小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何

1、小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何話題一吳正憲（北京教育科學(xué)研究院）王彥偉（北京東城區(qū)教師研修中心）張 杰（北京東城區(qū)教育研修學(xué)院）2011版課標(biāo)終于要公布了，新課標(biāo)修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何”這個(gè)領(lǐng)域的變化。新課標(biāo)在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個(gè)核心概念。主要有空間觀念、幾何直觀、推理能力等?？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想 象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化； 依據(jù)語言的描述畫出圖形等。更直觀的理解如下圖：幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡(jiǎn) 明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)

2、果，探索思路預(yù)測(cè)結(jié)果。案例：打電話如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘的時(shí)間，能使多少人收到通知大膽的猜測(cè)一下。下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點(diǎn)以圖形的形式，來描述打電話 來通知這件事情，設(shè)計(jì)方案。通過這個(gè)數(shù)圖就把這個(gè)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，很簡(jiǎn)明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個(gè)圖本身，就能 發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個(gè)人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你 算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點(diǎn)，以及圖形，把通知過程很簡(jiǎn)捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清 楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推理能

3、力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出 發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、 公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則 證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路， 發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。通過對(duì)一線教師的訪談，查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個(gè)大話題。討論話題：1 .如何在觀察、操作中“認(rèn)識(shí)圖形” 抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念2

4、.如何以“圖形的測(cè)量”為載體，滲透度量意識(shí)，體會(huì)測(cè)量的意義，認(rèn)識(shí)度量單位及其實(shí)際意義，了解掌握測(cè)量的基本方法， 并在具體問題中進(jìn)行恰當(dāng)?shù)墓罍y(cè)從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念與推理能力3 .如何通過“圖形的運(yùn)動(dòng)”探索發(fā)現(xiàn)，體會(huì)研究圖形性質(zhì)的不同方法，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣4 .如何通過學(xué)習(xí)“確定圖形位置”的方法，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力話題一、圖形的認(rèn)識(shí)一一抽象圖形特征，發(fā)展空間觀念'可題一、新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識(shí)方面有哪些變化有哪些新的要求呢這次新課標(biāo)修訂后圖形的認(rèn)識(shí)部分都包括哪些內(nèi)容有什么新的變化課標(biāo)修訂前后立體圖形的認(rèn)識(shí)部分內(nèi)容的對(duì)比：修訂前第一 (

5、1 )通過實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正 學(xué)段 方體、圓柱和球等 立體圖形。(2 ) 辨認(rèn)從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀。參見例1 (3 )辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、 平行四邊形、圓等簡(jiǎn)單圖形。(4 )通過觀察、操作， 能用自己的 語言描述 長(zhǎng)方形、正方形的特征。(5 )會(huì)用長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。(6 )結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角， 會(huì)辨認(rèn)直 角、銳角和鈍角。(7 )能對(duì)簡(jiǎn)單幾何體和圖形進(jìn)行分 類。第二 (1 ) 了解兩點(diǎn)確定一條直線和兩條 學(xué)段相交直線確定一個(gè)點(diǎn)。(2 )能區(qū)分直線、線段和射線。(3 )體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最 短，知道兩點(diǎn)間的距離。(4 )知道周角、平

6、角的概念及周角、 平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān) 系。(5 )結(jié)合生活情境了解平面上兩條直 線的平行和相交(包括垂直)關(guān)系。(6 )通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)平行四邊 形、梯形和圓，會(huì)用圓規(guī)畫圓。(7 )認(rèn)識(shí)三角形，通過觀察、操作， 了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角 形內(nèi)角和是 180 ° 。修訂后1 .能通過實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方 體、圓柱和球等幾何體。2 .能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn) 從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體(參見例11 )。3 .能辨認(rèn)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平 行四邊形、圓等簡(jiǎn)單圖形。4 .通過觀察、操作，初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、 正方形的特征。5 .會(huì)用長(zhǎng)方形、正方形、

7、三角形、平行 四邊形或圓拼圖。6 .結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角，了解直角、銳 角和鈍角。7 .能對(duì)簡(jiǎn)單幾何體和圖形進(jìn)行分類(參 見例20 )。1 .結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線。2 .體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，知 道兩點(diǎn)間的距離。3 .知道平角與周角，了解周角、平角、 鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4 .結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的 平行和相交(包括垂直)關(guān)系。5 .通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形和圓，知道扇形， 會(huì)用圓規(guī)畫圓。6 .認(rèn)識(shí)三角形，通過觀察、操作，了解 三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角 和是180° 。7 .認(rèn)識(shí)等腰三角形、等邊三角形、直角 三角形、銳角三角

