吉林省長春市2016屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)理

1、長春市普通高中2016屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)理科（試卷類型C）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)涂在答題卡上）1. 復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且，則A. B. C. D. 2. 設(shè)集合，則A. B. C. D. 3. 運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為是否開始輸出結(jié)束A. B. C. D. 4. 若實(shí)數(shù)且，則下列不等式恒成立的是A. B. C. D. 5. 幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. B. C. D. 6. 已知變量服從正態(tài)分布，下列概率與相等的是 A.

2、B. C. D. 7. 已知為圓的直徑，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則的最小值為A.B. C. D. 8. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)取最大值時(shí)，的值為A. B. C. D. 9. 小明試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒時(shí)只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有 種.A. B. C. D. 10. 函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則可能是A. B. C. D. 11. 已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若定義在上的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 12.過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為,則的最小值為A. B. C. D. 第卷（非選擇題

3、，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_.14. 已知向量，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_.15. 已知， 展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，則_.16. 已知數(shù)列中，對任意的若滿足（為常數(shù)），則稱該數(shù)列為階等和數(shù)列，其中為階公和；若滿足（為常數(shù)），則稱該數(shù)列為階等積數(shù)列，其中為階公積.已知數(shù)列為首項(xiàng)為的階等和數(shù)列，且滿足；數(shù)列為公積為的階等積數(shù)列，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 _.三、解答題（本大題包括6

4、小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17.（本小題滿分12分） 已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間； (2) 已知的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為，其中，若銳角滿足，且，求的面積.18. （本小題滿分12分）近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)展的新機(jī)遇，2015年雙11期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)918億人民幣.與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價(jià)體系.現(xiàn)從評價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對商品的好評率為0.6，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次. (1)是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)

5、為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的5次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量：求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；求的數(shù)學(xué)期望和方差.（，其中）19. （本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是菱形，平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，過作與平面平行的平面與棱，相交于，.（1）證明：為的中點(diǎn)；（2）若，且二面角的大小為，、的交點(diǎn)為，連接.求三棱錐外接球的體積.20. （本小題滿分12分）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，,且離心率為,點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)，內(nèi)切圓面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2) 設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)，連結(jié)

6、, 并延長交直線分別于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是,請說明理由.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求實(shí)數(shù)的值及的極值；（2）若對任意，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講.如圖，過圓外一點(diǎn)的作圓的切線，為切點(diǎn)，過的中點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn)，若.（1）求證：；(2) 求證：四邊形是平行四邊形.23. （本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)）

7、，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；（2）若曲線與曲線交于,兩點(diǎn)，求的最大值和最小值.24. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講.設(shè)函數(shù).(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.長春市普通高中2016屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分參考A、B卷客觀題答案一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. C2. D3. C 4. A5. B6. C7. B8. A9. A 10. C 11. B12. D簡答與提示：1. 【命題意圖】本題主要考查集

8、合的化簡與交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 【試題解析】C 由題意可知，則，所以. 故選C.2. 【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】D復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)，所以. 故選D.3. 【命題意圖】本題主要考查不等式的運(yùn)算性質(zhì)，是書中的原題改編，考查學(xué)生對函數(shù)圖像的認(rèn)識. 【試題解析】C根據(jù)函數(shù)的圖像與不等式的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，為正確選項(xiàng)，故選C.4. 【命題意圖】本題考查程序流程圖中循環(huán)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，是一道基礎(chǔ)題. 【試題解析】A由算法流程圖可知，輸出結(jié)果是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列的前9項(xiàng)和，即為. 故選A.5. 【命題意圖】本題考查正態(tài)

9、分布的概念，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生對正態(tài)分布的對稱性有充分的認(rèn)識. 【試題解析】B 由變量服從正態(tài)分布可知，為其密度曲線的對稱軸，因此. 故選B.6. 【命題意圖】本題通過幾何體的三視圖來考查體積的求法，對學(xué)生運(yùn)算求解能力有一定要求. 【試題解析】C該幾何體可視為長方體挖去一個(gè)四棱錐，所以其體積為. 故選C.7. 【命題意圖】本題主要等差數(shù)列的性質(zhì)，借助前項(xiàng)的取值來確定項(xiàng)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】B由題意，不妨設(shè)，則公差，其中，因此，即當(dāng)時(shí)，取得最大值. 故選B.8. 【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及向量的運(yùn)算. 【試題解析】A由題可知，從圓外一點(diǎn)指向圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的向量數(shù)量積為定

10、值，即為，其中為圓外點(diǎn)到圓心的距離，為半徑，因此當(dāng)取最小值時(shí)，的取值最小，由方程的圖像可知的最小值為，故的最小值為1. 故選A.9. 【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)圖像，學(xué)生對三角函數(shù)圖像的對稱，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵.【試題解析】A由題意，設(shè)兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對稱，則函數(shù)關(guān)于的對稱函數(shù)為，利用誘導(dǎo)公式將其化為余弦表達(dá)式為，令，則. 故選A.10. 【命題意圖】本題是一道排列組合問題，考查學(xué)生處理問題的方法，對學(xué)生的邏輯思維和抽象能力提出很高要求，屬于中檔題. 【試題解析】C 由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種

