三角形全等之手拉手模型、倍長(zhǎng)中線(xiàn)、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)材料

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成,并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論：(1) AABDAEC (2)+/BOC=180例1.如圖在直線(xiàn) ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形 AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD,證 明(1) MBE -ADBC上(2) AE -DC E(3) AE與DC之間的夾角為60(4) ；：AGB 三；：DFB/(5) EGB 三 CFB(6)bh 平分. ahc3r二7(7) GF /AC1,文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用變式精練1：如圖兩個(gè)等邊三角形 AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD ,證實(shí)(2)(1) ABE 三 DBC AE =DC(3)AE與D

2、C之間的夾角為60AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H , BH平分/AHC變式精練2：如圖兩個(gè)等邊三角形 AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD,證實(shí)(2)(1) ABE 三 DBCAE -DC(3)AE與DC之間的夾角為60(4)AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H , BH平分ZAHC例2：如圖,兩個(gè)正方形 ABCD與DEFG,連結(jié)AG,CE,二者相交于點(diǎn)H問(wèn)：(1) AADG與ACDE是否成立?(2)(3)(4)AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度?HD是否平分/AHE ?例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形 ADC與EDG ,連結(jié)AG,CE ,二者相交于點(diǎn)H問(wèn)：(1) &ADG與&CDE是否成立?(2)(3)(

3、4)AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度?HD是否平分/AHE ?文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用例 4：兩個(gè)等腰三角形 AABD 與 ABCE,其中 AB = BD , CB = EB, NABD =/CBE =,連結(jié)AE與CD ,問(wèn)：(1) AABE三ADBC是否成立？(2) AE是否與CD相等？(3) AE與CD之間的夾角為多少度?(4) HB是否平分/AHC?二、倍長(zhǎng)與中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段倍長(zhǎng)中線(xiàn)類(lèi)?考點(diǎn)說(shuō)明：但凡出現(xiàn)中線(xiàn)或類(lèi)似中線(xiàn)的線(xiàn)段,都可以考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn), 倍長(zhǎng)中線(xiàn)的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線(xiàn)段,從而到達(dá)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的.1【例1】 ： MBC中,AM是中線(xiàn).求證： AM EC +FC .

4、【例2】 如圖,在 MBC中,AD是BC邊上的中線(xiàn), E是AD上一點(diǎn),延長(zhǎng) BE交AC 于 F , AF =EF ,求證：AC =BE .文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用【練1】如圖,在 MBC中,AD是BC邊上的中線(xiàn), E是AD上一點(diǎn),且 BE = AC , 延長(zhǎng)BE交AC于F ,求證：AF =EF【練2】如圖,在 MBC中,AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn),EF /AD交CA的延長(zhǎng) 線(xiàn)于點(diǎn)F ,交AB于點(diǎn)G ,假設(shè)BG =CF ,求證：AD為AABC的角平分線(xiàn).【練3】如下圖,iABC中,AD平分ZBAC , E、F分別在BD、AD上.DE=CD, EF =AC .求證：EF / AB【例3】 AM為M

5、BC的中線(xiàn),ZAMB , /AMC的平分線(xiàn)分別交 AB于E、交AC于 F .求證：BE +CF EF .【練1】在RtMBC中,F是斜邊 AB的中點(diǎn), D、E分別在邊 CA、CB上,滿(mǎn)足 /DFE =90 .假設(shè)AD=3, BE =4,那么線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度為 .文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用【練2】在9BC中,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M、N分別為AB、AC上的點(diǎn),且MD ND . (1)假設(shè)/A=90,以線(xiàn)段BM、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？假設(shè)能,該三 角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？2222. .212_ 2(2)如果 BM +CN =DM +DN ,求證 AD2 =；(AB2 十AC2 ).

6、【例4】 如下圖,在 MBC中,AB =AC ,延長(zhǎng)AB至iJ D ,使BD4B , E為AB的中點(diǎn), 連接 CE、CD ,求證 CD =2EC .【練1】 MBC中,AB =AC , BD為AB的延長(zhǎng)線(xiàn),且 BD = AB, CE為AABC的AB 邊上的中線(xiàn).求證：CD =2CE全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短： 人教八年級(jí)上冊(cè)課本中,在全等三角形局部介紹了角的平分線(xiàn)的性質(zhì),這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法又是解決這一類(lèi)問(wèn)題的一種特殊方1.如下圖,&ABC 中,/C =90/B =45 , A葉分/BAC 交 BC于 D.求證：AB=AC+CD文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用上一點(diǎn)E,求證：BC=AB+C

7、D6 .如下圖, AB/CD, /ABC,NBCD的平分線(xiàn)恰好交于 AD7 .如圖,E是/AOB的平分線(xiàn)上一點(diǎn), EC_LOA, 足為 C D 求證：(1) OC=OD (2) DF=CF文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用三、截長(zhǎng)補(bǔ)短問(wèn)題1:垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理是 問(wèn)題2 :角平分線(xiàn)性質(zhì)定理是問(wèn)題3:等腰三角形白兩個(gè)底角 ,簡(jiǎn)稱(chēng);如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么它們所對(duì)的邊也 ,簡(jiǎn)稱(chēng).重新組合解決問(wèn)問(wèn)題4:當(dāng)見(jiàn)到線(xiàn)段的 考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短,構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移 、車(chē)移,然后和題.三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短一一、單項(xiàng)選擇題共4道,每道25分1.,如圖,BM平分/ABC P為BML上一點(diǎn),PDL BC于點(diǎn)D, BD=AB+C D?

