有限元中的半解析法

1、word有限元中的半解析法在現(xiàn)實(shí)生活中,由于求解的問題復(fù)雜、規(guī)模較大,常規(guī)的有限單元法的費(fèi)用較高,已經(jīng)不適用.因此,我們希望找到其他的方法以減少計(jì)算工作量,降低費(fèi)用.這時(shí),半解析法具有其優(yōu)勢,它是一種離散與解析相結(jié)合的方法.目前,常用的半解析法有三種：組合條-元法,有限元線法,有限條法；1.組合條-元法(binatoryStrip-ElementMethod)為了克服有限條半解析法所存在的局限性,又能存有有限條的一些優(yōu)點(diǎn),我們又提出了所謂的組合條-元法.這是一種將有限條和有限元的特點(diǎn)組合起來的方法.下面我來介紹組合條-元法的構(gòu)造思路.與條元法一樣,以窄長條帶為單元,不同的是,節(jié)線的兩端設(shè)置有結(jié)

2、點(diǎn).由于任一函數(shù)均可由完備函數(shù)集中的基函數(shù)來表達(dá),可采用如下兩步法構(gòu)造單元位移場：(1)由結(jié)點(diǎn)位移參數(shù),采用形函數(shù)插值構(gòu)造條帶單元的節(jié)線位移,這一步與有限元一樣.(2)以上述節(jié)線位移作參數(shù),沿條帶短邊方向進(jìn)行多項(xiàng)式插值,從而構(gòu)造條帶的位移場.經(jīng)過以上兩步,即可得到dNeNe式中 Ne-由結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)構(gòu)造的位移局部；-沿長邊方向由級數(shù)構(gòu)造的位移局部.然后就可以按普通有限元進(jìn)行分析.這種方法克服了有限條法的缺陷,幣有限元減少了很多未知量.使用這種方word法我們解決了平面問題、薄板問題、折板與平面殼體等的線性與非線性、靜力與動(dòng)力分析；并聯(lián)合應(yīng)用了有限元、組合條元與映射無限元求解過路面力學(xué)問題.是一

3、種可行的方法.2有限元線法(FiniteElementMethodofLines)有限元線法(FEMOL)是袁馳提出的一種以常微分方程求解器為支撐軟件的新型半解析法.有限元線法的構(gòu)造思路有以下幾步：(1)建立參數(shù) FEMOL 的單元映射.為適應(yīng)復(fù)雜形體問題的計(jì)算,可建立母單元與子單元的映射關(guān)系.(2)構(gòu)造參數(shù) FEMOL 的變量場：單元上的變量場可由節(jié)線未知函數(shù) Ui(通過七方向的形函數(shù) Ni(9 插值得到.p1UNi()Ui()Nue(8)i1NNI()N2()NPI()式中TUeUI()U2()UPI()(3)參數(shù) FEMOL 的能量泛函確實(shí)定：結(jié)構(gòu)中每個(gè)單元的能量為 ne,它是的函數(shù).那

4、么整個(gè)求解域的能量為：e(9)e(4)建立常微分方程體系：常微分方程建立后,經(jīng)過一系列的處理后即可用求解器(Solver)來求未知節(jié)線位移函數(shù)有限線元法中,由于引入?yún)?shù)單元,節(jié)線位移是通過解常微分方程組得到的,很有效的半解析方法.小結(jié)：半解析法的具體方法有多種,是可用于不規(guī)那么區(qū)域的求解；由于未知其自然精度要比其他方法高.也是一種這里只介紹了三種方法.并對有限條法word作了詳細(xì)的介紹.在實(shí)際中每種方法都有其優(yōu)勢,也有其缺乏.我們應(yīng)根據(jù)具體的情況和要求,采用某種適宜的方法,或者聯(lián)合使用多種方法進(jìn)行具體分析,已到達(dá)要求的目的.3有限條法(FiniteStripMethod)有限條法是由 X 佑啟