11、方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為，為35種；共計(jì)37種取法. 故選C.11. 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義與圓切線的性質(zhì)，是一道中檔題. 【試題解析】B 由題可知，因此. 故選B.12. 【命題意圖】本題是最近熱點(diǎn)的函數(shù)圖像辨析問題，是一道較為復(fù)雜的難題. 【試題解析】D 由題可知函數(shù)在上的解析式為，又由可知的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，可將函數(shù)在上的大致圖像呈現(xiàn)如圖：根據(jù)的幾何意義，軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，其中時(shí)，聯(lián)立，并令，可求得. 因此直線的斜率的取值范圍是. 故選D.C、D卷客觀題答案一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. D2. C3

12、. A 4. C5. C6. B7. A8. B9. C 10. A 11. D12. B簡答與提示：1. 【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】D復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)，所以. 故選D.2. 【命題意圖】本題主要考查集合的化簡與交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 【試題解析】C 由題意可知，則，所以. 故選C.3. 【命題意圖】本題考查程序流程圖中循環(huán)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，是一道基礎(chǔ)題. 【試題解析】A由算法流程圖可知，輸出結(jié)果是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列的前9項(xiàng)和，即為. 故選A.4. 【命題意圖】本題主要考查不等式的運(yùn)算性質(zhì)，是書中的原題改編

13、，考查學(xué)生對函數(shù)圖像的認(rèn)識. 【試題解析】C根據(jù)函數(shù)的圖像與不等式的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，為正確選項(xiàng)，故選C.5. 【命題意圖】本題通過幾何體的三視圖來考查體積的求法，對學(xué)生運(yùn)算求解能力有一定要求. 【試題解析】C該幾何體可視為長方體挖去一個(gè)四棱錐，所以其體積為. 故選C.6. 【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的概念，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生對正態(tài)分布的對稱性有充分的認(rèn)識. 【試題解析】B 由變量服從正態(tài)分布可知，為其密度曲線的對稱軸，因此. 故選B.7. 【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及向量的運(yùn)算. 【試題解析】A由題可知，從圓外一點(diǎn)指向圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的向量數(shù)量積為定值，即為，其中為圓外點(diǎn)到圓

14、心的距離，為半徑，因此當(dāng)取最小值時(shí)，的取值最小，由方程的圖像可知的最小值為，故的最小值為1. 故選A.8. 【命題意圖】本題主要等差數(shù)列的性質(zhì)，借助前項(xiàng)的取值來確定項(xiàng)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】B由題意，不妨設(shè)，則公差，其中，因此，即當(dāng)時(shí)，取得最大值. 故選B.9. 【命題意圖】本題是一道排列組合問題，考查學(xué)生處理問題的方法，對學(xué)生的邏輯思維和抽象能力提出很高要求，屬于中檔題. 【試題解析】C 由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為，為35種；共計(jì)37種取法. 故選C.1

15、0. 【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)圖像，學(xué)生對三角函數(shù)圖像的對稱，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵.【試題解析】A由題意，設(shè)兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對稱，則函數(shù)關(guān)于的對稱函數(shù)為，利用誘導(dǎo)公式將其化為余弦表達(dá)式為，令，則. 故選A.11. 【命題意圖】本題是最近熱點(diǎn)的函數(shù)圖像辨析問題，是一道較為復(fù)雜的難題. 【試題解析】D 由題可知函數(shù)在上的解析式為，又由可知的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，可將函數(shù)在上的大致圖像呈現(xiàn)如圖：根據(jù)的幾何意義，軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，其中時(shí)，聯(lián)立，并令，可求得. 因此直線的斜率的取值范圍是. 故選D.12. 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義與圓切線的性質(zhì)，是一道中檔題.

16、 【試題解析】B 由題可知，因此. 故選B.E、F卷客觀題答案一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.D【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】D復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)，所以. 故選D.2.C【命題意圖】本題主要考查不等式的運(yùn)算性質(zhì)，是書中的原題改編，考查學(xué)生對函數(shù)圖像的認(rèn)識. 【試題解析】C根據(jù)函數(shù)的圖像與不等式的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，為正確選項(xiàng)，故選C.3. C【命題意圖】本題主要考查集合的化簡與交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 【試題解析】C 由題意可知，則，所以. 故選C.4. A【命題意圖】本題考查程序流程圖中循環(huán)結(jié)

17、構(gòu)的認(rèn)識，是一道基礎(chǔ)題. 【試題解析】A由算法流程圖可知，輸出結(jié)果是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列的前9項(xiàng)和，即為. 故選A.5. B【命題意圖】本題主要等差數(shù)列的性質(zhì)，借助前項(xiàng)的取值來確定項(xiàng)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】B由題意，不妨設(shè)，則公差，其中，因此，即當(dāng)時(shí)，取得最大值. 故選B.6. C【命題意圖】本題通過幾何體的三視圖來考查體積的求法，對學(xué)生運(yùn)算求解能力有一定要求. 【試題解析】C該幾何體可視為長方體挖去一個(gè)四棱錐，所以其體積為. 故選C.7. B【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的概念，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生對正態(tài)分布的對稱性有充分的認(rèn)識. 【試題解析】B 由變量服從正態(tài)分布可知，為其密度曲線

