初中數(shù)學(xué)幾何專題《中線倍長》精講

1、E經(jīng)幾何： 初中教學(xué)輔助線專練專題二：中按傍衣“中線倍長”是幾何學(xué)習(xí)中常見的構(gòu)造輔助線的方法，當(dāng)題目中出現(xiàn)中點時.我們 可以通過“中段倍長”來構(gòu)造一對全等三角形，從而為解決問題提供條件.典型例題：勺如圖2/所示，46c中，力力是/歷1C的平分線，且BD=CQ,求證：/8=/C 思路分析大部分八年級學(xué)生初次見到此問題，會根據(jù) “BD=CD, AD=AD. NBAANCID” . 去證明 ABDgAACD,這是典型的“邊邊角”錯誤，無法 得到證明.我們的思路是，尋找一條“中間踐段”，即找 一條線段同時和/仄47相等。如圖2-2所示，通過 “點。是8c中點”這個條件，延長力。到點凡位 DE=AD.構(gòu)

2、造一對全等三角形，即力C刀磴月川）， 從而得到6E二月C,再證明月比:是等腰三角形即可.陟常用輔助線添加方法中線倍長已知：在/SC中，力。是HC邊中線.圖2-4031軍長迎至看E,使。£=皿 連接BE1如圖2-3所示，/£）=£，NCDA/BDE, CD=BD:ADCWAEDB （即可以得至IJ “一對全等三角形"）BE-CA. NERD=NACD, /CAD=NE （即可以得到“一組對應(yīng)邊等”以及“兩組對應(yīng)角等”）A AC/EB （即得到“一組平行線”）N/16£+N氏10=180。（即可以得到“一對同旁內(nèi)角互補”）tR響接唱|如圖2y所示，

3、過點C,作CFL4D于點尸,過點8作8E_L4。交力Q的延長線于點£： 4BDE=/CDF, NE=/CFD=9/, BD=CD :BDEW4CDF儂目類中線如圖2-5所示，點A/為月6上一點，延長MD至點N,使DN=MD,連接CM: BD=CD, NBDM=/CDN, MD=DN：.4BDMm XCDN:如圖26所示，CE CB分別是43C和48的中線，且45=4C求證：CE=、CD.， - -_4思路分析要證明C£-有兩個思路，一是將擴大最、 原來的2倍，證明擴大后的線段與相等（即中線倍長）， 、 二是將CD縮小到原來的1證明得到的設(shè)段與CE相等（即 / 構(gòu)造中位線.8

4、年級學(xué)支可以使用此方法）,f圖2-6具體解法如下：電沖線倍長1：如圖27所示，將CE擴大到原來的2倍 延長CE到點兒使EF=CE,連接8廠:CEAm4FEB (SAS)；BF=AC=AB=DB, 4A=NEBF：.AC/BF：.ZJC5+ZC5F=180°*. /18C+/C6Q=180。又; AC=AB：.NACB=NABC：.4CBF=/CBD:.CBFWMBD (SAS)c:CF=CD/：.CE=CF=CD/ OO中線倍長2:如圖2T所示，將CE擴大到原來的2倍 延長C£到點廠，使E/三C£連接/E :AEF94BEC (SAS):AF=BC, NEAF=N

5、EBC：.AF/CB：.ZCAF+ZACB=mG'；AC=ABJ NACB=NABC/C8O+48C=180。：/CAF=/CBD:AC=AB=BD, AF=BC ，CAFWADBC( SAS):CF=CD/ 、圖2-7圖2-8©O中位線證法1如圖2-9所示，延長8C到點尸, 使3=AC,連接力尸 CE是/?/!的中位線/. CEAF,: NACB=/ABC:.NACF=NCBD 乂 ： AC=AB=BD DCaADBC (SAS) ：.AF=CD：.CE=CD©O中位線證法2如圖2-10所示，延長IC到點E 使B=/C,連接5尸ce是”的中位線工CE=±

6、BF: NACB=NABC:NBCF=/CBD乂 ： CF=AC=AB=BD, CB=BC:BCFWACBD (SAS)BF=CD:.CE*D©0中位線證法3如圖2-11所示，取力C中點£連接火，8戶是C4Q的中位線:.BF*D丁點£是43中點,M. ACAB：.AF=AE:FABMEAC (SAS)圖 2-10©0中位線證法4如圖2/2所示，取CO中點片連接防:.8/是C4O的中位線A BFAC, BF/ACnfR=nacb=nabc丁點E是。B中點，且:.BF=BE：.BF=CE：.ce/cd：.CBFCBE (SAS)，CE=CF=ICDJ如圖2-

