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1、Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete Bridge Columns Based on Degraded Monotonic Energy鋼筋混凝土橋墩的非彈性損傷單調(diào)能量退化分析研究布拉德利大學(xué)土木工程與建筑系助教Riyadh A. Hindi, M.ASCE；不列顛哥倫比亞省土木工程系大學(xué)教授Robert G. Sexsmith, M.ASC；摘 要：本文總結(jié)了現(xiàn)有的兩個(gè)橋梁震害預(yù)測。其目的是：應(yīng)用損傷指數(shù)定義循環(huán)荷載作用下現(xiàn)有鋼筋混凝土橋梁橋墩可能會(huì)遇到實(shí)際地震荷載，并評估損害指數(shù)在描述橋梁橋墩在真正的地震荷載下?lián)p害過程的能力。這

2、兩個(gè)現(xiàn)有的橋梁中都是從加拿大的大溫哥華地區(qū)挑選出來的。第一個(gè)加爾諾天橋，是在1985依照1981年應(yīng)用技術(shù)委員會(huì)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的，預(yù)計(jì)有足夠的抗橫向地震荷載的能力。第二個(gè)Clydesdale高架橋，是在1981年應(yīng)用技術(shù)委員會(huì)標(biāo)準(zhǔn)很久以前設(shè)計(jì)的，預(yù)計(jì)將顯示很少或根本沒有橫向抵抗地震的能力。這種破壞指數(shù)適用于這些結(jié)構(gòu)的每部分，建好模的橋墩用謹(jǐn)慎的模擬非線性結(jié)構(gòu)分析程序分析。剪切變形和結(jié)合物滑移變形被認(rèn)為是對橋墩彎曲性能的簡單的修正。對一系列的非線性動(dòng)態(tài)分析進(jìn)行使用已經(jīng)在1971年圣費(fèi)爾南多、1978年米亞基沖（日本）、1989年洛馬普列塔和1999年臺灣地區(qū)的地震就有記錄，符合溫哥華穩(wěn)定的基礎(chǔ)頻譜。計(jì)

3、算損傷指標(biāo)為地震中發(fā)生的損害提供了一個(gè)簡單的數(shù)字指標(biāo)，且很容易從一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)分析的結(jié)果估算出來。編 號: 10.1061/（美國土木工程師學(xué)會(huì)）1084-0702(2004)9:4(326)關(guān)鍵詞: 非彈性作用，橋梁，混凝土，橋墩，地震損壞;循環(huán)負(fù)荷。引言：加拿大新的公路大橋設(shè)計(jì)規(guī)范（CAN/CSA-S6-00）（加拿大-2000年）將橋梁分為三個(gè)重要類型：重要的交通線橋梁，緊急路線橋梁及其他橋梁。表1總結(jié)了三個(gè)重要范疇的性能要求。這些規(guī)范基于一個(gè)單級別抗震設(shè)計(jì)過程，對抗震設(shè)計(jì)的分析是必要的（475年為一周期，在50年內(nèi)有10%的超標(biāo)可能性），并且從這種分析中所有的力和位移都可以得出。這種

4、方法著重在設(shè)計(jì)地震中的塌陷防治。根據(jù)這座橋的重要性，預(yù)計(jì)不同級別的性能，但編碼并不需要任何損傷分析，以滿足上述的性能要求。有損傷描述和維修的說明或缺乏維修那將是非常有益的。損傷指數(shù)有助于更精確地實(shí)現(xiàn)該代碼目標(biāo)，因?yàn)樗鼈兪堑卣鸷罅炕蟮卣饟p傷水平的一種方式。因此，損傷指數(shù)將是一個(gè)有用的方法，以滿足代碼性能標(biāo)準(zhǔn)。印地語和曲子列（2001）提出的損傷模型被用于預(yù)測的這項(xiàng)研究中橋墩的損傷指數(shù)。該模型生成一個(gè)在元素上加載時(shí)的時(shí)程損壞指數(shù)，如圖1中所示。圖1該模型作為單調(diào)荷載-位移包絡(luò)線達(dá)有損害成分的原始狀態(tài)的能量模型的參考數(shù)據(jù)，用 AO表示。實(shí)際負(fù)荷的歷史最高點(diǎn)為n（n次循環(huán)），由從最后循環(huán)（零力點(diǎn)）結(jié)

