2019小升初數(shù)學專項題第二十一講容斥原理包含與排除通用版語文

1、第二十一講 容斥原理（包含與排除）【知識梳理】容斥原理（包含與排除原理）：（用|A|表示集合A中元素的個數(shù)，如A=1, 2, 3,則|A|=3）原理一（二量重疊）：給定兩個集合 A和B,要計算AU B中元素的個數(shù)， 可以分成兩步進行：第一步：先求出I Al + I B I （或者說把A, B的一切元素都“包含”進來， 加在一起）；第二步：減去I AH Bl （即“排除”加了兩次的元素）總結為公式：|A U B|= I A I + I B I - I AH B I原理二（三量重疊）：給定三個集合 A, B, C。要計算AU BU C中元素的個 數(shù)，可以分三步進行：第一步：先求 I A I + I

2、 B I + I C I ; 第二步：減去 I AH B I , I BA C I ,I cn ai ；第三步：再加上I An Bn ci 0即有以下公式：I AU BU C I = I A I + I B I + I C I - I AH B I - I BA C I - |Cn A|+|A nBn c【典例精講U實驗小學三年級一班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學得 90分上的有35人； 語文得90分以上的有31人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科 都在90分以上的有多少人？思路分析：設A=數(shù)學成績90分以上的學生, B=語文成績90分以上的學生, 那么，集合AU B表示兩科中至少有一科在9

3、0分以上的學生，由題意知，I AI 二35, I BI =31, I AU B I =38,現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學生人數(shù)，即求I A ABI,由容斥原理即可解決。解答：設A二數(shù)學成績90分以上的學生 , B=語文成績90分以上的學生,I An B I = I A I + I B I - I AU B I =35+31-38=28答：兩科都在90分以上的有28人.小結：解決這類問題關鍵要弄清楚重疊部分是多少?！九e一反三】1.六一班有學生46人，其中會騎自行車的17人，會游泳的14人， 既會騎車又會游泳的4人，問兩樣都不會的有多少人？2.兩張長4厘米，寬2厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀，把

4、它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？,3.在1至1000的自然數(shù)中，不能被5或7整除的數(shù)有多少個？【典例精講2】希望小學六年級的課外小組分為音樂、下象棋、書法三個小組，參加音樂小組的有23人，參加下象棋小組的有27人，參加書法小組的有18人; 同時參加音樂、下象棋兩個小組的有 4人，同時參加音樂、書法小組的有 7人, 同時參加下象棋、書法小組的有5人；三個小組都參加的有2人。問：這個年級 參加課外小組共有多少人？思路分析：用原理二（三量重疊）解決。解答：設A=音樂小組的同學 , B=下象棋小組的同學 , C=書法小組的同學, An b=音樂、下象棋小組的同學, An c=參加音樂、書法小組的

5、同學, Bn c=參 加下象棋、書法小組的同學, An BA c=三個小組都參加的同學由題意知：I A I =23, I Bl =27, I Cl =18I An bi =4, I An ci =7, I Bn ci =5, I An Bn ci =2根據(jù)容斥原理二得：I AU BU C I = I A I + I B I + I C I - I An B I - I AH C|- I BA C|+|A ABA C I =23+27+18- （4+5+7） +2=54 （人）小結：解決這類問題要清楚哪些是兩類都做的，哪些是三類都做的?！九e一反三】4.某個班的全體學生進行短跑、游泳、籃球三個項目

6、的測試，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到了優(yōu)秀。這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：求這個班的學生人數(shù)。5.在11000這1000個自然數(shù)中，不能被2、3、5中任何一個數(shù)整除的數(shù)有多 少個？答案及解析：1 .【解析】利用容斥原理求出至少會一種的人數(shù)，再用總人數(shù)減去這些人數(shù)就可 以了?！敬鸢浮浚核笕藬?shù)=全班人數(shù)-（會騎車人數(shù)位游泳人數(shù)-既會騎車又會游泳人 數(shù)）=46-（17+14-4）=19（人）答：兩樣都不會的有19人。2 .【解析】：兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊，重疊部分恰好是邊長為2厘米 的正方形，如果利用兩個4X2的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的

7、面積，那 么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次 就可以了，所以，被覆蓋面積=長方形面積之和-重疊部分?！敬鸢浮浚? X2X22X2=12 （平方米）答：覆蓋面積有12平方厘米。3 .【解析】利用容斥原理計算出至少能被5或7整除的數(shù)的個數(shù)，再用總個數(shù)相 減即可。【答案】：能被5整除的數(shù)共有1000+5=200 （個）；能被7整除的數(shù)共有1000+ 7=142 （個）6 （個）；同時能被5和7整除的數(shù)共有1000+ 35=28 （個）20 （個）。所以，能被5或7整除的數(shù)一共有（即重復了的共有）：200+ 14228=314（個）; 不能被5或7整除的數(shù)一共有10

8、00 314=686 （個）。4 .【解析】要把一項優(yōu)秀的、兩項或者三項優(yōu)秀計算出來，最后再把都沒有獲得 優(yōu)秀的加起來就可以了?！敬鸢浮浚褐挥谢@球一項達到優(yōu)秀的有1565+2=6 （人）；只有游泳一項達到優(yōu)秀的有1866+2=8 （人）；只有短跑一項達到優(yōu)秀的有17-6-5+2=8 （人）。獲得兩項或者三項優(yōu)秀的有 6+6+5-2X2=13 （人）。另有4人一項都沒獲優(yōu)秀。所以，這個班學生人數(shù)是13+6+8+8 + 4=39 （人）。5 .【解析】：根據(jù)容斥原理分類解決即可?！敬鸢浮浚罕?整除，即 兩個兩個地數(shù)有多少組，10002=500（表示除后取整數(shù)部分）被3整除的有333個，被5整除的有200個，被2和3同時整除的有166個