8、或長(zhǎng)法證實(shí),如圖,在g匚上截取白E=艮工連接PE在ZVMF和國(guó)產(chǎn)中 AB=ES, Z1 = Z2BF= BP:(SAS)CD=ED:FD l BC. PE=PC請(qǐng)你仔細(xì)觀察以下序號(hào)所代表的內(nèi)容：平分443C,二一；/ 1 = /2;/ A=Z BEP;AP=PE; BD = AB + CD,N3 = ZPCDBDAB+CD.BDBE + EDVZ5f+Z3= 180：.BE + EE); AB + CD ,= W + C.；,ZSAP+Z3 = lgO；AZ3 = ZfCCVZBSF+Z3 = 18O,Zfi/P+ZBCF = 1SO 口以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖?)A.B.C.D. 2.,

9、如圖,BIW分/ ABC 點(diǎn) P 為 BMLh一點(diǎn),PDL BC于點(diǎn) D, BD=AB+DC 求證：/ BAPy BCP=180 .文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用切平花.Z1=Z2在Eb和中BE = BD,Z1 = Z2BP= BP:BE0ZlF SAS在Af小和乙干節(jié)匚中rPE=PD1 &4 ZFTC_AE = CD二FE$連凸嚴(yán)口口 (SAS)/. ZC=ZPAE,/Z4?-Z/;jr=Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3請(qǐng)你仔細(xì)觀察以下序號(hào)所代表的內(nèi)容：延長(zhǎng)BA,過(guò)點(diǎn)P作PH BA于點(diǎn)E;延長(zhǎng)BA到E,使AE=DC連接PE：BD = BA+CD ：BD=BA+CD延長(zhǎng)BA到E,使DC=AE, BD

10、= BA+AE - BE ；:RL二 BE/. PE = PD, PEA 二4PDB SPD1BCPRE = 98/. ZPQC = 90二 .以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖?PE二 PD, /PA = /PDB 二 PDLBG：.ZPDB = J/PDC = 90Q,a4 = 90.A.B. C.D.BC+DE=CD3.,如圖,在五邊形 ABCD中,AB=AE AD平分/ CDE / BAE= CAD求證:文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用二D平分工/1=4在和乙記.中AD = ADZl = Z2口F -二jFDSfiZSJED(SA5)在甌和d4FC巾AS= AF,Z6 = Z5AC = JiC/. 4錯(cuò)04

11、玨七($A$).,.BC-CFBC-DE=CF-DF=Cl請(qǐng)你仔細(xì)觀察以下序號(hào)所代表的內(nèi)容：在CD上截取CF=CB連接AF;在DC上截取DF=DE連接AF;在DC上截取DF=DEAE=AF AF=AE / 4=2 3;/ 4=2 3;,AB = AE. AB = AE：.AB = AF= 2/CADZBAE=2ZCAD. ZCJW = Z3+Z6JZ4 = Z3 AZCJD =Z3+Z67NCAD = N3+/6即/4+/5 二/3+/6即 N4+/5 = N3+/6在白事9a+bCD,不確定4 .ABC中,NACB=90 , CD _L AB于D , AE為角平分線(xiàn)交 CD于F,那么圖中的直

12、 角三角形有A. 7個(gè)B. 6個(gè)C. 5個(gè)D. 4個(gè)5 .如圖,DAL AB, EAL AC, AD= AB, AE= AC 那么以下正確的選項(xiàng)是文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用A. AABDACEC. ABMFCMSB. AADFAESD. AADCABE6.如圖, P為正方形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)不與A、C 重合,Pa BC與點(diǎn)E, PE CD 與點(diǎn)F,假設(shè)四邊形PEC疏點(diǎn)C逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn),連結(jié) BE DF,那么以下一定正確的選項(xiàng)是A. BP DPB.BU+EC= BC2C. BP= DFD. BE= DF7.如圖,等腰直角4ADBf等腰直角 AE佻點(diǎn)于A,連結(jié)BE、CD ,那么以下一定正確的是A