8、形、鈍角三角形。8 .能辨認(rèn)從不同方向(前面、側(cè)面、上 面)看到的物體的形狀圖(參見例32 )。(8 )認(rèn)識(shí)等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。（9 ）通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、 正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正 方體和圓柱的展開圖。（10 ）能辨認(rèn) 從不同方位看到的物體9.通過觀察、操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方 體、圓柱和圓錐，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體和 圓柱的展開圖。的形狀和相對(duì)位置O參見例1 從這個(gè)表中可以看到，課表修訂前后在圖形的認(rèn)識(shí)部分只有一些細(xì)小的變化，圖形與幾何這一 模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形”為“圖形與幾何”；重提幾何直觀、推理能力、運(yùn)算 能力、邏輯思維

9、能力，用詞更加規(guī)范，體現(xiàn)了課標(biāo)的嚴(yán)肅。標(biāo)準(zhǔn) 的”圖形與幾何”第一、二學(xué)段仍分為四部分，具體表示有所變動(dòng)，（1 ）圖形的認(rèn)識(shí)，（2 ）測(cè)量，（3 ）圖形的運(yùn)動(dòng)（修改稿：圖形與變換），（4 ）圖形與位置。圖形的運(yùn)動(dòng)” 強(qiáng)調(diào)了圖形的運(yùn)動(dòng)是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。運(yùn)動(dòng)也是一種基本的數(shù)學(xué)思想。第二學(xué)段 的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)刪除“兩點(diǎn)確定一條直線”和“兩條直線確定一個(gè)點(diǎn)”?！皥D形與幾何”領(lǐng)域，將幾何學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生生活的空間，強(qiáng)調(diào)空間和圖形知識(shí)的現(xiàn)實(shí) 背景，從第一學(xué)段開始使學(xué)生接觸豐富的幾何世界。新標(biāo)準(zhǔn)突出用觀察、描述、制作、從 不同的角度觀察物體、 認(rèn)識(shí)方向、制作模型等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和圖形設(shè)計(jì)與

10、推理 （合 情推理與演繹推理）的能力。新標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段還增加了知道扇形這一內(nèi)容。扇形的認(rèn)識(shí)，大綱（修訂版）教材作為選學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中沒有認(rèn)識(shí)扇形的要求。認(rèn)識(shí)扇形在課標(biāo)修改稿中確實(shí)沒有做要求，但在“統(tǒng)計(jì)與概率”部分卻明確提出了通過實(shí)例認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，考慮到知識(shí)的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學(xué)生認(rèn)識(shí)扇 形統(tǒng)計(jì)圖的需要，課標(biāo)修訂稿在認(rèn)識(shí)圓的基礎(chǔ)上，增加了初步認(rèn)識(shí)扇形。簡(jiǎn)單說對(duì)圖形認(rèn)識(shí)的要求主要包括兩個(gè)方面：一是對(duì)圖形自身特征的認(rèn)識(shí)。二是對(duì)圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。在三個(gè)學(xué)段中，認(rèn)識(shí)同一個(gè)或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從“辨認(rèn)”到 “初步認(rèn)識(shí)”，再?gòu)?“認(rèn)識(shí)”到“探

11、索并證明”。例如，對(duì)于長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球 等幾何體，第一學(xué)段要求“辨認(rèn)”；第二學(xué)段要求“認(rèn)識(shí)”；第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開圖。又如，對(duì)于平行四邊形，第一學(xué)段要求“辨認(rèn)”；第二學(xué)段要求 “認(rèn)識(shí)”；第三學(xué)段要求“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理”。再如，三角形內(nèi)角和的例子：關(guān)于 “視圖”，第一學(xué)段要求 “能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到 的簡(jiǎn)單物體”；第二學(xué)段要求 “能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形 狀圖”；第三學(xué)段要求 “會(huì)畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判 斷簡(jiǎn)單物體的視圖，會(huì)根據(jù)視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體”。這種要求

12、的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認(rèn)識(shí)過程；也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，逐漸深入、 循序漸進(jìn)。對(duì)圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。第一學(xué)段的“ 了解直角、銳角和鈍角”；第二學(xué)段的“體會(huì)兩點(diǎn)間所有連線中線段最短” ；“ 了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系” ；“ 了解 三角形兩邊之和大于第三邊”；第三學(xué)段的“會(huì)比較線段的長(zhǎng)短”，“能比較角的大小 ” 等，都是對(duì)圖形大小關(guān)系的研究 點(diǎn)與直線的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等，是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、平移也反映了圖形與圖形之間

13、 的位置關(guān)系。圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程內(nèi)容，全等研究的是圖形的形狀、大小關(guān)系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系；而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關(guān)系。在兒童的不同學(xué)段上，形象思維的發(fā)展是有層次的，荷蘭范.希爾夫婦對(duì)學(xué)生幾何思維水平的 研究說明了從直觀辨認(rèn)到探索特征是兒童的對(duì)圖形的形象思維規(guī)律。他們將學(xué)生的圖形認(rèn)知水平主要分為五級(jí)：水平 1 :直觀化；水平 2 :描述/分析；水平3 :抽象/關(guān)聯(lián)；水平 4 :演繹/形式化推理；水平 5 :嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。一二三水平在小學(xué)體現(xiàn)，四五水平是在中 學(xué)體現(xiàn)的。這和我們課標(biāo)的要求也是一致。圖形認(rèn)識(shí)的教學(xué)先明確兩點(diǎn)：一是這部分內(nèi)容

