高等數(shù)學(xué)備課資料：第七章 微分方程 10 第十節(jié) 數(shù)學(xué)建模—微分方程的應(yīng)用舉例

1、第十節(jié) 數(shù)學(xué)建模微分方程的應(yīng)用舉例微分方程在幾何、力學(xué)和物理等實際問題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我們將集中討論微分方程在實際應(yīng)用中的幾個實例. 讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實際問題的魅力.分布圖示 衰變問題 追跡問題 自由落體問題 彈簧振動問題 串聯(lián)電路問題 返回內(nèi)容要點(1) 衰變問題(2) 追跡問題(3) 自由落體問題(4) 彈簧振動問題(5) 串聯(lián)電路問題例題選講衰變問題例1（E01）鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，這種現(xiàn)象稱為放射性物質(zhì)的衰變. 根據(jù)實驗得知，衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比，求放射性元素在時刻的質(zhì)量.解 用表示該放射性物質(zhì)在時刻的質(zhì)量

2、，則表示在時刻的衰變速度，依題意得 (1) 它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型，其中是比例常數(shù)，稱為衰變常數(shù)，因元素的不同而異.方程右端的負號表示當(dāng)時間增加時，質(zhì)量減少.易求出方程(1)的通解為若已知當(dāng)時，代入通解中可得則可得到特解它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注：物理學(xué)中，我們稱放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費的時間為半衰期，不同物質(zhì)的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素的半衰期約為50億年；通常的鐳的半衰期為1600年，而鐳的另一同位素的半衰期僅為1小時.半衰期是上述放射性物質(zhì)的特征，然而半衰期卻不依賴于該物質(zhì)的初始質(zhì)量，一克衰變成半克所需要的時間與一噸衰變成半噸所需要的時

3、間同樣都是1600年，正是這種事實才構(gòu)成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時使用的著名的碳14測驗的基礎(chǔ).例2 (E02) 碳14()是放射性物質(zhì)，隨時間而衰減，碳12是非放射性物質(zhì).活性人體因吸納食物和空氣，恰好補償碳14衰減損失量而保持碳14和碳12含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù).已測知一古墓中遺體所含碳14的數(shù)量為原有碳14數(shù)量的80，試求遺體的死亡年代.解 放射性物質(zhì)的衰減速度與該物質(zhì)的含量成比例，它符合指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律.設(shè)遺體當(dāng)初死亡時的含量為,時的含量為于是，含量的函數(shù)模型為 其中是一常數(shù).常數(shù)可以這樣確定：由化學(xué)知識可知，的半衰期為5730年，即經(jīng)過5730年后其含量衰減一半，故有

4、 即兩邊取自然對數(shù)，得 即于是，含量的函數(shù)模型為 由題設(shè)條件可知，遺體中的含量為原含量的80，故有 即兩邊取自然對數(shù)，得 于是 由此可知，遺體大約已死亡1846年.追跡問題例3（E03）設(shè)開始時甲、乙水平距離為1單位, 乙從A點沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲從乙的左側(cè)O點出發(fā), 始終對準乙以的速度追趕. 求追跡曲線方程, 并問乙行多遠時, 被甲追到. 解 設(shè)所求追跡曲線方程為經(jīng)過時刻甲在追跡曲線上的點為乙在點于是 (1) 由題設(shè)，曲線的弧長為 解出代入(1)，得 整理得 追跡問題的數(shù)學(xué)模型設(shè)則方程化為 或 兩邊積分，得 即 將初始條件代入上式，得于是 (2)兩邊同乘并化簡得 (3)(2

5、)式與(3)式相加得 兩邊積分得 代入初始條件得故所求追跡曲線為甲追到乙時，即點的橫坐標此時即乙行走至離點個單位距離時被甲追到.自由落體問題例4（E04）一個離地面很高的物體, 受地球引力的作用由靜止開始落向地面. 求它落到地面時的速度和所需的時間(不計空氣阻力). 解 取連結(jié)地球中心與該物體的直線為軸，其方向鉛直向上，取地球的中心為原點(如圖).設(shè)地球的半徑為物體的質(zhì)量為物體開始下落時與地球中心的距離為在時刻物體所在位置為于是速度為由萬有引力定律得微分方程 即 其中為地球的質(zhì)量，為引力常數(shù).因為當(dāng)時， (取負號是因此時加速度的方向與軸的方向相反). 代入得到初始條件為 先求物體到達地面時的速

6、度. 由得代入并分離變量得 把初始條件代入上式，得 于是 式中令就得到物體到達地面時得速度為再求物體落到地面所需的時間.分離變量得 由條件得 在上式中令便得到物體到達地面所需得時間為 彈簧振動問題例5（E05）設(shè)有一個彈簧, 它的一端固定, 另一端系有質(zhì)量為m的物體, 物體受力作用沿x軸運動, 其平衡位置取為坐標原點(圖12-11-3). 如果使物體具有一個初始速度那么物體便離開平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振動. 在此過程中, 物體的位置x隨時間t變化. 要確定物體的振動規(guī)律, 就是要求出函數(shù)解 據(jù)胡克定律知, 彈簧的彈性恢復(fù)力與彈簧變形成正比:其中(稱為彈性系數(shù)), 負號表示彈性恢復(fù)力

7、與物體位移方向相反. 在不考慮介質(zhì)阻力的情況下, 由牛頓第二定律可得 或 (11.9)方程(11.9)稱為無阻尼自由振動的微分方程. 它是一個二階常系數(shù)齊次線性方程. 如果物體在運動過程中還受到阻尼介質(zhì)(如空氣、油、水等)的阻力的作用, 設(shè)阻力與質(zhì)點運動的速度成正比, 且阻力的方向與物體運動方向相反, 則有其中(阻尼系數(shù)). 從而物體運動滿足方程或 (11.10)這個方程叫做有阻尼的自由振動微分方程, 它也是一個二階常系數(shù)齊次線性方程.如果物體在振動過程中所受到的外力除了彈性恢復(fù)力與介質(zhì)阻力之外, 還受到周期性的干擾力的作用, 那么物體的運動方程為即 (11.11)其中 這個方程稱為強迫振動的

8、微分方程, 它是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.下面就三種情形分別討論物體運動方程的解.串聯(lián)電路問題如圖12-11-7是由電阻R、電感L及電容C（其中R,L,C是常數(shù)）串聯(lián)而成的回路, 時合上開關(guān), 接入電源電動勢求電路中任何時刻的電流根據(jù)克?；舴蚧芈冯妷憾? 有其中RI為電流在電阻上電降壓, 而(Q為電容器兩極板間的電量, 是時間t的函數(shù))為電容在電感上電壓降, 則為電流在電感上電壓降. 由電學(xué)知, 于是方程成為 (11.13)這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 若當(dāng)時, 已知電量為和電流為則我們有初始條件: 此時, 能求出方程(11.13)初vi始問題的解.例6（E06）在圖7-10-8的電路中, 設(shè) 且初始電量和電流均為0, 求電