重要不等式匯總(例題答案)

1、其他不等式綜合問題例1:(第26屆美國數學奧題之一)設a、b、cCR+,求證：111 J>!<一./+護+就c A3 4-c3 +abc /十.十nbc <ibc (1)分析；最初,某刊物給出了一種通分去分母的較為復雜的證法,這里試從分 析不等式的結構出發(fā),導出該不等式的編擬過程,同時,揭示證實此類問題的真 諦,并探索其推廣命題成功的可能性.思考方向：(1)的左邊較為復雜,而右邊較為簡單,所以,證實的思想應該 從左至右進行,思考方法：(1)從左至右是一個由簡單到復雜的逐步放大過程,所以,一個 簡單的想法就是將各分母設法縮小,但考慮到各分母結構的相似性,故只要對其中 之一做恰倒

2、好處的變形,并構造出右邊之需要即便大功告成.實施步驟；聯想到高中課本上熟知的不等式：x3+y3>x2y+xy2=xy(x+y)(x、y R+) ( *)知 (1)的左端I111£ - + = - +曲(ci+b)+以 bc(b+c)+abc ca(c¥G*阪 abc這一證實是極其簡單的,它僅依賴高中數學課本上的根底知識,由此可見, 中學課本上的知識也能用來攻克高層次的數學競賽題,看來,我們要好好守住課本 這快陣地.(1)刻畫了 3個變量的情形,左端的三個分式分母具有如下特征：三個字母 中取兩個的三次方與這三個變量的乘積之和,那么,對于更多個變量會有怎樣的結 論？以下為

3、行文方便,記 1的左端為X-d +63 -vabc,表示對a、b、c輪換求和,以下其它的類似處理,不再贅述推廣1:設a、b、c、dCR+,求證:一 1為了搞清多個變量時1的演變,首先從4個變量時的情形入手,£-/ +abcd abal(2)分析：注意到上面的*,要證2,需要證x4+y4+z4 > xyz(x+y+z)*是*的開展,它的由來得益于證實1時用到的*,這是一條 有用的思維開展軌道.事實上,由高中數學課本上熟知的不等式 x2+y2+z2 > xy+yz+zx 易知x4+y4+z4> x2y2+y2z2+z2x2 > xy - yz+yz - zx+zx

4、 - xy=xyzx+y+z,這樣* 得證,從而2便可仿1不難證實,略,推廣 2：設 aiCR+i=1、2、3,n,求證：i-與一與4日工M+ii/9 M上1.3有了前面的推廣1的證實,這里的推廣2的證實容易多了,聯想*,只要能證實?+4+41之明%4 +.+%這是*的開展事實上,由切比雪夫不等式及算術一一幾何平均值不等式可知 . 端Y十%'H b吃;、可必+T%之一-/+叱哂十%有了上式,推廣2便不難證實,略.很顯然,又t于推廣2,假設按1的最初的去分母去證實,當然是行不通的, 這也說明,解決數學問題的關鍵一著就是要把握問題的實質,不要被一些較復雜的 外表現象所迷惑,要善于觀察,善于

5、分析,善于總結,善于概括,善于發(fā)現,善于 利用,盡力從表象的東西里抽象概括出本質性的實質性的規(guī)律,這才是學習數學的 要旨.例2:設x、v、zCR+,求證：212y2 + z2+yz 22+x2+zx x2+y2+xy4分析：這是一個并不復雜的分式不等式,但是假設要通過去分母來證實,肯定 會走彎路,甚至走到死胡同.思考方向：4的左端較為復雜,而右邊較為簡單,所以,證實的思想應該 從從左至右的進行.思考方法：1從左至右是一個逐步縮小的過程,所以,對于此題,一個簡 單的想法就是將個分母設法放大,但考慮到分母結構的相似性,故只要對其中之一 進行恰倒好處的變形,并設法構造出4的右邊即可大功告成.實施步驟

6、；聯想到高中課本上熟知的的不等式：2xy&x2+y2 x、yCR,剛好是4中分母里xy的成功放大,即有如下證實：證實:3y+,廣-之 E；=£y+z + /+?+l(/+z只要證實,(5)給5的兩邊同時加3,得到+/ 92#2z N -y2 +za 21 Q"XE元吟.小“邃再產9這由Cauchy不等式便知,從而4得證4式刻畫了 3個變量的情形,其特點是；左端每一個分式的分母是從3個變量中取兩個,為兩個的二次方與這兩個變量之積之和,而分子那么是剩下一個變量 的二次方.現在,我們如果站在變量個數方面考慮,即再增加假設干個變量,結論會 怎樣？證法還靈嗎？經過再三考慮,得