7、13所示，Zve。中，力。為力6c的中線,48=5,，C=3,求中線4。的取值范圍.圖 2-13正經(jīng)幾何： 初中教學(xué)輔助線專練合一如圖2-14所示，點。是46。邊6。的中點，4B二DF, AC=DG,求線段力。和“G的數(shù)所關(guān)系./GZ）尸+N84C=I8O。,23如圖2/5所示，在4月。中，4B=4C,點D住4B上,F, RDEF,求證：BD=CE.點E在/。的延長線上，DE交BC于點、27如佟12-16所示，/£)為力8C邊8c的中線，1)£¥分NBDA交AB于點E,。尸平分N4OC交HC于點尸，連接打:求證：BE+CF>EE圖 2-16： 專 題二； 幣

8、1瞽善* 1 N如圖2/7所示，她與00）為等腰直角 涌形，NA0B=/C0D=9QP, 0B=0A, 0C=0D,點M為6c的中點，連接。河、猜想并驗證。財與力。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.2-6正方形力水刀和正方形。MG有'公共頂點。，連接/LE; CG,取CG中點M,連接DM（1）如圖2-18所示，求證：AE-2DM；（2）如圖2/9所示，猜想并證明。必力超的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.圖 2-18圖279面經(jīng)幾何： 初中教學(xué)輔助線專練備一2-7(1)如圖220所示，當(dāng)/氏4c=/瓦"?=90。時，猜想并證明PZ)和總的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系: 如圖2-21所示，當(dāng)/6"+/功

9、。=180。時，猜想并證明P"ll以的位置關(guān)系黑%所示，北是皿的平分線，點E甌的中點，/B亦即,"=M"D.圖 2-22專題二：中純倍K'如圖2-23所示，ADEXl勺頂點。在ZUBC的邊內(nèi)上（不與點& OK合），klNBM+N臼*=1盼,AB=DF, 4C=DE,點0為Q的中點，直線。交宜以5于點P.<1）猜想NBPD與NFD8的關(guān)系,并加以證明;<2）當(dāng)DEF繞點”旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否始終成立？若成立，請說明理由; 若不成立請你在圖224中麗出相應(yīng)的圖形，并給出正確的結(jié)論（不需要證明）.圖 2-23平行練習(xí)2-1如

10、圖2-25所示，延長到點E,像DE=AD, 程到/（：£）笠£80, RE AC=3, 在Zk/BE中，AB-BE<AEAB+BE, 即 5-3<24。<5+3, 所以1V4X4.:AB=DF, AC=BE=DG ：AABE 出 4FDG 工AD= 2 AE=/FG.法2 '圖2-27證法與困226類似, 不贅述平行練習(xí)2-2法1如圖226所示，延長到點£,：BD=CD, NBDESA二 ABDEQCDA：.BE/AC：.ZABE+ZBAC=1NG0“+N5/C=18O。J 乙ABE 一乙GDFe 國 2-25平行練習(xí)2-3法】如圖228

11、所示，在網(wǎng)上截取尸=/。，連接。，得到 叢 FDHW4FEC ：.NDHF=NECF AZ1=Z2 ABAC ，N1 = N3 ，N2=/3正經(jīng)幾何: 初中教學(xué)輔助戰(zhàn)專練比題法1可以作OEC,法2可以作EHBD.法2連接C,方法相同，見圖2-33 【“互補傳基本型” 已知 N/OC=/6OD=90。， 求證：N/O。十/800180。法1如圖234所示，設(shè)/BOC=。，則NCCXA乙4QB=%»a , NAOD +/BOC=90°-a +a +90°-。=180°法2如圖235所示，英長DO: /BOC+/OS=90。，40E+40，=90"，

12、NAOE=/BOCY N/OO+N/OE=180。 N/fOD+/8OC'=18(T平行練習(xí)2-6（I）如圖236所示,延長QM到點M使MVjMD, 連接NG:.ACDM / AGNM:.NG"CD, CDGZNGD=S(r；NCDG 十/IDE= 180c二 NNGD=NADE: NG=CD-AD, DG=DE:/IQ% ZiNG。:AE=DN=2MD(2) 法 1如圖237所示，延長。A/到點， 迂接G慢 MH=MD,:ACDM%GHM:HGCD, ZCDG+ZZ7GD-180° 180°(參見“互補角基本型”):NHGD ADE:HG=CD=AD,

