北京專家2020屆高考模擬試卷(一)數(shù)學(xué)試卷解析(理科)

1、北京專家2020屆高考模擬試卷(一)數(shù)學(xué)試卷解析(理科)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)、選擇題：本大題共 12小題,每小題5分，共60分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng).1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z滿足(2(A) 2 i(B)(C)(D)解析：選A,易知2.已知集合x| y52 i11,Bx|(x1)(x 2)(A) ( 1,1 (B) (1,2) (C)(1,1)(D)(,2)解析：選C,易知A (,1),B(1,2),故AI B (1,1)3.在 ABC中，角AB, C所對(duì)的邊為ab, c,已知a 7, c3,A(A) 4(B) 5(C)8(D) 5解析：選B,由余弦定理:22b c 2bcc

2、osA3b40 0,解之得b 5.4.下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(A) y x3 x (B)ye|x1(C)y 11nxi(D)y sin x解析：選 C,由奇偶性的定義可知，(A) (D)是奇函數(shù)，(B)是偶函數(shù), 不是偶函數(shù).(C)既不是奇函數(shù)也2x5.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足條件 xyy y 0,0,1,則 2x3y的最小值為(A) 2(B)(C) 3(D) 4解析：選A,即y 3x作出可行域如圖,當(dāng)直線設(shè)：2-x32x1 一、一一，1z經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)時(shí), 3截距最小，此時(shí)2x 3y 2.6.若 5 x1 ,則函數(shù)f (x)x2 2x 2 后有(A)最小值1(B) 最大值2x

3、2 (C)最小值1 (D)最大值一 1解析：選D,由于f (x)2(x 1)12(x 1)12 Kx1)1， 一,根據(jù)題意x 14x10,故由均值不等式 f (x) 1 ( 2)21即x 2時(shí)取等.7.已知函數(shù)f (x) xsinx ,若 af(3),b f(2),c f(1og2 5),則 a,b,c的大小關(guān)系是(A) c b a (B) b c a (C) a c b (D) a b c解析：選D,由于f (x)1 cosx 0,則f(x)在R上單調(diào)遞增，又 J3 2 log2 5,從而a b c.uuir uuir uuu 1 uun8.在正二角形 ABC, AB=2, BD DC, A

4、E -EB ,2且AD與CEffi交于點(diǎn)uuu uuirQ 則 OA OC(A)4(B) 3(C)2(D)-5432解析：選B,如圖，設(shè)A(0, J3),C(1,0),由坐標(biāo)法可求解出 O(0,uuu,從而OAuuuOC12.函數(shù)f (x) xln(x 1) a(x 2)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是9.九章算術(shù)是我國的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：今有蒲(水生植物名)生長一日，長為三尺；莞(植物名)生長一日，長為一尺.蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加一倍問當(dāng)蒲和莞長度相等時(shí)，其長度是(A)五尺 (B) 六尺 (C) 七尺 (D) 八尺解析：選A,設(shè)蒲和莞每日生長長度分別構(gòu)成等比數(shù)列an ,

5、bn,其前n項(xiàng)和分別為An，Bn ,13(1 n)則 An 2-,Bn1 12Bn ,化簡得n26,所以n log2 6,此時(shí)A Bn 510.已知函數(shù)f(x)2sinxcos x2 3 cos23(0)在區(qū)間(0,丁)內(nèi)有且只有一個(gè)極2值點(diǎn)，則的取值范圍是5(A) (0,6)(B)11(0,6(C)5 116,7(D)5 111%解析：選D,注意到f (x)2sin(2 x7t11611.如圖，點(diǎn)P為單位圓上一點(diǎn),ZxOP，點(diǎn)P沿單位圓逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 3到點(diǎn)Q(-,-), 5 5則cos(A) 4 (B)(C) 3 3 4 (D)103 3 4103 3 410解析：選B,由三角函數(shù)的定義

6、可知兀cos(一 34 兀 3一，sin(一 ) 一 , 535故cos兀兀cos(二 )二) 3310(A) (0,2) (B) (2,e) (Q (e,) (D) (2,)解析：選D,等價(jià)于g(x) Inx 必二)有三個(gè)零點(diǎn)，g(x)-二-一2(1a2x1 ,x 1x(x 1) x(x1)其中x 。，令u(x) x2 2(1 a)x 1,當(dāng)a 2時(shí)，u(x) 0 ,從而g(x)在(0,)上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) a 2時(shí)，此時(shí)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x 1 x2,并且g(x)在(0,x)單調(diào)遞增，在(x,M)單調(diào)遞減，在(x2,)單調(diào)遞增，注意到g(1) 0,故g(x) g(1) 0 g(