18、的對稱軸，因此. 故選B. 8. A【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)圖像，學(xué)生對三角函數(shù)圖像的對稱，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵.【試題解析】A由題意，設(shè)兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對稱，則函數(shù)關(guān)于的對稱函數(shù)為，利用誘導(dǎo)公式將其化為余弦表達(dá)式為，令，則. 故選A.9. A【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及向量的運(yùn)算. 【試題解析】A由題可知，從圓外一點(diǎn)指向圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的向量數(shù)量積為定值，即為，其中為圓外點(diǎn)到圓心的距離，為半徑，因此當(dāng)取最小值時(shí)，的取值最小，由方程的圖像可知的最小值為，故的最小值為1. 故選A.10. D【命題意圖】本題是最近熱點(diǎn)的函數(shù)圖像辨析問題，是一道較為復(fù)雜的難題. 【試題解

19、析】D 由題可知函數(shù)在上的解析式為，又由可知的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，可將函數(shù)在上的大致圖像呈現(xiàn)如圖：根據(jù)的幾何意義，軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，其中時(shí)，聯(lián)立，并令，可求得. 因此直線的斜率的取值范圍是. 故選D.11. C【命題意圖】本題是一道排列組合問題，考查學(xué)生處理問題的方法，對學(xué)生的邏輯思維和抽象能力提出很高要求，屬于中檔題. 【試題解析】C 由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為，為35種；共計(jì)37種取法. 故選C.12. B【命題意圖】本題主要考查雙曲線

20、的定義與圓切線的性質(zhì)，是一道中檔題. 【試題解析】B 由題可知，因此. 故選B.主觀題答案二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 1【命題意圖】本題主要考查線性規(guī)劃問題，是一道常規(guī)題. 從二元一次方程組到可行域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，全面地進(jìn)行考查. 【試題解析】根據(jù)方程組獲得可行域如下圖，令，可化為，因此，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值為1. 14. 【命題意圖】平面向量的幾何意義是熱點(diǎn)問題，本題結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，考查平面向量的幾何意義，同時(shí)也對余弦定理的考查，對學(xué)生的計(jì)算求解能力提出很高要求. 【試題解析】由題意，為，根據(jù)向量的差的幾何意義，表示向量終點(diǎn)到終點(diǎn)的距離，當(dāng)時(shí)

21、，該距離取得最小值為1，當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦定理，可算得該距離取得最大值為，即的取值范圍是. 15. 【命題意圖】本題考查積分的運(yùn)算，是一道中檔的常規(guī)問題. 【試題解析】由的常數(shù)項(xiàng)為，可得，因此原式為. 16. 【命題意圖】本題主要考查非常規(guī)數(shù)列求和問題，對學(xué)生的邏輯思維能力提出很高要求，屬于一道難題. 【試題解析】由題意可知，又是4階等和數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去，同理，又是3階等積數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去，由此可知對于數(shù)列，每12項(xiàng)的和循環(huán)一次，易求出，因此中有168組循環(huán)結(jié)構(gòu)，故. 三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17.(本小題滿分12分)【命題

22、意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的化簡運(yùn)算，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，并借助正弦定理考查邊角關(guān)系的運(yùn)算，對考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力有較高要求. 【試題解析】解：(1) (3分)因此的最小正周期為. 的單調(diào)遞減區(qū)間為，即. (6分)(2) 由，又為銳角，則. 由正弦定理可得，則，由余弦定理可知，可求得，故. (12分)18(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識，包括獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望和方差的求法. 本題主要考查學(xué)生對數(shù)據(jù)處理的能力.【試題解析】(1) 由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價(jià)的列聯(lián)表：對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計(jì)對商品好評8040120對商品不滿意70

23、1080合計(jì)15050200，可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān). (6分)(2) 每次購物時(shí)，對商品和服務(wù)都好評的概率為，且的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中；. 的分布列為：012345由于，則；. (12分)19 (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到面面的平行關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 本小題對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：(1)連結(jié).，即為的中位線，即為中點(diǎn).(4分)(2) 以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，從而，則，又，

24、則. 由題可知，即三棱錐外接球?yàn)橐?、為長、寬、高的長方體外接球，則該長方體的體對角線長為，即外接球半徑為. 則三棱錐外接球的體積為. (12分)20.(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓方程的求法，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識，以及恒過定點(diǎn)問題. 本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求. 【試題解析】解：(1) 已知橢圓的離心率為，不妨設(shè)，即，其中，又內(nèi)切圓面積取最大值時(shí)，半徑取最大值為，由，由為定值，因此也取得最大值，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，因此，解得，則橢圓的方程為. (4分)(2) 設(shè)直線的方程為， 聯(lián)立可得，則，直線的方程為， 直線的方程為， 則，假