5、先生提出的一種方法,用以解決規(guī)那么形體問題.本方法具有工作量小、精度高的優(yōu)點(diǎn).下面將以薄板為例,介紹位移場的構(gòu)造方法.如圖 1所示,有一矩形薄板,設(shè)每條邊界的支承條件相同,圖中表示了三種支承情況,圖 1(b)用一些與邊界線平行的直線將板分割成假設(shè)干窄長的條帶以此組成有限元分析中的單元.下面介紹這種條帶單元位移場的建立思路.X簡支邊固定地wz(a)矩形薄板示意圖圖 i 矩形薄板與有限條離散示意圖i.i 確定位移模式對于薄板來說,撓度可用別離變量形式表示Nw(x,y)fm(y)?Xm(x)m=11.2 邊界條件確實(shí)定z,z(b)分割單表2um的取值word本例中也可取 Xm(X)滿足條帶兩端的邊界

6、條件的梁振形函數(shù),它是如下微分方程的解:蕓吟4X(2)式中 u-是振型參數(shù),由邊界條件確定圖 1(a)所示的是一端固定一端簡支的情況,那么有:UmXsinUmUmXXm(x)=sinshashuma(3.1)式中,振型參數(shù)Um由tgUm=tanhUm確定,具體取值見表m:123Um3.92667.068510.21024m14(1)兩端簡支UmXXm(x)=sinUm=m兀a(3.2)(2)兩端固定V(uma)、Xm(x)=V(UmX)弋U(UmX)U(uma)(3.3)um由cosumchum=1確定,取值如下表 2.wordm:123Um4.730047.853210.9556082m1無

7、2(3)兩端自由在 m3 時(shí),Um由表2中取得.(4)一端固定一端自由XmV(umx)T(Ua)U(umx)S(uma)、Um由cosUmChUm=-1 確定,取值如下表 3.表3Um的取值m:123Um:1.8754.6942m-1花2Um從 m=2 開始,按表 1 取值.Xi(x)1XmT(UmX)2xX2(x)1aV(uma),S(umx)m3U(uma)(3.4)(3.5)xX1(x)aUmxXm(x)=sinSinUmUmXsh一shUma(3.6)在以上各式中,S、T、U、V 是振動(dòng)理論中的克雷洛夫函數(shù),即wordaXmXndx0mn01.3 確定位移場在此過程中,沿短邊方向上條間

8、節(jié)線的未知位移為參數(shù),的前提下由形函數(shù)插值構(gòu)造.對只有外節(jié)線的條元,設(shè)左右兩側(cè)節(jié)線位移參數(shù)矩陣為61m、2m,相應(yīng)的形函數(shù)矩陣為NI、N2,那么有fm(y)=NIN26Tlm6T2mT(5)假設(shè)為內(nèi)節(jié)線的高階條元,記內(nèi)節(jié)線位移參數(shù)與形函數(shù)為3m、N3那么fm(y)=N1N2N3城1m6T2m6T3m1T其余的可類推.假設(shè)僅以節(jié)線位移為參數(shù)時(shí),那么.yyTfm(y)=1bb31m32m當(dāng)以節(jié)線位移和轉(zhuǎn)角為參數(shù)時(shí),有fm(y)=N1N2N3N413T1m6Tlm32m62mT上式中 Ni為梁的 Hermite 函數(shù).將 fm(y)、Xm(x)帶入(1)式,整理后即可得到位移場的標(biāo)準(zhǔn)形式.本例為薄S

9、(umx)T(umx)U(umx)V(Umx)umxcosa.umxsinaumxcosa.umxsina,umxcha,umxsha,umxchashumxa(3.7)由于振型函數(shù)的正交性,Xm(x)存在如下正交關(guān)系aXmXndx0在滿足收斂性準(zhǔn)那么word板,那么條帶單元的位移場為3(x,y)=N7e(6)本例中的思路也可用來構(gòu)造二維、三維等問題的位移場,對于三維問題來說有Nu(x,y,z)fm(x,y)?Z(x)m=1由于任意函數(shù)均可展為完備的正交函數(shù),因此,只要級數(shù)項(xiàng)數(shù)足夠大,就可保證位移場沿條帶長邊方向趨于精確.如果有一方向可取解析解,離散僅在另外方向進(jìn)行,從而使得未知量數(shù)目大大減少,二維問題降為一維、三維降為二維.如采用的是正交函數(shù)集,對一些問題由于正交性,各級數(shù)項(xiàng)積分不耦聯(lián),這也會(huì)減少工作量.1.4 有限條法的缺乏雖然樣條法在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用,但依然有一定的局限性：(1)條元不可能在長邊方向連接有限元或其它單元.(2)當(dāng)結(jié)構(gòu)