2016年全國高中數(shù)學優(yōu)質課：正弦定理-教學設計人教A版必修5

1、正弦JE教學設、r理正弦定理教學設計一、教學內容分析本節(jié)課正弦定理第一課時，出自新人教A版必修5第一章第一節(jié)正弦定理和余弦定理。課程安排在“三角、向量”知識之后，是三角函數(shù)知識在三角形中的具體運用，更是初中“三角形邊角關系”和“解直角三角形”內容的直接延續(xù)和拓展，同時更是處理可轉化為三角形計算的其他數(shù)學問題及生產生活實際問題的重要工具。本節(jié)課的內容共分為三個層次：第一，從實際問題導入，在解直角三角形的邊角關系的基礎上，觸碰解斜三角形的思維困惑點，形成疑問，激發(fā)學生探究欲望，提出斜三角形的邊角關系的猜想；第二，帶著疑問，對猜想進行驗證，首先對特殊的斜三角形邊角關系進行驗 證和實驗探究驗證，其次是

2、嚴密的數(shù)學推導證明；第三，得到正弦定理，解決引例，首尾呼 應，并學以致用，簡單應用。正弦定理其實是把“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關系的解析化，從三角學的歷 史發(fā)展來看，三角函數(shù)其實就是有關三角形、圓的性質的解析表達。這樣在悄無聲息中，滲透了學科發(fā)展中研究觀點和研究方法的嬉變。這其實是一個推陳出新的過程。通過這三個層次，探索一一發(fā)現(xiàn)一一證明，從實際中來，到實際中去。通過課堂，體會直觀感知、大膽猜想、實驗探究、理論驗證、實際應用的學習過程。二、教學目標設置1、從已有三角形知識出發(fā)，通過觀察、實驗、猜想、驗證、證明，從特殊到一般得到正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推導方法，并學會應用

3、正弦定理解決斜三角形的兩類基本問題；2、通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生的縝密思維；3、通過自主探究、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱難的思維品質和個人素養(yǎng)；4、培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角函數(shù)、正弦定理等知識之間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。三、學情分析本節(jié)課內容基本上安排在高一下學期或高二上學期講授，學生在初中已經學過平面幾何的相關知識，并能夠熟練地解直角三角形，必修四中也剛剛學過三角函數(shù)，對于新章節(jié)的理解

4、上不會有太大問題。雖然有一定的觀察分析能力和解決問題的能力，但是在前后知識的串聯(lián)上會有一定的難度。所以，對于教師而言，應該提高學生的學習積極性， 多設置思維引導點，帶領學生一起分析問題并解決問題；在問題的處理上，更加注重前后知識的串聯(lián)， 用已有知識解決新問題，并得到新知識。四、教學策略分析本節(jié)課采用問題探究式教學模式，循序漸進，用問題驅動課堂教學，在老師的引導下，讓學生探究、合作、交流、展示，盡可能多的質疑、探究、討論，多參與課堂知識的生成和 發(fā)現(xiàn)的過程，形成思維。五、重難點分析本節(jié)課的重點是：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、探究、證明以及兩類主要的應用；本節(jié)課的難點是：正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程。六、教學準備制作多

5、媒體課件；Z+Z動態(tài)演示軟件動畫制作七、教學過程分析(1)實例引入，激發(fā)動機引例：1、如圖，設 A、B兩點在河的兩岸，測繪人員只有皮尺和測角儀兩種工具，沒法跨河測量，利用現(xiàn)有工具，你能幫忙設計一個測量A、B兩點距離的方案嗎？問題設計意圖：引導學生從熟知的直角三角形出發(fā)，解決實 際問題，為后續(xù)處理一般三角形埋下伏筆。2、如果測量人員任意選取 C點，測出BC的距離是54m ,B 45, C 60.問根據(jù)這些數(shù)據(jù)能解決測量者的問題嗎？根據(jù)題目中的敘述，很明顯可以抽象成這樣的一個數(shù)學模型：在 ABC中，BC 54, B 45, C 60.求邊長 AB.問題設計意圖：對于一般三角形，學生比較熟悉轉化為直