7、到推廣 1:設 ai CR+, (I=1,2,3,n)求證:一抽;十TK* 到tfi(6)聯想4的證實過程,知關鍵是對分母中的乘積項利用二元均值不等式進行 放大,然后運用Cauchy不等式便大共告成,那么,6的證實也只要對每一個分 式中分母乘積項逆用多元算術一一幾何平均值不等式,再使用Cauchy不等式便知,詳細的證實略.另外,如果一不小心,將4錯寫為如下形式:>Ly2 A-yz+z1, +zr+x24-iy + y2那么,雖然7與4相比,實質性的東西并沒有發(fā)生改變,但就其結構 而言已經發(fā)生了相當大的改變,即7的每一個分母中連續(xù)3項依次成等比數 列,而4的分母中就不具備這牛¥的

8、性質,繼而,7是否從某一方面反映某一 普遍意義下的一種特例呢？也就是7的一般情形是什么？站在等比數列的角度 去審視7,就可以探索從改變分母的指數出發(fā)去聯想,從而得到一個很好的結 論,7的分母多項式為3項,最高指數為2,分子與分母指數相同,左邊為三 個式子之和,右邊為1,試想,當分母中的多項式指數增高時,7應該變成什 么樣子,準確點兒,當指數為n+1時,相應的結論如何？這就是推廣2:設xyz R+,求證：工相8分析：聯想與類比有時候是提出問題和解決問題的金鑰匙,相似問題的解決 方法在很多場合往往都是十分相似的,在這一點上請同學們注意領會并掌握.思考方向與思考方法根本同于4,只是實施步驟中的不等式

9、： 2xy<x2+y2 x、yCR的右邊的指數2改為n+1時,結論會變成什么相適應的樣 子？類似于*,由高中課本上知識知當然可從指數為3, 4, 5,去探索,這里就省去探索的過程了,由于高中課本上已有指數為3、5時的結論：xnyk+xkyn<xn+k+yn+k,x > y R+, n、kCN+這是一個有意義的結論,于是 xn+1+xny+xn- 1y2+- - +yn+1 < 彳廣,即4+ 7*；二 +；*F+ j注意到5至恥匕,推廣2獲證.實際上,通過剛剛對7的分析知道,7還有從變量個數方面的推廣, 例如變量個數為4, 5, 6,12或者小于等于23的奇數結論成立時,

10、結論 的證實就比擬復雜了,況且,也不能推廣到任意多個變量.關于這點,請讀者參考 有關資料.例 3:設 x、yC 0, 1,求證：1 I 2T +W l+jc 1+y 1+xy.9分析：此題的結構看似簡單,實際上,要向前面兩個不等式那樣去設法從左 至右的證實在這里就不好進行,于是,需要進行等價分析變形,這是在當前一時找 不到好的證法時常用的證題方法.思考方向和思考方法：去分母,整理成包不等式.實施步驟：一般的程序應該是配方或者分解因式.證實：由條件x、y 0, 1知,xyC 0, 1,所以,原不等式等價于lr 1 -I+1 <2 1+工,1-Fj21 與孫（10）.2(l+x2)(l+y2

11、)-(l + xy)(2+xSy1)>0o (x:4-y2-2xyXbxy)>0（11）結合題目條件及二元均值不等式知此式早已成立,于是原命題獲證這一證實看起來比擬簡明,但是,真正實施起來也不是太簡單,請同學們仔 細領悟.到這里此題的證實已經結束,但是,如果僅停留在這個層次上就得到的甚 少,應該及時進行反思、總結、提煉,看看此題有無推廣演變的可能？即能否由此 產生新的數學命題？觀察例3的結構可以看出,10的左端可以看成是函數l+x在兩個變量x、y處的函數值的算術平均值,右邊是兩個變量 x、y在其幾何平均值 處的函數值,廂,聯想到Jensen不等式,可以很容易的將10推廣到多個變量時

12、的情形,即推廣 1： xi C 0, 1 i=1、2、3,n,求證：川+工：1+6玉 mi .12這由數學歸納法不難確認其正確,詳細證實留給感興趣的讀者.繼續(xù)觀察11,不難看出,當x>1, y>1時,不等號應該反向,于是可得 原命題的另一種演變的推廣,即推廣 2: xi C 1, +oo,i=1、2、3,n,求證：川+工：1+6玉13繼續(xù)觀察10,容易想到,當變量個數再增加時會有怎樣的結論？即對于 三個變量假設 x、y、zC (0, 1),可得2 1+/ l+/z 1 牛孫1 i 1 . 1T+1< 2 1 + r 1s ls這三式相加得：11+d 1+/ 1+z2 +xy