7、x2), 又因?yàn)閤 0,g(x), x , g(x) ,故此時(shí)函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意.、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.13 .函數(shù)f(x) (x 1)ex的圖象在(1,0)處的切線為y ax b,則a b的值為.答案：0;解析：由 f (x) x e x得，f ( 1) e,而 f ( 1) 0,故切線 y e(x 1),從而a b e ,即a b 0 .14,已知向量a=(1,2) , b=(2,0),若向量 入a+b與向量c = (1, 2)共線，則實(shí)數(shù) 入等于.答案：一1;解析：入a+b=(入+2,2入)，由共線可得：2(入+2)=2入，即入=1.15 .如圖

8、是一個(gè)算法的程序框圖，該算法輸出的結(jié)果是答案：?。唤馕觯和ㄟ^計(jì)算，執(zhí)行第 10次循環(huán)時(shí),11110i 11,m 10, n 1 ,不滿足判斷框內(nèi)的條件，此時(shí)輸出-.1111 1116 .在 ABC43, 2AB 3AC , AD是/ BAC勺角平分線，設(shè) AD mAC ,則實(shí)數(shù) m的取值范 圍是.答案：(0,6)；5解析：設(shè) AB 3t,AC 2t , / BAa/CAD ,由 S BAD S CAD SBAC 得：1 11-6,幾一 3t 2mt sin 2t 2mt sin 3t 2t sin 2 ,化簡得 m cos ,由于 (0,一)，2 2252故 m (0,6).5三、解答題：共7

9、0分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題, 每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共 60分.17 .(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，a1 1 ,公比為q,等差數(shù)列bn中，b, 3,且 bn的前 n 項(xiàng)和為 Sn , a3 S3 27 , q S2.a2(I)求an與bn的通項(xiàng)公式；(n)已知cn an bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解析：(I)設(shè)數(shù)列bn的公差為d ,由已知可得：a3S3S2a227,故q2 3d 18,6 d q2,而an0,解之得q 3,d 3.所以 an 3n 1, bn3n

10、 6分(n )由(I )知cnn3nTn 1312 32Ln3n，3Tl1 32 L (n 1) 3n n 3n 1 ,9 分由-可得：2Tn 3132L3nn3n13(13 ) n 3n 11 3n 1 Q化簡整理得Tn (2n 1)3一3 12分418 .(本小題滿分12分)2019年9月，聯(lián)合國最高環(huán)保榮譽(yù)“地球衛(wèi)士獎(jiǎng)”中的“激勵(lì)與行動(dòng)獎(jiǎng)”頒發(fā)給了中 國互聯(lián)網(wǎng)環(huán)保項(xiàng)目“螞蟻森林”，以鼓勵(lì)中國人在生態(tài)保護(hù)中取得的巨大進(jìn)展。由于植物沙 棘具有耐旱、耐堿、防水土流失的優(yōu)點(diǎn)，已通過“螞蟻森林”在全國多地區(qū)推廣種植。某農(nóng) 科所技術(shù)人員為了了解某批沙棘的生長情況，在該批幼苗中隨機(jī)抽取了容量為120的

11、樣本,一年后測(cè)量幼苗的高度(單位：cm).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，高度均在區(qū)間1,9內(nèi)，將其按1,3),3,5),5,7),7,9分成4組，制成如圖的頻率分布直方圖，其中高度不低于5cm的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗，可以安全越冬，高度低于3cm的樹苗為劣質(zhì)樹苗，其存活率最低.注：用頻率作為概率的估計(jì)值 .(I)試估計(jì) 該批沙棘一年后的生長高度的平均數(shù)； (n)某網(wǎng)友“螞蟻森林”的能量值可以種植3棵沙棘，現(xiàn)從該批沙棘幼苗中隨機(jī)抽取 3 棵進(jìn)行種植，設(shè)一年后優(yōu)質(zhì)樹苗的棵數(shù)為隨機(jī)變量，求 的分布列與期望.解析：(I)根據(jù)頻率分布直方圖，該批沙棘一年后的生長高度的平均數(shù)為2 0.1 4 0.3 6 0.4 8 0.2 5.4 c

12、m 3分(n)根據(jù)頻率分布直方圖，該批沙棘幼苗中優(yōu)質(zhì)樹苗的概率為-,則隨機(jī)變量 B(3,-),55則 P( k)Ck 5分3)k (2)3 k (k 0,1,2,3),即 的分布列如下表: 550123P812536125541252712510分3E( ) 3 512分即的期望為19.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD平行四邊形，PD1平面ABCD E是棱PC上 的一點(diǎn)，滿足 PA/平面BDE(I )證明 PE=EQ(n)設(shè)PD=AD=BD=1, AB ，若F為棱PB上一點(diǎn)，使得直線 DF與平面BDE成角的 大小為30。，求PF FB的值.解析：(I)如圖，連接