5、束到失敗的單調(diào)荷載-位移，總的損壞狀態(tài)降級單調(diào)能量是An。這種破壞指數(shù)DN是一個(gè)比值：擬議的模式修改該元素可以實(shí)現(xiàn)由于Coffin-Manson的假設(shè)與組合使用Miner的規(guī)則的縱向鋼筋的低頻循環(huán)疲勞的極限位移。模型考慮到的參數(shù)描述該滯回的性能即剛度退化、強(qiáng)度劣化和極限位移減少。模型是累積的，它結(jié)合能量、延展性及低周疲勞。Shuhaiba還可用于剩余能量的原理預(yù)測損壞。為了評估擬議的損傷模型在描述地震荷載期間的破壞能力，從大溫哥華地區(qū)選擇現(xiàn)有的兩座橋梁。第一個(gè)大橋是 ，設(shè)計(jì)于1985年，它依照ATC- 6標(biāo)準(zhǔn)（1981年應(yīng)用技術(shù)委員會(huì)）設(shè)計(jì)的，預(yù)計(jì)有足夠的抗橫向地震荷載。第二座橋是Clydes

6、dale高架橋是在ATC-6很久以前設(shè)計(jì)的（1981年應(yīng)用技術(shù)委員會(huì)標(biāo)準(zhǔn)），并預(yù)計(jì)將顯示很差的橫向抗震性。擬議的損傷模型也與兩個(gè)現(xiàn)有的損傷模型:著名的Park and Ang模型（1985年）和曼得和程提出的低周疲勞模型（1995年）進(jìn)行比較，以便研究擬議的模型（Hindi教授和Sexsmith教授2001年提出）預(yù)測循環(huán)加載過程中損壞的能力。表1：性能要求（CAN/CSA-S6-00）地震作用橋梁重要的交通線橋梁緊急路線橋梁其他橋梁小到中等所有車輛，直接使用所有車輛，直接使用所有車輛，直接使用設(shè)計(jì)（475年為一周期）所有車輛，直接使用緊急救援車直接使用受損可修復(fù)大（1000年為一周期）緊急救

7、援車直接使用受損可修復(fù)沒有倒塌Park和Ang模型（1985年）是最著名而且使用最廣泛的損傷指數(shù)。該模型包含一個(gè)簡單的標(biāo)準(zhǔn)化變形和能量吸收的線性組合。Kunnath 等人(1992年）建議的Park and Ang損傷模型的修改后的版本在此研究中得到使用：式中的m是在加載中達(dá)到的最大偏移量；u是單調(diào)的極限位移；y是單調(diào)的屈服位移；Fy屈服力;dE吸收的滯回能量；e 能量參數(shù)；能量參數(shù)e是直接從估計(jì)的滯后參數(shù)確定的。這種模型的優(yōu)點(diǎn)是它的簡單性和它被已觀測到的大量的震害了事實(shí)證實(shí)。曼德和程模型（1995年）是來自低周疲勞的原則，是合乎邏輯的，因?yàn)樵诘卣鸷奢d誘發(fā)幾個(gè)彈塑性循環(huán)在較大的延性需求。E1,

8、 E2, 和 P將使用在本文的其余部分中，分別指Park and Ang 模型，曼得與程模型和擬議的模式中。對所選橋梁的介紹加爾諾天橋是一座三跨橋，如圖2所示。橋面為 8.18 m寬。 橋梁跨度長度是17.995 m、26.00 m和 17.995 m。橋面為190mm厚，并支撐在四個(gè)1473mm深的預(yù)應(yīng)力混凝土桁上。下部結(jié)構(gòu)由兩個(gè)橋墩和兩個(gè)橋臺組成，每個(gè)橋墩由一個(gè)擴(kuò)大基礎(chǔ)，一個(gè)圓柱和一個(gè)蓋梁組成。支座是固定在每個(gè)固定的橋墩和滑動(dòng)德橋臺上。橋墩的橫截面如圖2。橋的基礎(chǔ)是建立在松散的土壤上。在這項(xiàng)研究中只研究橋墩1，因?yàn)檫@兩個(gè)橋墩有同樣的質(zhì)量、墩特性和限制條件。在兩個(gè)橋墩之間唯一的區(qū)別是墩的長度

