)解 .【例4】如圖所示，點(diǎn) C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn).（1）若線段 AB= a , CE= b , a 15 （b 4.5）2= 0,求a, b.（2）如圖，在（1）的條件下，求線段 DE的長(zhǎng).（3）如圖，若 AB=15, AD=2BE,求線段 CE的長(zhǎng). IIIIIIIIA D C E B A D C E B圖圖（湖北省武漢市

4、調(diào)考試題）解題思路：將幾何問(wèn)題代數(shù)化，對(duì)于（3）,引入未知數(shù)，列方程求解 .【例5】（1） 一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說(shuō)明.（2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說(shuō)明這四條直線的位置關(guān)系.（3）平面上有n條直線，每?jī)蓷l直線都恰好相交，且沒(méi)有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的n條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為an,試研究an與n之間的關(guān)系.1l2（山東省聊城市中考試題）解題思路：從簡(jiǎn)單情形入手，由簡(jiǎn)到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例6】已知線段AB= m , CD= n,線段CD在直線上運(yùn)動(dòng)(A

5、在B左側(cè)，C在D左側(cè))，若m 2n與(6 n)2互為相反數(shù).(1)求線段AB, CD的長(zhǎng).(2) M, N分別是線段AC, BD的中點(diǎn)，若BC=4,求MN .(3)當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)， D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，P是線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：PAPB是定值；PA PB是定值.可以證明，有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你作出正確的 PCPC選擇并畫圖求值.(浙江省寧波市中考試題改編 )解題思路：(1) |m 2n與(6 n)的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個(gè)正數(shù)是不可 能等于一個(gè)負(fù)數(shù)的，所以 n=6, m = 12.(2)需要分類討論：如圖，當(dāng)點(diǎn) C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，根據(jù)“ M, N分別

6、為線段AC, BD的中點(diǎn)”， 先計(jì)算出AM, DN的長(zhǎng)度，然后計(jì)算 MN=AD AM DN ;如圖，當(dāng)點(diǎn) C位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，利用線 段間的和差關(guān)系求得 MN的長(zhǎng)度.(3)能計(jì)算出或的值是一個(gè)常數(shù)的，即為符合題意的結(jié)論能力訓(xùn)練A級(jí)1 .已知點(diǎn)O在直線AB上，且線段 OA的長(zhǎng)度為4cm,線段OB的長(zhǎng)度為6cm, E, F分別為線段 o A, OB的中點(diǎn)，則線段 EF的長(zhǎng)度為.(黑龍江省中考試題)2 .如圖，線段 AB=BC=CD = DE = 1厘米，那么圖中所有線段的長(zhǎng)度之和等于 厘米.1111 IA B C D E(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)3 .如圖，B, C, D依次是上的三點(diǎn)，已知 AE =

7、 8.9cm, BD=3cm,則圖中以 A, B, C, D, E這5 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度的和為 cm.84.平面內(nèi)兩兩相交的8條直線,c,圖形中共有線段（條.A.6.如圖，點(diǎn)A的長(zhǎng)度,則只需條件（A.AB= 127.如圖，A,BC= b 貝U AD=(A. a b8.如圖,AC =1-AB 3A BCD其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為O,直線（中學(xué)生數(shù)理化讀刊用刊知識(shí)競(jìng)賽試題 ）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）l與上述五條直線分別交于 A, B, C, D, E五點(diǎn)，則上述B)N是線段B. BC = 4C. AM = 5D.D.15BC的中點(diǎn).若想求出CN= 2MN（海南省競(jìng)賽試題D四點(diǎn)在同一直線上,B. a

8、 2bM是線段AB的中點(diǎn),N是線段DC的中點(diǎn)，MN =C. 2bD.2a bBD = 1 AB,且 AE=CD,B.C.則CE為AB長(zhǎng)的112D.1169.已知線段AB = 6.(1)度的和.(2)點(diǎn)連同（取線段AB的三等分點(diǎn)，這些點(diǎn)連同線段再在線段AB上取兩種點(diǎn)：第一種是線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段？求這些線段長(zhǎng)AB的四等分點(diǎn)；第二種是線段 AB的六等分點(diǎn)，這些1）中的三等分點(diǎn)和線段 AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段？求這些線段長(zhǎng)度的和.（湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題）10 .已知AB = 60cm,點(diǎn)C是直線 AB上不同于 A, B的點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，求 MN 的長(zhǎng)