13、 AC交BW點(diǎn)M連接EM則EM平面PAC平面BDE勺交線 因?yàn)镻A/平面BDE故PA/ EM又因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn),PE分D.C4b分(n)由條件可知， 故以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 標(biāo)系，則D(0,0,0)1 1 1 uurE( -,-,-) , DE2 2 2uuu uuu設(shè) PF PB(0AD* 2 BD2 AB2 ,所以 AD BD ,DA為x軸，DB為y軸，DPj z軸建立空間直角坐A(1,0,0) , B(0,1,0)1 1 1 uur(,),DB 2 2 2，P(0,0,1)， q-1,1,0)(0,1,0)1),貝U F(0, ,1uuir),DF (0, ,1)EC故

14、 PE=EC設(shè)平面BDE勺法向量為 n=(xy,z),r umr州n DE r uuur n DB0,0,即yx0y z 0,故取n=(1,0,1)10分因?yàn)橹本€DF與平面BD即成角的大小為30o12分uujr r所以 |UUF-n| sin 30o |DF l|n|22.(本小題滿分12分)2 X已知 E( 1,0) , F2(1,0)是橢圓 C： a2yY 1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn), b2imr uuuu uuiruiur且 PF1 PF2 | PF1 | |PF21 6 .(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)設(shè)A, B為橢圓C上的點(diǎn)，若UULTPFiUULTUUUU2F1

15、 A, PF2uuuuF2B,求 的值.解析：(I)法1:(直接將條件坐標(biāo)化)設(shè)點(diǎn)UULT UUUT UULTUULUP(x,y),則由 PF1 PF2 I PF1 I I PF2 | 6 可得:(x 1)(x 1) y2 (x 1)2 y2化簡整理得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是:法2:在 PF1F2中，余弦定理6.(x1)2y2622xy1UuLT32unu 2IPF1IIPF2Ia2UHT得嚴(yán)1 Iuum,| PF2 | 4 2 |F1F2 |.故IF1F2 |2UULTUUUL21- IPF1 I IPF2 I2,c 1,b2 3,UUIT5分ULUU 2(|PFi| |PF2|)從而橢圓2C的標(biāo)

16、準(zhǔn)方程是：4(n)設(shè)P(xo,yo)，A(x1,y1)B(X2,y2)，PA x my代入橢圓C: 3x224y12 得(3m、24)y6my 9 0UULT由PF1UHT2F1A 得,yo從而y1V。6m3m4W，V1V。93m2 42y2 ，消去y。得236m22(3 m4)922(3m4)不妨設(shè)yo運(yùn),則結(jié)合圖形得4PF2的斜率445Xo12V1從而m2k23匹,從而直線2代入3x24y222212 得 3(1 y)4y 12,3,564 2 y15于是V215 9 行/曰9 5,斛得y ,從而6416y。V22 245yo 4y1 445y2Xo4為所求.3169.512分1 2已知函

17、數(shù)f(x) ln x - x2 ax , a C R. 2(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng)a 逆時(shí)，設(shè)f(x)的極大值點(diǎn)為 為，極小值點(diǎn)為x2,求f(x) f(x2)的取值范 3圍.解析：(I )由題意f (x) - x ax2x ax 1x12 時(shí)，ax a 2 0 ,從而 f (x)在(0, x)單調(diào)遞增,當(dāng)a 2時(shí)，令x2 ax 1 0得x1a a2 42，a a a 4x2，易知 0 x1 12*2,)時(shí)，f (x) 0,當(dāng) x (x,x2)時(shí)，f (x) 0 ,所以f(x)在區(qū)間(0,x1)和(x2,)單增，在(x1,x2)單減； 4分(n)由(i)知 xx2a, xx2 1

18、, x1a 0a 4 * , x2 -a-224,4即為f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)， 5分而a竽,故x1x2志，6分于是f (x1)1 2f(xz)= (ln x- - xiax-) (lnx221 2X1 , 22、一 x2ax2)=ln(Xx2)a(xx?)2x22_ , x11/22(-In 一 一(x1x2) (x1x22x2)(x1 x2)xx21(叼，3_ . x1 In x2f(X)設(shè) g( t) = In t - (t 21 t)-(x22f M)1(0，03x2)=In上x222xx2*2=In t1(t 21一) t1t1 2(11 什 1)2.1 ,tr) = 2t20

19、,即 g(t)在(0，3上單減，故g(t) g1 In31 ,1 c、4 ,-(3) In32 3312分(二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第-題計(jì)分.22.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)P(1,2),且傾斜角為，(0,).以直角坐標(biāo)系的2原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2(3 sin2 ) 12.(I)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程，并判斷曲線C是什么曲線；(n)設(shè)直線l與曲線C相交于MN兩點(diǎn)，當(dāng)|PM | |PN | 2時(shí)，求 的值._ x 1 t cos解析：(I)直線l的參數(shù)方程為x 1Tt為參數(shù))， 2分y 2 t sin ,由于2 x2 y2, sin y,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2 4y2 12,22即土匕1,故曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 5分43(n)將直線l的參數(shù)方程代入曲線 C的直角坐標(biāo)方程，整理得：222