高等數(shù)學(xué)備課資料：第七章 微分方程 10 第十節(jié) 數(shù)學(xué)建模—微分方程的應(yīng)用舉例

1、第十節(jié) 數(shù)學(xué)建模微分方程的應(yīng)用舉例微分方程在幾何、力學(xué)和物理等實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我們將集中討論微分方程在實(shí)際應(yīng)用中的幾個(gè)實(shí)例. 讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問題的魅力.分布圖示 衰變問題 追跡問題 自由落體問題 彈簧振動(dòng)問題 串聯(lián)電路問題 返回內(nèi)容要點(diǎn)(1) 衰變問題(2) 追跡問題(3) 自由落體問題(4) 彈簧振動(dòng)問題(5) 串聯(lián)電路問題例題選講衰變問題例1（E01）鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，這種現(xiàn)象稱為放射性物質(zhì)的衰變. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知，衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比，求放射性元素在時(shí)刻的質(zhì)量.解 用表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻的質(zhì)量

2、，則表示在時(shí)刻的衰變速度，依題意得 (1) 它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型，其中是比例常數(shù)，稱為衰變常數(shù)，因元素的不同而異.方程右端的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí)間增加時(shí)，質(zhì)量減少.易求出方程(1)的通解為若已知當(dāng)時(shí)，代入通解中可得則可得到特解它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注：物理學(xué)中，我們稱放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費(fèi)的時(shí)間為半衰期，不同物質(zhì)的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素的半衰期約為50億年；通常的鐳的半衰期為1600年，而鐳的另一同位素的半衰期僅為1小時(shí).半衰期是上述放射性物質(zhì)的特征，然而半衰期卻不依賴于該物質(zhì)的初始質(zhì)量，一克衰變成半克所需要的時(shí)間與一噸衰變成半噸所需要的時(shí)

3、間同樣都是1600年，正是這種事實(shí)才構(gòu)成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時(shí)使用的著名的碳14測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ).例2 (E02) 碳14()是放射性物質(zhì)，隨時(shí)間而衰減，碳12是非放射性物質(zhì).活性人體因吸納食物和空氣，恰好補(bǔ)償碳14衰減損失量而保持碳14和碳12含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù).已測(cè)知一古墓中遺體所含碳14的數(shù)量為原有碳14數(shù)量的80，試求遺體的死亡年代.解 放射性物質(zhì)的衰減速度與該物質(zhì)的含量成比例，它符合指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律.設(shè)遺體當(dāng)初死亡時(shí)的含量為,時(shí)的含量為于是，含量的函數(shù)模型為 其中是一常數(shù).常數(shù)可以這樣確定：由化學(xué)知識(shí)可知，的半衰期為5730年，即經(jīng)過5730年后其含量衰減一半，故有

4、 即兩邊取自然對(duì)數(shù)，得 即于是，含量的函數(shù)模型為 由題設(shè)條件可知，遺體中的含量為原含量的80，故有 即兩邊取自然對(duì)數(shù)，得 于是 由此可知，遺體大約已死亡1846年.追跡問題例3（E03）設(shè)開始時(shí)甲、乙水平距離為1單位, 乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā), 始終對(duì)準(zhǔn)乙以的速度追趕. 求追跡曲線方程, 并問乙行多遠(yuǎn)時(shí), 被甲追到. 解 設(shè)所求追跡曲線方程為經(jīng)過時(shí)刻甲在追跡曲線上的點(diǎn)為乙在點(diǎn)于是 (1) 由題設(shè)，曲線的弧長(zhǎng)為 解出代入(1)，得 整理得 追跡問題的數(shù)學(xué)模型設(shè)則方程化為 或 兩邊積分，得 即 將初始條件代入上式，得于是 (2)兩邊同乘并化簡(jiǎn)得 (3)(2

5、)式與(3)式相加得 兩邊積分得 代入初始條件得故所求追跡曲線為甲追到乙時(shí)，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)此時(shí)即乙行走至離點(diǎn)個(gè)單位距離時(shí)被甲追到.自由落體問題例4（E04）一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由靜止開始落向地面. 求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間(不計(jì)空氣阻力). 解 取連結(jié)地球中心與該物體的直線為軸，其方向鉛直向上，取地球的中心為原點(diǎn)(如圖).設(shè)地球的半徑為物體的質(zhì)量為物體開始下落時(shí)與地球中心的距離為在時(shí)刻物體所在位置為于是速度為由萬有引力定律得微分方程 即 其中為地球的質(zhì)量，為引力常數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)， (取負(fù)號(hào)是因此時(shí)加速度的方向與軸的方向相反). 代入得到初始條件為 先求物體到達(dá)地面時(shí)的速

6、度. 由得代入并分離變量得 把初始條件代入上式，得 于是 式中令就得到物體到達(dá)地面時(shí)得速度為再求物體落到地面所需的時(shí)間.分離變量得 由條件得 在上式中令便得到物體到達(dá)地面所需得時(shí)間為 彈簧振動(dòng)問題例5（E05）設(shè)有一個(gè)彈簧, 它的一端固定, 另一端系有質(zhì)量為m的物體, 物體受力作用沿x軸運(yùn)動(dòng), 其平衡位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)(圖12-11-3). 如果使物體具有一個(gè)初始速度那么物體便離開平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振動(dòng). 在此過程中, 物體的位置x隨時(shí)間t變化. 要確定物體的振動(dòng)規(guī)律, 就是要求出函數(shù)解 據(jù)胡克定律知, 彈簧的彈性恢復(fù)力與彈簧變形成正比:其中(稱為彈性系數(shù)), 負(fù)號(hào)表示彈性恢復(fù)力

7、與物體位移方向相反. 在不考慮介質(zhì)阻力的情況下, 由牛頓第二定律可得 或 (11.9)方程(11.9)稱為無阻尼自由振動(dòng)的微分方程. 它是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程. 如果物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受到阻尼介質(zhì)(如空氣、油、水等)的阻力的作用, 設(shè)阻力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成正比, 且阻力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相反, 則有其中(阻尼系數(shù)). 從而物體運(yùn)動(dòng)滿足方程或 (11.10)這個(gè)方程叫做有阻尼的自由振動(dòng)微分方程, 它也是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程.如果物體在振動(dòng)過程中所受到的外力除了彈性恢復(fù)力與介質(zhì)阻力之外, 還受到周期性的干擾力的作用, 那么物體的運(yùn)動(dòng)方程為即 (11.11)其中 這個(gè)方程稱為強(qiáng)迫振動(dòng)的

8、微分方程, 它是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.下面就三種情形分別討論物體運(yùn)動(dòng)方程的解.串聯(lián)電路問題如圖12-11-7是由電阻R、電感L及電容C（其中R,L,C是常數(shù)）串聯(lián)而成的回路, 時(shí)合上開關(guān), 接入電源電動(dòng)勢(shì)求電路中任何時(shí)刻的電流根據(jù)克希霍夫回路電壓定律, 有其中RI為電流在電阻上電降壓, 而(Q為電容器兩極板間的電量, 是時(shí)間t的函數(shù))為電容在電感上電壓降, 則為電流在電感上電壓降. 由電學(xué)知, 于是方程成為 (11.13)這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 若當(dāng)時(shí), 已知電量為和電流為則我們有初始條件: 此時(shí), 能求出方程(11.13)初vi始問題的解.例6（E06）在圖7-10-8的電路中, 設(shè) 且初始電量和電流均為0, 求電