13、+yz l+zi(14)這樣我們又得到了一個新的命題.如此繼續(xù),使得推廣 3: xi (0,1) ,(i=1、2、3,n),求證:口 1"1E-til + x；+ 對(15)推廣 4： xi C (1,+oo),(i=1、2、3,n),求證:M 1"1£之£,臼1+¥ eI + jc/對(xn+1=x1 ) (16)(15)、(16)的證實可仿照(14)的證實進行,在此就略去其詳細的證實 了.從這幾個推廣命題的由來我們可以看出,很多數學命題都是在認真分析已有 命題的根底上,對原命題進行分析、歸納、總結、提煉,得到描述問題的本質,在 原有問題及其

14、求解思路的根底上,運用自己所掌握的數學知識通過思維的遷移加工 就可得到一系列新的數學命題,這也是許多命題專家的研究心得,更是解題者應該 多多注意的一個方面,也是我們輔導老師應該向學生介紹的重要一環(huán)一一展示知識 發(fā)生、開展的全過程.例4 為正數.求證：研究某些不等式的推廣是十分有意義的工作,有事實說明,近多年來的高層 次競賽就屢次涉及到多個變量的復雜不等式證實問題,而且,有些問題本身就是一 些固有問題的開展和演變,故應引起參加競賽的同學的重視.a, b, ca b c 口+用 6 十 zn c+機一+ +-24+b c a b-¥m c + m .+ 陽證實：不妨設,那么a>c,

15、 b>cabac之t (吁qe-q "(a+fliWA+nf) (a+m)(c + m)(.十兩)一04叫了 (4+耐)一(心+部)0 + w)-(c + bi)1(tf+ffl)( + wr)4+的(心+般)a+m b+m * (b+m c+m b+m J+2+ +1b + m a+m c+m a + m a + m ；a+m 出+州 c+的-116十牌 e+陽 a+mcma + mc a-m b + m->+a b+密 cm例 5 設正數 x,y,z,a,b,c 滿足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c, 求函數 f(x,y,z)=x2 y2 22+ +1

16、 + x 1+y 14-z角單：由 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c 容易解得: £2,-2 最 0 +c -a x =2bc, ca2-b2/+/-/y -fz,lea2ab且 a+b>c,b+c>a,c+a>b.由對稱性不妨設a>b>c,從而f(x,y,z)='l+x 如+方+.) 陽He620+B+© £慶(計I(,+ 4,產=. < . >2®+b + c) £43+鼻)2O a4+b4+c4+22比2+£/c+£痙-加oa4+b4+c4+3、/加之2方

17、7+2加oa2(a-c)(a-b)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c- b) >0 o a2(a-b)2+a2(b-c)(a-b)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c-b)=a2(a-b)2+(a2-b2)(b-c)(a-b)+c2(c-a)(c- b) >0,最后的不等式顯然成立所以=1+工2,其中等號成立當且僅當 a=b=c且 x=y=z=2,故函數f(x,y,z)的最小值為例6設n是給定的正整數,且n>3,對于n個實數x1,x2,xn ,記|xi- xj|(1 <i<j &n)的最小值為 m.假設x12+x22+xn2=1,試求

18、m的最大值.解：不妨設 x1 &x20& xn,貝U x2-x1 >m,x3-x2>m,x4-x3>m,- -,xn -xn- 1>m.xj -xi >(j -i)m(1 < i<j &n) .,.有出心跳*AT勤西ET口 Z2ZT).12< n. m2n2(n2-1) < 12n,m0、n(n -1).僅當x1,x2,xn成等差數列,且S=1時等號成立. mmax=T n(n2 -1)例7設n是一個固定的整數,n>2.( I)確定最小的常數c,使得不等式 h玄由源+小文口小Mv物r4對所有的非負實數x1, x2,xn都成立；(11)對于(1)中的常數c,確定等號成立的充要條件解：將和式X,區(qū)丹)簡記為2f(XjMj).(I)當x1 , x2,xn不全為0時,記XX叼二£及再產式餐+Xj+4)*,y 1這片了 (£兄丁M；=1F：)NW物xJ-2?內-tYk必£空2(2&X-2%XjXk(X|+Kj+XjX MjUZ+X) < c(£ %)4 Q C 之-2x2 +x-y,其中等號成立僅當_ 1Tinin - g(H)中等號成立=00產卜=0且= 22勺ex1 , x2,xi2+xj2=2xixji=lxn中任意三項之積為