13、DG=DE 4ADE94HGDAE DH=WD延長£4交。的延長線于點0: 4ED+NEDQ= NQDG+ NEDQ =9b,即法24Q2MD與法類似，不贅逑, 可得/4ED=NCHD如圖238所示，延長£4交。H的延長線于點0: 0G/CH：./HND=/EDG=90“NAED，NEDQ -CHD+/EDQ = /GOH+NEQO=9(H rAELHD平行練習(xí)2-7(1)法 1圖 2-38如圖239所示，延檜。到點凡 使PF-PD,苴接8尸:BD HD=CE法2如圖2-29所示，在/?”的延長線上戡取尸”=/話，得到 FBD 冬F(xiàn)HE AZ4=Z3 VJ=/IC AZ4=

14、Z1-Z2 /2=/3 ：,CE=HE=BD【說明】平行練習(xí)2-4此題的解題思路是，要汪明“兩條線段和大于第三條 線段”，我們要思考將三條線段放到同一個三角形 中，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三過,得出證明， 所以我們可以通過“中線倍長”將CF、EF分別轉(zhuǎn)移到 “、£"處（法1），還可以利用角平分線常見的輔助 線構(gòu)遁方法，將6E、C戶分別轉(zhuǎn)侈到以人中處（法2）. 法1如圖2-30圻示，延長FD到點.H,使D”=FD,連接E1I 二 ABDH m MDF： NBDE=/ADE, /ADF=NCDF NEDF= NADE+ N/1DF1=2 "DS+N40C）/=I X

15、 180°= 90°: DH=DF, NEDF=NEDH；9Cf 獷 L ：.EH=EF.；be、bh>eh-：.BECF>EF安一.法2如圖231所示，在D4上截取。=06：DB=DC:,DH=DC1，ABDE&HDE, 4DFHq ADFC A:EH=EB, HF=CF/ EH'FH>EF:BE+CF>EF/一圖 2-31平行練習(xí)2-5法1尸如圖232所示,延長。圈點N,鎧MN=MO,連接BW飛、/. 2BMN 沿 4CMO/. BN=OC=ODd J/：OB=OA, BN/OC:.NNBO +ZCO5= 180°4 -

16、'：NBOC+ ZAODl800圖 2-32（見下方“互補角基本型”的證明）：.NOBN=/AOD：.BONOAD:OM= J ON= AD: NBON Ma6n=90*, NBON=NOAD"OAD"AON=90c, ?ADOM專題二；中屢德失 一 二嘿4BFP 迫 4EDP 連接/產(chǎn)、AD :BF-DE=CD 9AB=AC 只需證明 N/A產(chǎn)=2/8即可 （證法如下）.從而得到為8/且/e后，即力/'fq, NE4B =NDAC，NE4B+ NB4D= NDAC+ NBAD =90°, AFLAD9 /I。尸為等腰直角三角形 :AP=PD, A

17、PLPD【運明/"尸二/4。0的方法，參照“專劇一：平行 線轉(zhuǎn)移角”法如圖239所示.延長8交2廠的延長線干點G :BG/DE：.NG =Z£DG=90° 在8GM和中 ，NABi；=NACD 法如困2-40所示，延長歷I、DE交于點、N, : BF/DN 則/NBF=NN, 在4MV和DWCb, 乙3= NCQA/=90° ZA-ZJCD 二 /ABF=/ACD圖2 44平行練習(xí)2-8如圖245所示，延長力E至點尸, 廷長交于點G,連接EG丁點E是BC的中點:.BE=CE又 NAEB：/FEC：4AEB94FEC (SAS)，/A4E=N尸：.AB/G

18、E/. /3C+/6cg 80° /力 3c=18(r-；/8C0/. NBCG= 2 /BCD/. /BCG=NDCG使EF=RE.連接,并法2如圖241所示，延長W到點上 連接E尸:.4ABP沿 4FEP卷接用，F(xiàn)D:EF AB二AC: DE=DC只需證明NDEF= /ACD可. 得到48gFEQ后， 陽產(chǎn)。=月Q, AFD1 AD 易運彳?PQ. APLPD【證明NDE戶=2/6的方法, 線轉(zhuǎn)移角”使 PF=P4.圖 2-41參照“專題一：平行法如圖2所示，以.=G.4EMN和叢CMD0、"DEF-NACD法如圖242所示，延長A4、DE交于點N,則 NDEF = NN,在和DA/Cn, 4NAM=4CDM：.NN=NACD：.NDEF=NACD（2）方法與（I）類似，不贅逑，結(jié)論為APtPD（圖243、圖244）又；4£是/氏I。的平分線，N8MA»60° ，NBAE=NEAD =ZF=30°，4G=FG, GE1.AF /£GC=NQG-6(r 又丁 GCGC':AEGg4DGC (