平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義公開課教案(楊振遠)

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案課題：§ 2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教材： （人教 A 版）數(shù)學(xué)必修4 教者：楊 振 遠一、教學(xué)目標1 、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2 、 體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系， 理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律， 并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算；3 、體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。二、教學(xué)重、難點教學(xué)重點：1 、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義2 、性質(zhì)與運算律及其應(yīng)用教學(xué)難點：1 、平面向量數(shù)量積的概念2 、 平面向量數(shù)量積的運算律（ 2 ） 、 （ 3

2、）的證明三、教學(xué)過程活動一： 創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課1 、提出問題 1 ：請同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運算。2 、提出問題 2 ：請同學(xué)們繼續(xù)回憶， 前面我們學(xué)習(xí)了向量的相線性運算，即向量的加法、減法和數(shù)乘運算。我們知道這些運算有個共同的特點，就是他們運算的結(jié)果仍然是一個向量，并且這些結(jié)果都有明確的幾何意義，即是一些與平行四邊形的邊、對角線、三角形的邊以及平行、共線有關(guān)的向量。下面我們一起思考這樣一個問題。思考：既然平面向量能進行加減運算，那自然會想到兩個向量能否進行乘法運算？假如能的話那運算的結(jié)果又會是什么呢？3、

3、提出問題3:我們在前面的學(xué)習(xí)中有沒有接觸過有關(guān)向量乘法之類的運算呢?活動二：探究數(shù)量積的概念1、給出有關(guān)材料并提出問題4:(1)如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移那么力F所做的功：W= |F| |力cos a 。(2)這個公式的有什么特點？請完成下列填空:W (功)是 量,F (力)是S (位移)是量，(3)你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎 ？期望學(xué)生回答：功是力的大小與位移的大小及其夾角余弦的乘積總之：功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定，這給我們一個啟發(fā)：能不能將功看成是這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？為此，引入平面向量的“數(shù)量積”的概念。2、明晰數(shù)量積的定義(1)數(shù)量積的定義：

4、已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為 ，我們把數(shù)量I a | b I cos叫做a與b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：a b ,即：a b= | a | ' b | cos(2)定義說明：記法“a b”中間的耍”不可以省略，也不可以用“ ”代替?！耙?guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。3、提出問題5:向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些?期望學(xué)生回答：線性運算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個數(shù)值的大小不僅和向量a與b的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。4.請問：兩個非零向量夾角的定義是什么？已知非零向量 a與b ,作OA=a, OB = b ,則/AOB

5、 = 9 (0<9<Tt)叫a與b的夾角.給出幾個簡單的圖讓學(xué)生判斷向量的夾角說明：(1)當8 =0時，a與b同向;(2)當8 =九時，a與b反向；(3)當8 =時，a與b垂直，記aX b ;2(4)注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的.范圍0 < <1805、學(xué)生討論，并完成下表:的范圍0 ° & <90 °=90 00<<180°a b的符號活動三：探究數(shù)量積的運算性質(zhì)1、討論數(shù)量積的運算與前面三種線性運算的區(qū)別(運算的結(jié)果是數(shù)量而不再是向量)。"T2、研究數(shù)量積運算結(jié)果的符號取決于 支與合

6、的夾角§。3、探究特性：(0= 90口時的情況)a .L b<a-b = 0 (、辦為非零向量)此處可與實數(shù)進行對比：對 分、6e及時 成> =0 = =0或$二0而a b = 0= 6斯=d或a 1 b此特性給我們提供了證實有關(guān)垂直問題的一個很好的方法。一一 -2- 2S F 二。-(JI a I = 'a a(3) cosa b|a| |b|此特性給我們提供了很好的求長度的方法。(4) |a b | |a | |b |活動四：探究數(shù)量積的幾何意義(1)給出向量投影的概念：療如圖，我們把I b |cos (| a I cos )勺/- - -：叫做向量 b在a方