13、. BE= DCB. AD/ CEC. BEL CED. BE= CEAFC共點(diǎn)于A,連接BF、CE ,那么ZEOB的度數(shù)為AC. 90D. 1208.如圖,等邊三角形ABE與等邊三角形.45 B . 609.如圖,在四邊形 ABCD中,AB=AD, /B=/D=901 E、F分別是邊 BC、CD上1的點(diǎn),且/EAF = /BAD.那么以下一定正確的選項(xiàng)是 2A. EF =BE FDB. EF BE FDC. EF 二 BE FDD. EF2 = BE2 FD210.在正方形 ABCW, BE= 3, EF= 5, DF= 4,那么/ BAEF / DCEA. 45B, 60C. 90D. 1

14、20DC文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證實(shí)分別屬于兩個(gè)三角形中的線(xiàn)段或角相等.在證實(shí)線(xiàn)段或角相等時(shí), 解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個(gè)可能全等的三角形,再證實(shí)這兩個(gè)三角形全等,最后得出結(jié)論.下面介紹尋找 全等三角形的幾種方法,供同學(xué)們參考.一、利用公共角例 1 如圖 1 , AB = AC AE = AF 求證：Z B = Z C.分析：要證實(shí)/ B =/C,只需證實(shí) BOE24COF或4AB口AACE而由圖形可知/ A是公共角,又由 條件AB = AC AE= AF所以AB國(guó)AACE于是問(wèn)題獲證.二、利用對(duì)頂角題目中的隱含條件例2如圖2, R E、F、D

15、在同一直線(xiàn)上,AB = CD BE = DF, AE = CF,連接 AC交BD于點(diǎn) O求證：AO= CO分析：要證實(shí) AO= CO只需證實(shí) AOBCOF或AO摩 COD即可.根據(jù)現(xiàn)有條件都無(wú)法直接證實(shí).而由條件 AB = CD BE = DF AE = CF可直接證實(shí) ABE CDF那么有/ AEB= / CFD進(jìn)而有/ AEO =Z CFO再利用對(duì)頂角相等,即可證實(shí).三、利用公共邊題目中的隱含條件例 3 如圖 3 , AB = CD AC= BD 求證：/ B = / C.分析：設(shè) AC與BD交于點(diǎn) Q此日BZ B與/ C分別在 AOB和 DOC中,而用現(xiàn)有的條件是不可能直 接證實(shí)這兩個(gè)三

16、角形全等的,需添加輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造另一對(duì)全等三角形.此時(shí)可以連接 AD那么AD ABD和 DCA的公共邊,這樣可以證實(shí) AB挈 DCA四、利用相等線(xiàn)段中的公共局部例4如圖4 , E、F是平行四邊形分析：要證實(shí) BE/ DFCFD只需證實(shí)/ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn),AF = BEC=Z DFA此時(shí)可以轉(zhuǎn)換為證實(shí)/CE 求證：BE/ DFAEB = Z CFD 進(jìn)而證實(shí) AEtBA圖4文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用五、利用等角中的公共局部例 5 如圖 5 ,/ E = 30 , AB = AD AC = AE / BAE= / DAC 求/ C 的度數(shù).分析：/ E = 30 ,要求/ C,可考慮證實(shí) ABa

17、ADE由/ BAE=Z DAC結(jié)合圖形可知/ BAC=Z DAE 于是問(wèn)題獲解.六、利用互余或互補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)：同角或等角的余角相等例6如圖6 ,/ DCE= 90 , / DAC= 90 , BEX AC于B,且 DC= EC 能否找出與 ABAD相等 的線(xiàn)段,并說(shuō)明理由.分析：由于 AC= AB-BC；可以猜測(cè) AC= ABAD或BE = ARAD此時(shí)只需證實(shí) AD = BC即可.而事實(shí) 上,用同角的余角相等可得到/DCA=Z E,從而證實(shí) AD94BCE問(wèn)題獲證.例7,如圖71,在正方形 ABCM, M,N分別是CD AD上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn) O,假設(shè)/ BON=90 , 求證：

18、DNC CMB.BM與CN相交于點(diǎn) O,假設(shè)/BON=60 ,變式：如圖72,在等邊 ABC中,M,N分別是AC,AB上的點(diǎn),求證：MNC ACMB文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用七、利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等構(gòu)造全等三角形考點(diǎn)一：利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等例8,如圖8,點(diǎn)P是/ABC的平分線(xiàn)BN上一點(diǎn),PE垂直AB所在的直線(xiàn)與 E,PF垂直BC所在的直線(xiàn)于 F,Z PAB-+Z PCB=180 .求證 PA=PC.考點(diǎn)二：利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形所謂截長(zhǎng)法是指在較長(zhǎng)得到線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段等于較短線(xiàn)段,而補(bǔ)短法是指延長(zhǎng)較短的線(xiàn)段等于較長(zhǎng)的線(xiàn)段,通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短可把分散的條件相對(duì)集中,以便構(gòu)造全等三角形.例 9,如圖 9,在 ABC中,/ C= 2/B, /1 = / 2. 求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析,“截長(zhǎng)或“補(bǔ)短都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,