6、角三角形解決，轉化化歸的思 想為后續(xù)證明埋下伏筆。再看這個數(shù)學問題， 已知三角形的部分邊長和內角，求其他邊長和內角。 這個問題其實是解斜三角形的邊角關系問題。但是沒有學過，我們知道在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的關系，那么我們是否能夠得到這個邊、角關系準確量化的表示呢？問題設計意圖：通過實際問題引入，能夠很好地激發(fā)學生的求知欲望。在新的問題產生 時，學生根據(jù)已有的知識是迷茫的，有疑惑的，這個時候也正是產生知識缺陷，急需新知識 的時候，恰如其分的勾起了學生求知的欲望。(2)實驗探究，驗證猜想探究一：直角三角形邊角關系如圖：在Rt ABC中， C是最大的角，所對的斜邊 c是最大的邊，探究邊

7、角關系。在Rt ABC中，設BC a, AC b, AB c,根據(jù)正弦函數(shù)定義可得:sin Aasin Aa;sin B cbsin B又 sin Csin Asin Bsin C問題設計意圖：從最特殊的直角三角形入手，作為后續(xù)探究的基礎，也很容易得到。探究二：斜三角形邊角關系實驗1：如圖，在等邊 ABC中,A B C ，對應邊白邊長a: b:c 1:1:1, 3a b c ,驗證是否成立?sin A sin B sin C實驗2：如圖，在等腰 ABC中,B 30 , C 120 ,對應邊的邊長a : b :c 1:1: 3 ,驗證一-sin A sin Bcsin C是否成立?問題設計意圖：

8、一般斜三角型中特殊的三角形進行驗證，由特殊到一般,實驗 2中,也滲透了作高，求出三邊關系，為后續(xù)證明埋下伏筆。過渡：如果說這兩個特殊的三角不足以代表一切，再一般的斜三角形呢?實驗3:借助多媒體演示，發(fā)現(xiàn)隨著三角形的任意變換,通過這樣的一些實驗，我們可以猜想sin A sin BJo的值相等。sin Csin A sin B sin C過渡：我們雖然通過數(shù)學實驗并借助于多媒體，得到了：對于斜三角形,sin A sin B sin CO但是并沒有經過嚴密的數(shù)學推導，那么如何證明這個結論呢?設計意圖：從已有的知識結構出發(fā)，不讓學生在思維上出現(xiàn)跳躍，逐層遞進，通過已經熟悉的直角三角形的邊角關系的探究作

9、為切入點， 再對特殊的斜三角形進行驗證，過渡到一般的斜三角形邊角關系的探究。讓學親自體驗數(shù)學實驗探究的過程，逐層遞進，激發(fā)學生的 求知欲和好奇心，體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理兩個側面。多媒體技術的引入演示，讓 學生更加直觀感受到變換，加深理解。(3)證明猜想，得到定理1、證明方法1 作高法如圖，在銳角三角形中，設 BC a, CAb, AB c。引入語言：直接處理銳角三角形沒法處理,能夠借助于已有的直角三角形,通過添加輔助線，使角和邊出現(xiàn)在直角三角形中呢?證明：在ABC中羸線CD,則在CDCDRt A ADC口艮 A BDC中 bsinA, asinB即 bsinA asinBasinAab

10、-,同理可證：sinBbsinA sinBsinA sinC c sinC那么在鈍角三角形中是否成立呢？請同學們嘗試著分組自己證明一下。學生展示。總結：我們把三角形邊角關系的這條性質稱為正弦定理(law of sines ), 即在任意一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即asinAsinB sinC過渡：多么完美的比例式，無論三角形形狀如何，三條邊與對角正弦的比值始終頑固的相等，但是比例值是多少呢？那么， 在這里，除了這種平面幾何的證明方法以外，還有很多的證明方法，我們借助于三角形的外接圓，再介紹一種證明三角形正弦定理得方法。有直角三角形的推導過程可以看出，-asin Ab一、一

11、的比值相等，都等于 sin B sin C即三角形的外接圓半徑。那么對于一般的三角形呢?2、證明方法2 外接圓法證明：做 ABC的外接圓O,過點C連接圓心與圓交于點 設圓的半徑為RCAD 為 Rt，且b RsinD,且 a/Dbb 2RsinB,即sin Bac同理：2R,sin AsinCa bcsin A sin BsinC2R2R2R由此可得，任意三角形中，每一條邊長和對角正弦的比值都等于三角形外接圓直徑?？偨Y：因為時間有限，關于正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學可以在課下進行探索證明。通過這些實驗和證明,我們已經明確，在任意三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即asinAbsi

