高中數(shù)學(xué)《集合的概念》文字素材9 新人教B版必修1

1、集合論的誕生集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分.在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果.其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ).十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場(chǎng)重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng).正是在這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論研究的開端.到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念.他對(duì)集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，就稱為一個(gè)集合，其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出

2、集合論思想的那一天定為集合論誕生日.康托爾的不朽功績前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫評(píng)價(jià)康托爾的工作時(shí)說：“康托爾的不朽功績?cè)谟谒驘o窮的冒險(xiǎn)邁進(jìn)”.因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對(duì)無窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會(huì)真正明白他工作的價(jià)值之所在和眾多反對(duì)之聲之由來.數(shù)學(xué)與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱.因?yàn)檫@一原因，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念.但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路.他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開墾的處女地，開辟出一個(gè)奇妙無比的新世界.對(duì)無窮集的研究使他打開了“無限”這一數(shù)學(xué)上的潘

3、多拉盒子.下面就讓我們來看一下盒子打開后他釋放出的是什么.“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱作自然數(shù)集，用字母N來表示.”學(xué)過集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對(duì)這句話不會(huì)感到陌生.但同學(xué)們?cè)诮邮苓@句話時(shí)根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做時(shí)是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋.無限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在.這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).用他的話說，就是“我反對(duì)將無窮量作為一個(gè)實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的.所謂無窮，只是一種說話的方式”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí)，

4、他是把無限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無限思想.由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實(shí)無限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊是無足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮.他在實(shí)無限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論.這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的奇特的無限世界.最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對(duì)無窮集元素個(gè)數(shù)問題的研究.他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個(gè)數(shù).他把元素間能建立一一對(duì)應(yīng)的集合稱為個(gè)數(shù)相同，用他自己的概念是等勢(shì).由于一個(gè)無

5、窮集可以與它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也就是說無窮集可以與它的真子集等勢(shì)，即具有相同的個(gè)數(shù).這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征.在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個(gè)數(shù)，他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)注集合也是可數(shù)集時(shí)，一個(gè)很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集.但出乎意料的是，他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢(shì)大于自然數(shù)集.這不但意味著無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣

6、：“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成.”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時(shí)，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個(gè)而已.這是何等令人震驚的結(jié)果！然而，事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個(gè)無窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識(shí)到無窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級(jí)，可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個(gè)層次.他取得了成功，并且根據(jù)無窮性有無窮種的學(xué)說，對(duì)各種不同的無窮大建立了一個(gè)完整的序列，他稱為“超限數(shù)”.他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母“阿列夫”來表示超限數(shù)的精靈，最終他建立了關(guān)于無限的所謂阿列夫譜系 它

7、可以無限延長下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景.可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結(jié)論在當(dāng)時(shí)會(huì)如何震動(dòng)數(shù)學(xué)家們的心靈了.毫不夸張地講，康托爾的關(guān)于無窮的這些理論，引起了反對(duì)派的不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對(duì)他的理論.有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”，稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”.作為對(duì)傳統(tǒng)觀念的一次大革新，由于他開創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的.當(dāng)回頭看這段歷史時(shí)，或許我們可以把對(duì)他的反對(duì)看作是對(duì)他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種褒揚(yáng)吧.公理化集合論的建立集合論提出伊始，曾遭到

8、許多數(shù)學(xué)家的激烈反對(duì)，康托爾本人一度成為這一激烈論爭(zhēng)的犧牲品.在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰.然而集合論前后經(jīng)歷二十余年，最終獲得了世界公認(rèn).到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同.數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了.他們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論的概念，便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈.在1900年第二次國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了.今天，我們可以說絕對(duì)的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了.”然而這種自得的情緒并沒能持續(xù)多久.不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界.這就是1902年羅素得出的羅素悖論

9、.羅素構(gòu)造了一個(gè)所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R.現(xiàn)在問R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R；另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬于R.這樣，不論何種情況都存在著矛盾.這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡(jiǎn)單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地.絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中.這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī).危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去.1908年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱ZF公理系統(tǒng).原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從

10、而避免了悖論的出現(xiàn).這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論.與此相對(duì)應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論.公理化集合論是對(duì)樸素集合論的嚴(yán)格處理.它保留了樸素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī).公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去.從康托爾提出集合論至今，時(shí)間已經(jīng)過去了一百多年，在這一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對(duì)上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等.而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的.因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時(shí)，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家對(duì)他的集合論的評(píng)價(jià)作為我們的總結(jié).它是對(duì)無限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一.超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一.這個(gè)成就可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作.康托爾的無窮集合論是過去