9、不同，墩1長1 5,880 mm 比墩2長384mm。圖2Clydesdale高架橋是一座四跨橋，如圖3所示。橋面寬是14.63m 。橋跨度從西面橋墩開始是13.64m，23.14m，13.64m，29.26m和13.64m。這座橋由11個(gè)1,016mm深，1212mm寬的預(yù)應(yīng)力混凝土箱形桁條組成。下部結(jié)構(gòu)由四個(gè)橋墩和兩個(gè)橋臺組成。每個(gè)橋墩由一個(gè)擴(kuò)大基礎(chǔ)，一個(gè)單一的矩形柱和一蓋梁組成。矩形橋墩有一個(gè)在縱向方向?yàn)闃蛄旱牟环€(wěn)定方向。其橋墩截面如圖3。該橋基礎(chǔ)是建立在堅(jiān)實(shí)的土壤上。在此研究中只對橋墩2和3進(jìn)行研究，因?yàn)樗麄兣c其他橋墩相比要承受更集中的力，而且四個(gè)橋墩具有相同的墩特性。橋墩2和3之間的

10、差別在其質(zhì)量和墩的長度。在橋墩2墩的長度為6,690 mm，長度超過橋墩3為1,090 mm。上述橋梁的橋墩的混凝土抗壓強(qiáng)度為30MPa和鋼筋屈服強(qiáng)度為400MPa。圖3橋墩模型介紹在本項(xiàng)研究中對調(diào)查的兩座橋梁的橋墩進(jìn)行幾種建化的建模。橋橫向固定在橋臺和橋面上，被假定為剛性隔板。橋墩被假定懸在的橋梁的縱向方向，在橫向方向上由于橫梁、剛性橋面以及分散的質(zhì)量的影響并非可以完全自由的旋轉(zhuǎn)。在這項(xiàng)研究中只考慮縱向方向。橋墩是以集中的質(zhì)量的懸臂梁為模型。橋墩則認(rèn)為具有兩部分 ；第一部分從基礎(chǔ)的頂部到蓋梁的底部，以彎曲的橋墩建模，LF；第二部分是從蓋梁到橋面，假定是剛性的，LR如圖4所示。三部分的質(zhì)量均按

11、照集中力計(jì)算（M）：圖4上層建筑的質(zhì)量（橋面）(Md );蓋梁的質(zhì)量（Mcb）橋墩質(zhì)量的一半（Mc/2）。剛性段的長度LR取決于前面三部分質(zhì)量的等效重心。上層建筑的質(zhì)量計(jì)算取決于橋面附屬部分，附屬部分由毗鄰橋墩的關(guān)系狀況而定。施加到橋墩的軸向的荷載計(jì)算時(shí)按照靜載考慮。由此對加爾諾天橋橋墩引起的軸向荷載是2800 kN ，對Clydesdale高架橋的橋墩2和3引起的荷載分別是4,240KN 和 4,825 kN。表2和表3表明了加爾諾天橋和Clydesdale高架橋兩座橋的橋墩的集中力和分布力的大小與位置。表中的位置是從蓋梁底部算起的。表2：加爾諾天橋質(zhì)量分布情況質(zhì)量大小(Kg )位置（從蓋梁

12、底部起）(mm)Md3078503070Mcb458701037Mc/281550總合M3618752745橋墩元素考慮到具體的約束和軸向荷載的雙線性彎矩-曲率反應(yīng)被預(yù)測采用層次分析技術(shù)，如圖5和7。從橋墩頂部的剛性區(qū)域和剪切與粘結(jié)滑移變形的彎矩-曲率反應(yīng)出每一橋墩的單調(diào)的力-位移包絡(luò)線，如圖6和8。關(guān)于預(yù)測單調(diào)的彎矩-曲率與力-位移反應(yīng)的更多詳細(xì)信息，可以在印地語zhoong發(fā)現(xiàn)（2001年)。按照下面普里斯特利等人（1994年）所述的極限位移計(jì)算中，橋墩的最小值抗剪能力均高于橋墩的抗剪切能力，如表4所示。表3：Clydesdale高架橋質(zhì)量分布情況質(zhì)量橋墩2橋墩3大小（Kg）位置（mm）大

