2013高考數(shù)學 常見難題大盤點 數(shù)列

1、2013高考數(shù)學常見難題大盤點：數(shù)列1. 已知函數(shù)，是方程f(x)0的兩個根，是f(x)的導數(shù)；設，(n1，2，) (1)求的值； (2)證明：對任意的正整數(shù)n，都有a；解析：(1)，是方程f(x)0的兩個根，； (2)，有基本不等式可知(當且僅當時取等號)，同，樣，(n1，2，)，2. 已知數(shù)列的首項（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項，（）。 （1）證明：從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設為數(shù)列的前n項和，且是等比數(shù)列，求實數(shù)的值；（3）當a0時，求數(shù)列的最小項。分析：第（1）問用定義證明，進一步第（2）問也可以求出，第（3）問由的不同而要分類討論。解：（1）(n2)由得， ，即從第

2、2項起是以2為公比的等比數(shù)列。（2）當n2時，是等比數(shù)列, (n2)是常數(shù)，3a+4=0，即 。（3）由（1）知當時，所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項是前三項中的一項。當時，最小項為8a-1；當時，最小項為4a或8a-1；當時，最小項為4a；當時，最小項為4a或2a+1；當時，最小項為2a+1。 點評：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學思想，有一定的綜合性?？键c二：求數(shù)列的通項與求和3. 已知數(shù)列中各項為： 12、1122、111222、 （1）證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積. （2）求這個數(shù)列前n項之和Sn . 分析：先要通過觀察

3、，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項，進一步再求和。解：（1） 記：A = , 則A=為整數(shù) = A (A+1) ， 得證 (2) 點評：本題難點在于求出數(shù)列的通項，再將這個通項“分成” 兩個相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。4. 已知數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項公式；（）設，求數(shù)列的前項和；（）設，數(shù)列的前項和為求證：對任意的，分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解：（），又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列 ，即.（） （）， 當時，則， 對任意的， 點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們

4、熟悉的結構求得數(shù)列的通項，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點要重點講到?？键c三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系5. 已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項. 求函數(shù)的表達式； 求證：；分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質，第（3）問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解： 又為銳角 都大于0 點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。6. 已知數(shù)列滿足（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（）證明：分析：本例（1）通過把遞推關系式轉化成等比型的數(shù)列；第（2）關鍵在

5、于找出連續(xù)三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮。解：（1），故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），得，即得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設，則 點評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。7. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（） （）若則當n2時,.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關的命題，可考慮用數(shù)學歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進行放縮。解：()先用數(shù)學歸納法證明,.（1）當n=1時,由已知得結論成立;（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,因為0x1時,所以f(x)在

6、(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因為,所以,即0,從而() 因為 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因為, n2, 所以 = .由 兩式可知: . 點評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導數(shù)的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意?？键c四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系8. 已知函數(shù)f(x)=，設正項數(shù)列滿足=l， (1)寫出、的值; (2)試比較與的大小，并說明理由；(3)設數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當n2時,Sn(2n1)分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因為所以（2）因為所以,因為所以與同號，因為，即（3）當時，所以，所以 點評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。9. 在平面直角坐標系中，已知三個點列An，Bn，Cn，其中 ，滿足向量與向量共線，且點（B，n）在方向向量為（1，6）的線上 （1）試用a與n表示； （2）若a6與a7兩項中至少有一項是an的最小值，試求a的取值范圍。分析：第（1）問實際上是求數(shù)列的通項；第（2）問利用二次函數(shù)中求最小值的方式來解決。解：（1）又Bn在方向向