7、向上(a在b方向上)的投影，4三)/o | A | c(k a fli 3 f記做：OBi= | | b | | cos(2).請作出向量b在a方向上的投影。zt M L說明：投影也是一個數(shù)量，不是向量；當 為銳角時投影為正值；當 為鈍角時投影為負值;當 為直角時投影為0;當=0時投影為|b|;當=180時投影為|b|(3)請結(jié)合投影的定義給出向量數(shù)量積的幾何意義？數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影| b|cos的乘積。活動五：探究數(shù)量積的運算律1、 提出問題7:運算律和運算是緊密相關(guān)的，類比實數(shù)運算中的運算律，探究平面向量數(shù)量積的運算律。師生共同回顧實數(shù)運算中有關(guān)乘法的運算律。請學(xué)生自

8、己先寫出有關(guān)的運算律：n出'這些運算律對向量是否也適用？預(yù)測：學(xué)生可能會提出以下猜想：-f # a -b = b -a(a b) c = a (b c) fff fff(a+ b)-c=a-c+b -c2、分析猜想：猜想的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜想的正確性，請同學(xué)們先來討論：猜測的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？期望學(xué)生回答：左邊是與向量C共線的向量，而右邊則是與向量a共線的向量，顯然在向 量c與向量a不共線的情況下猜測是不正確的。對田的真假探究可采用分析法引導(dǎo)學(xué)生進行：要探究li-lr tritk J-(fld'C +b'c的真假，由數(shù)量積的概念即探究-F版

9、響(其中/丸氏分別是壬與C、金與c、A與白的夾角)的真假。若C二°顯然成立，若£/口，即探究(J CDS 0 -4- 曲 |cOK a一 _ _,2的真假。根據(jù)投影的概念可知即探究已+ b、2、b右七方向上的投影之間的關(guān)系，利用多媒體動畫演示易得證。從而探究出數(shù)量積的運算律：滿足交換律，分配律，不滿足結(jié)合律。4、另外，(血)* = '38Ad也是一個重要的性質(zhì)，請同學(xué)們課后證明。在證明時，學(xué)生可能只考慮到人>0的情況，為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題：當入<0時，向量a與入a, b與入b的方向的關(guān)系如何？此時，向量入a與b及a與入b的夾角與向量 a與b

10、的夾角相等嗎？活動五：應(yīng)用與提高例一：已知 |a|=5. |b|=4. a 與b 的夾角為 120° ,求 a b, (a) 2一1、 一解 a b |a| |b |cos1205 4 (-)10222_a |a |525練習(xí)：已知在 ABC中，a=8, b=7, / C=6 0 °,求 BC?CA例二.判斷正誤，并簡要說明理由. a 0 0； 0 a=0;對任意向量a , b , c都有(a b) c a (b c)若a b 0 ,則a 0或b 0若a b a c貝ij b cX X X XX例三.已知 a|=6. | b| =4,當 a與 b 的夾角是 60°

11、 時，求(a 2b) (a 3b) , (a b)2,|a b |讓學(xué)生獨立完成，當學(xué)生在求|a b|時遇到困難時，引導(dǎo)學(xué)生注意(a b)2與|a b |之間的關(guān) 系：|a b | . (a b)2解：(a 2b)(a 3b) a2a b6b2| a |2 | a | | b |cos 61 b |2212=626 4 642 =- 722(a b)2 a2 2a b b2 = |a |2 2| a | | b | cos |b |2212=62 2 6 4 - 42 = 762| a b | . (a b)2 = 76 =2 19例四：已知|a|=3,| b |=4，且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-k b互相垂直？分析：a+kb 與 a-k b 垂直，即證(a+kb ) ( a-k b ) =0解：若向量a+kb與a-kb互相垂直( a+kb )( a-kb ) =022 22_2_a k b 0a29,b2 16k 34活動六：小結(jié)1、本