13、小（Kg）位置（mm）Md55861527826829802782Mcb530101394530101394Mc/2188600159000總合M63048525827518902625表4：橋墩特性特性加爾諾天橋Clydesdale高架橋橋墩1橋墩2橋墩3E（MPa）300003000030000A（m2）1.13042.23262.2326I(m4)0.04150.05600.0545最小的抗剪能（KN）3373943943當(dāng)屈服剪力是753KN時(shí)，加爾諾天橋橋墩的屈服力和極限位移分別是125.5KN和870.5mm。如圖6所示。該墩因?yàn)橛泻玫闹魏图s束因此有很高的延展性能力（大約其值是7

14、）。對Clydesdale高架橋，橋墩2當(dāng)屈服剪力是809KN時(shí)，預(yù)計(jì)的屈服力和極限位移分別是124.8KN和227.8mm；而橋墩3當(dāng)屈服剪力是912KN時(shí)的預(yù)計(jì)的屈服力和極限位移分別是101KN和182.8mm。如圖8所示。由于較差的支撐和約束，因此這些墩的延性能力很低（其值小于2）。圖5(預(yù)測的彎矩-曲率反應(yīng)加爾諾天橋)非線性動(dòng)力學(xué)分析非線性動(dòng)力學(xué)分析是使用CANNY E（Canny 1996年）的結(jié)構(gòu)程序。CANNY的成熟的滯后模型已用于表示復(fù)雜和可變的混凝土滯后特性。它用來表示剛度退化、強(qiáng)度劣化，和擠壓行為。為此滯后模型需要一個(gè)三線或雙線性負(fù)載變形的包絡(luò)線。低周疲勞將使CANNY的滯

15、后模型不考慮任何退化。當(dāng)使用 P 和 E2 的模型計(jì)算的損壞時(shí)，縱筋在低周疲勞的影響是滯后的。圖6（雙線性力-位移反應(yīng)加爾諾天橋）圖7(預(yù)測的彎矩-曲率反應(yīng)Clydesdale高架橋)對一個(gè)給定的混凝土質(zhì)量和結(jié)構(gòu)類型的適當(dāng)滯后參數(shù)根據(jù)鋼筋和混凝土的約束進(jìn)行粗略估計(jì)。斯通和泰勒（1993年）對圓形橋墩的65個(gè)測試記錄進(jìn)行逐步線性回歸分析后得到的滯后參數(shù)建立閉式方程。這項(xiàng)研究使用這些方程來估計(jì)做了一些修改的剛度退化、強(qiáng)度劣化和擠壓行為，以適應(yīng)在 CANNY 中定義中的差異。圖8（雙線性力-位移反應(yīng)Clydesdale高架橋）對一系列的非線性動(dòng)態(tài)分析進(jìn)行使用已經(jīng)在1971年圣費(fèi)爾南多、1978年米亞

16、基沖（日本）、1989年洛馬普列塔和1999年臺灣地區(qū)的地震就有記錄，符合溫哥華穩(wěn)定的基礎(chǔ)頻譜在50年里有2%超標(biāo)的可能性。這些記錄由Naumoski（1985年）使用合成器程序時(shí)產(chǎn)生。此程序計(jì)算為真正的加速度時(shí)程頻譜。為了匹配計(jì)算頻譜與目標(biāo)頻譜，提高和抑制計(jì)算頻譜是由相應(yīng)的傅立葉系數(shù)反復(fù)修改。加爾諾天橋建在新威斯敏斯特松土區(qū)。由此奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)促進(jìn)程序使用于深度假定為200m和43m的分析，以研究在這兩種情況下的損害可能的變化。考慮這兩個(gè)的深度是因?yàn)樗麄冊谂彽臉蛄旱捻?xiàng)目中被顧問發(fā)現(xiàn)和使用過。在非線性的分析中假定粘性阻尼是2%.在分析中考慮P影響是因?yàn)闃蚨粘惺艽蠹s0.08fcAg的軸向荷載。