14、屬于圖形認(rèn)識(shí)的哪個(gè)水平，前后繼知識(shí)各是什么；二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個(gè)什么階段，要通過你的教學(xué)達(dá)到什么階段。'可題二、小學(xué)階段對(duì)于“圖形的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個(gè)編排體系的第一，現(xiàn)在的教材，在圖形的認(rèn)識(shí)當(dāng)中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發(fā)展過 程上看，實(shí)際上我們中國(guó)小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點(diǎn)、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上 個(gè)世紀(jì)90年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面， 然后又回到立體。為什么當(dāng)時(shí)要改因?yàn)楫?dāng)時(shí)很多老師都反映，高年級(jí)孩子，對(duì)幾何立體圖形，本身的識(shí)圖的能力 比較低，認(rèn)識(shí)起來比較困難。這部分是個(gè)難點(diǎn)，分階段安排可以分散難點(diǎn)

15、。第二，實(shí)際上一個(gè)人是生活在三維空間當(dāng)中，一個(gè)嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到 的東西，實(shí)際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在 這個(gè)過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實(shí)物的模型的。那 在這種情況之下，低年級(jí)孩子，剛開始初步的認(rèn)識(shí)立體圖形是有可能的。所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個(gè)長(zhǎng)期的反復(fù)的積 累的過程，不能一次到位。所以當(dāng)時(shí)的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要 求直觀認(rèn)識(shí)，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形?，F(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后 講平面，再回到立體，但這兩次講

16、立體層次不同，第一次要求辨認(rèn)，到第二學(xué)段要求是認(rèn)識(shí)。 也就是 現(xiàn)在教材是 “體-形-體”的混合螺旋編排結(jié)構(gòu)'可題三、怎樣通過圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念第一、通過對(duì)實(shí)物的觀察與操作認(rèn)識(shí)圖形第一學(xué)段要求“能通過實(shí)物和模型辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體”、“通過觀察、操作，初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形的特征”；第二學(xué)段要求“結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線”、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系”等，這些要求的共同特點(diǎn)是通過觀察與操作認(rèn)識(shí)圖形，直觀地、整體地認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形。從對(duì)實(shí)物的觀察與操作過程中來認(rèn)識(shí)圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，也符合數(shù)

17、學(xué)課程的目標(biāo)要求。這樣的過程有助于學(xué)生發(fā)展能力，初步體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展積極 的情感與態(tài)度。人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球都給我們以長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以從認(rèn)識(shí)立體圖形開始，“通過實(shí)物和模型等辨認(rèn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等幾何體”?！氨嬲J(rèn)”是認(rèn)識(shí)的低級(jí)階段，但與以往的經(jīng)驗(yàn)有所不同，它要經(jīng)歷從實(shí)物到幾何圖形的抽象過程。從不同的角度觀察長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、球的表面，抽象出長(zhǎng)方形、正方形、圓等平面圖 形。像這樣從具體到抽象，從實(shí)物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形 的關(guān)系，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。第二學(xué)

18、段要求 “結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線”、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系”。射線和直線涉及到了無限的概念，與長(zhǎng)方體、正方體、長(zhǎng)方形、正方形等相比，在現(xiàn)實(shí)中沒有 “直線”的實(shí)物原型，這就需要學(xué)生進(jìn)行抽象與想 象。認(rèn)識(shí)線段要容易一些，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中有“線段”的實(shí)物原型。類似的，學(xué)生理解兩條直線平行的位置關(guān)系也比較困難，可以利用兩根鐵軌作為實(shí)物原型來描 述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實(shí)，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無 法總是筆直的延伸，所以在從實(shí)物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生發(fā)展抽 象能力和空間觀念。第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)

19、換，發(fā)展空間觀念新教材內(nèi)容編排上增加了“視圖和投影、展開與折疊 ”等內(nèi)容。視圖和投影，過去小學(xué)沒有，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何和圖形當(dāng)中，增加了觀察物體，這部分在課標(biāo) 上有兩個(gè)要求。第一個(gè)學(xué)段的要求是根據(jù)具體事物照片或直觀圖，辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀， 這是辨認(rèn)。很多教材里面是這樣，有的是拿個(gè)實(shí)物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角 度去看，看的時(shí)候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。第二個(gè)學(xué)段的要求能辨認(rèn)從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到 物體的形狀圖，這個(gè)形狀圖實(shí)際上就是一個(gè)平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個(gè)投影， 也就是拍照。例如拍照的結(jié)果，雖然不是真正意義上的視圖，但是它的確實(shí)現(xiàn)了，把三維空間