9、度.11 .如圖，已知點(diǎn) A, B, C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn) C對(duì)應(yīng)的數(shù)為6, BC=4, AB=12.（1）求點(diǎn)A, B對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）動(dòng)點(diǎn)P, Q同時(shí)從A, C出發(fā)，分別以每秒 6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng).M為AP的中點(diǎn)，N在CQ上，且CN= 1CQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（t>0）.3求點(diǎn)M, N對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）.t為何值時(shí)，OM = 2BN?AB C I B I L J L J I»0B級(jí)1 .把線段AB延長(zhǎng)至D,使BD= 3 AB,再延長(zhǎng)BA至C,使CA=AB,則BC是CD的 倍.2 .如圖，AB ： BC ： CD = 2 ： 3 ： 4, AB的中點(diǎn)

10、M與CD的中點(diǎn)N的距離是3厘米，則BC =厘米. IIIIIA M BCND3 .如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB上的一點(diǎn)，若所有線段的長(zhǎng)度都是正整數(shù)，且線段 AB的所有可能的長(zhǎng)度數(shù)的乘積等于140,則線段AB的所有可能的長(zhǎng)度數(shù)的和等于.II IA C D B（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4 .如圖，已知B, C是線段AD上的兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若MN=a,BC=b, 則線段AD的.I1111A M B C N D5 .如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A, B, C所對(duì)應(yīng)的數(shù)a , b , c都不為0,且C是AB的中點(diǎn).如果a b |a 2c |b 2c |a b 2c =0,那么原點(diǎn)。的

11、位置在（）A.線段AC上B .線段CA的延長(zhǎng)線上C.線段BC上D .線段CB的延長(zhǎng)線上ACB11_>acb（江蘇省競(jìng)賽試題）6 .如圖，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中 點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MN：PQ等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4IIIIIIA QP MNB C7 .平面上有四個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫一條直線，那么一共可以畫直線（）A. 6條B. 1條或3條或6條C. 1條或4條D. 1條或4條或6條8.如圖，在一條筆直的公路上有7個(gè)村莊，其中A, B, C, D, E, F離城市的距離分別為 4, 10,15, 17, 19,

12、20公里，而村莊G正好是AF的中點(diǎn)，現(xiàn)要在某個(gè)村莊建一個(gè)活動(dòng)中心，使各村到活動(dòng)中 心的路程之和最短，則活動(dòng)中心應(yīng)建在（）1 . A處B.C處C. G處D.E處C DEF城市（江蘇省競(jìng)賽試題）9 .電子跳蚤游戲盤為 ABC, AB=8a, AC=9a, BC=10a,如果電子跳蚤開(kāi)始時(shí)在 BC邊上P0 點(diǎn)，BPo=4a,第一步跳蚤跳到AC邊上Pi點(diǎn)，且CPi = CPo;第二步跳蚤從Pi跳到邊上P2點(diǎn)，且AP2= AP1;第三步跳蚤從 P2跳到BC邊上P3點(diǎn)，且BP3=BP2跳蚤按上述規(guī)則跳下去， 第2001次落到P2001, 請(qǐng)計(jì)算P0與P2001之間的距離.（“華杯賽”邀請(qǐng)賽試題）10 .設(shè)

13、有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3倍.現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)，甲、乙為步行，丙騎車.途中，當(dāng)甲、丙相遇時(shí)，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)；當(dāng)甲、乙相遇時(shí)，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn).問(wèn)：三人之中誰(shuí)最先到達(dá)自己的目 的地？誰(shuí)最后到達(dá)自己的目的地？（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）11 .已知數(shù)軸上 A, B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為2和4, P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為 x.(1)若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求 P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn) P,使P點(diǎn)到A點(diǎn)，B點(diǎn)距離和為10?若存在，求出x值；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.(3)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P (點(diǎn)P在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為1, 2, 1個(gè)