17、如圖5和7所示的預(yù)測雙線性彎矩-曲率包絡(luò)線，包括剪切與粘結(jié)滑移變形都被修改。這是通過給屈服位移增加屈服力的曲率，如圖6和8所示。表4總結(jié)了在分析中用到的橋梁的特性。對該橋墩的建模是：在剛性的蓋梁和上部結(jié)構(gòu)的頂部與墩的頂部和質(zhì)量重心區(qū)段建立，5個(gè)沒有任何剛性的區(qū)域的單元和一個(gè)有剛性區(qū)域的單元。每次一步一步的分析時(shí)間間隔是0.02S。在每步的分析中墩頂部的力和位移都會(huì)被輸出。損傷分析為了適用于具有不對稱磁滯循環(huán)（如圖 9 中所示）的地震反應(yīng)的損傷模型，這種損害在E1、E2和P的模型中的每四分之一的循環(huán)中是可以預(yù)測的。如9圖所示，每個(gè)振幅（）范圍中連續(xù)的高峰值之間或一個(gè)高峰和零的值之間的差異，將在四

18、分之一周期中被計(jì)算。一種是由道林（1972年）總結(jié)的有略有不同但類似的技術(shù)已被他人使用。非對稱地震反應(yīng)可能產(chǎn)生前期循環(huán)位移振幅比最初的要?。ǔ跗诘闹芷谟凶畲笪灰疲＠绲诙€(gè)周期中達(dá)到的位移（7結(jié)束）小于他之前達(dá)到了最大位移（3結(jié)束），如9圖所示。因此，預(yù)測的剛度和開始退化單調(diào)反應(yīng)的位置需要計(jì)算在3結(jié)束和在7結(jié)束時(shí)的損壞時(shí)的An。但是，如9圖所示，由于4、5、6和7造成的低頻累計(jì)增加的損壞使得在以7結(jié)束的極限位移將于以3結(jié)束的不同。下列為 Hindi教授和Sexsmith教授（2001年）建議的在這項(xiàng)研究中使用的分類：Ø D0.1 : 沒有損壞。Ø 0.1D0.2 : 輕微

19、損壞，輕破裂，很容易修復(fù)。Ø 0.4D0.6 : 中度破壞，嚴(yán)重裂縫，覆蓋物剝落,可修復(fù)。Ø 0.6D1.0 : 造成嚴(yán)重破壞;裂縫廣泛，鋼筋外露，修復(fù)困難Ø D=1.0 : 徹底崩潰.圖9：（循環(huán)計(jì)數(shù)方法）加爾諾天橋如前所述,這座橋是位于疏松土壤地區(qū)。損害分析是針對堅(jiān)實(shí)和松土兩種情況進(jìn)行分析的。這被認(rèn)為是評估橋梁柱在不同的土壤性質(zhì)的的特性。如前所述兩個(gè)提供的備選深度（200m和43m）是針對松散土壤中分析的。如圖6所示，E1、E2和P模型預(yù)測損傷所需的所有單調(diào)的力-位移參數(shù)是從其反應(yīng)中的得到的。從圖10-13中可以顯示出 E1、E2和P三種損壞模型的損壞過程，由

20、CANNY程序可以輸出力-位移滯回循環(huán)和時(shí)間位移反應(yīng)。這些數(shù)字只顯示出部分的結(jié)果，完整的結(jié)果可以在 Hindi教授（2001年）中找到。E1和P的模型預(yù)測的損壞非常相近，并且顯示的地震動(dòng)過程中損傷的發(fā)展。相對于E1和P模型，E2 模型的損壞較小。記錄中，對于研究的43m，橋梁建在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上或者松散的基礎(chǔ)上時(shí)，在地震中其抗震性表現(xiàn)良好。圖10的簡單示例就證明了地震時(shí)產(chǎn)生可以忽略的彈性周期。根據(jù)這些地震記錄得出，在E1和P模型顯示出破壞很小，大約為0.1。這種損壞，在 Hindi教授和Sexsmith教授提出（2001年）中損壞的分類中被認(rèn)為是沒有損傷。這是意料之中的，因?yàn)闃蛄河凶銐蚣?xì)節(jié)設(shè)計(jì)和橫