12、nBosinC設計意圖：經歷猜想到證明的過程，讓學生體會到數(shù)學新知識得獲得僅僅靠猜想和演繹推理是不夠的，必須經過嚴密的數(shù)學推導進行證明才可以。 在這個過程中，也進一步促進學 生數(shù)學思維思維品質的提升。(4)定理應用，解決引例引語：現(xiàn)在請同學們，回過頭來解決一下引例中的問題。解：根據(jù)正弦定理，得:ABsin CAB旦,Asin ABC sinCsin A180 45o 60o 75o54s呷27 . 3、,6、,2sin 75答：A、B兩點間的距離是27 J3冊 J2 。過渡：這樣就很好的利用了正弦定理中的三角形邊角量化關系，根據(jù)已知的量得到未知 的量，這樣的數(shù)學處理過程就稱為解三角形。定義：一

13、般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形?？偨Y：求角度也常借助于三角形的內角和公式。設計意圖：讓學生了解三角形的概念，形成知識的完備性?；剡^頭來，解決引例中的問 題,讓學生體會學習正弦定理新知識解決實際問題的方便，激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望。(5)學以致用，解決問題引語：根據(jù)正弦定理這個等式，如果把期中某一個量看做未知量，那么根據(jù)方程思想，我們就可以解決三角形的哪些問題呢？1、如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一個角和另兩邊。如：bsin A a ;sin B2、如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角

14、，求另一邊與另兩個角。如：a . sin A sin B ；b例1：在 ABC中，已知 A 30, B 45, a 2cm,解三角形。分析：已知三角形中兩角及一邊,求其他元素，第一步可由三角形內角和求出第三個角,再由正弦定理求其他兩邊。解：由三角形內角和可 得:C 180 30 45105由正弦定理熹sin B sinC自：,asinB 2sin45 b 2sin 60 45sin30sin A sin 30asinC 2sin105 csin A sin 30例2：在 ABC中，已知a 2底 b 2熱 A 45,解三角形。分析：已知三角形兩邊與其中一邊的對角，第一步可以根據(jù)正弦定理得到B的正

15、弦, 會出現(xiàn)兩種情形，接下來就要進行分類討論。解:a由正弦定理sin Absin Asin Bsin B sin C得:a 0180 60 或120 60 時，C2,3 sin 45,32.2275a sinC 2.2 sin 75c sin A sin 45當 B 120 時，C 15asinC 2.2sin 15c sin A sin 452 2sin 3045. 62sin 452 . 2 sin 45306. 2sin 45設計意圖：讓學生解決問題，提升學習的熱情，體驗學習的樂趣。(6)小結a b c1、正弦定理的內谷( 2R)及其證明的思想方法;sin A sin B sinC2、正

16、弦定理的主要應用：已知三角形的兩角及一邊，求其他元素； 已知三角形的 兩邊和其中一邊的對角，求其他元素;3、轉化化歸的思想、方程的思想、分類討論的思想。設計意圖：讓學通過自己的語言表達學習的收獲，在本節(jié)課即將結束的時候，讓學生自我總結，加深印象，培養(yǎng)學生的自我總結能力，也幫助學生重新回顧重點知識和數(shù)學思想(7)作業(yè)設計1、正弦定理的其他證明方法；2、通過以下題目，在已知三角形兩條邊和其中一條的對角的條件下探究三角形解的情況：在ABC中，已知A 45 ,a 病，b 3，求B ;6在ABC中，已知A 45 ,a ，b 3 ,求B ;1在 ABC中，已知 A 45 ,a , b 43 ,求 B;2設

17、計意圖：課后查閱資料，了解正弦定理的其他過程，讓課內知識延伸到課外，通過這 樣的方式促進學生可以獲取更多的與本節(jié)課相關的知識，拓寬知識面。預留一個探究作業(yè)， 對于學生下節(jié)課的學習起到一個承上啟下的過渡作用。正弦定理點評本節(jié)課以實際問題作為驅動，創(chuàng)設了問題情境，明確了學習目標。 從特殊到一般，猜想正弦定理，然后證明正弦定理。猜想、證明的流 程自然、有序、明了，體現(xiàn)了學習的認知規(guī)律，進行了思想方法的滲 透，展示了數(shù)學內在的邏輯力量。“先猜后證”是數(shù)學研究的一般模 式，用之于數(shù)學教學也是合情合理的。在學生大膽猜測結論的過程中， 還對定理的發(fā)現(xiàn)機制進行了設計，從形式美的角度大膽猜測，讓學生 學會欣賞數(shù)學結構之美、之稱。然后回歸引例，首尾呼應，通過兩個 例題，讓學初步體會學有所成，能夠及時應用，收獲成就感。課堂教學中，使用