21、向抗震設(shè)計(jì)。圖10（洛馬普列塔地震時(shí)加爾諾天橋的變化（堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)）另一方面，如圖1113所示，當(dāng)考慮橋梁在200m深的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)時(shí)，在選定的地震記錄中，橋墩表現(xiàn)出重大的損壞。這些數(shù)字表明，這種情況下產(chǎn)生了一些重要的無彈性周期。如圖12所示1978年米亞基沖地震估計(jì)在E1和P兩模型中使得橋墩完全損壞（D=1.0）整個(gè)損害發(fā)生在一個(gè)周期里，因?yàn)樵诖酥芷谥袑a(chǎn)生大的位移。其他地震產(chǎn)生重大損害，其值是在0.5和0.8之間。雖然E2模型比E1和P模型表現(xiàn)出較少的傷害，但是其數(shù)值仍然至關(guān)重要。圖11（洛馬普列塔地震時(shí)加爾諾天橋的變化（200m深）圖12（1978年米亞基沖地震時(shí)加爾諾天橋的變化（堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)）

22、圖13（1971年圣費(fèi)爾南多地震時(shí)加爾諾天橋的變化（200m深）Clydesdale高架橋因?yàn)檫@座橋梁是建立在堅(jiān)定的基礎(chǔ)上的，所以只考慮堅(jiān)定基礎(chǔ)上的地震記錄。如圖8所示，E1、E2和P模型預(yù)測損傷所需的所有單調(diào)的力-位移參數(shù)是從其反應(yīng)中的得到的。從圖14和16中可以顯示出 E1、E2和P三種損壞模型中橋墩2的損壞過程，并由CANNY程序可以輸出力-位移滯回循環(huán)和時(shí)間位移反應(yīng)。橋墩2和橋墩3的完全損害的記載可以在 Hindi教授（2001年）中發(fā)現(xiàn)。圖14（1989年洛馬普列塔地震時(shí)Clydesdale高架橋的變化（橋墩2） 橋墩2在 E1和P模型的預(yù)測時(shí)（圖15所示），對于1971年圣費(fèi)爾南多

23、和1999年臺灣地區(qū)的地震是完全損壞（D=1.0）。在這些地震中橋墩3也表示出完全損壞（在2001年 Hindi教授中可以發(fā)現(xiàn)）。這些都發(fā)生在第一個(gè)彈性周期，因?yàn)樗笥休^高的延性能力。在E1和P模型中對于1989年洛馬普列塔地震對于橋墩3的估計(jì)值是1.0（完全損壞）。在P模型中，對于其他的地震記錄值是小于1.0。但是，在 Hindi教授和Sexsmith教授提出（2001年）中損壞的分類中被認(rèn)為是重大的損壞而且有時(shí)是很難修復(fù)的。這些都證實(shí)了人們的預(yù)測，因?yàn)檫@座橋的加固和細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)都差。圖15（1999年臺灣地震時(shí)Clydesdale高架橋的變化（橋墩2）總結(jié)： 結(jié)論是，提議的損壞模型可以運(yùn)用于

24、現(xiàn)實(shí)生活中，也可以運(yùn)用于可以產(chǎn)生單調(diào)力位移的結(jié)構(gòu)元素。P模式預(yù)測的橋墩的損害與預(yù)期的損害相比是合理的。對于加爾諾天橋，E1和P模型預(yù)測的損害與實(shí)際是接近的。但是對于Clydesdale高架橋E1模型給出的值要比P模型高。這是因?yàn)檫@座橋梁的延展性能力低，而這正是定義E1模型的最重要的影響因素。在整個(gè)加載過程中，E2模式下預(yù)測的兩座橋梁的損害與E1和P模式相比較低，因?yàn)镋2模式僅僅是基于縱筋的低周疲勞。研究表明，P模式易于運(yùn)用在現(xiàn)存的單柱橋墩在實(shí)際地震荷載的估算。其值總是從原始狀態(tài)（永遠(yuǎn)不會(huì)加載元素）零范圍到1.0的崩潰狀態(tài)。P模式的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，它最大限度地減少工程中需要假定的參數(shù)數(shù)量。但是，當(dāng)它運(yùn)用于其中的一個(gè)組成部分（墩柱）的失敗可能不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰的較冗余的體系（例有多列橋墩）中就比較復(fù)雜。致謝:這項(xiàng)研究是由加拿大國家科學(xué)與工程研究理事會(huì)投資的。對這種支持深表謝意。并特別感謝不列顛哥倫比亞大學(xué)的Donald Anderson 博士在非線性分析提供的寶貴幫助。參考文獻(xiàn)：1 A