胡運權排隊論習題解

1、(2)(4)(6)(8)胡運權排隊論習題解,平均每小時3人,某修理店只有一個修理工人，來修理的顧客到達次數(shù)服從普阿松分布 修理時間服從負指數(shù)分布，平均需10分鐘，求修理店空閑時間概率； 店內有4個顧客的概率； 店內至少有一個顧客的概率 在店內顧客平均數(shù)； 等待服務的顧客平均數(shù)；在店內平均逗留時間；平均等待修理(服務)時間；必須在店內消耗15分鐘以上的概率.解：該系統(tǒng)為(M / M /1/)模型,3,60 6.10(1)Po(2)P4(1(1N4(3)1 Po(4)Ls1_；231(人);(5)Lq(6)Ws-326 31L人)；21 一，(小時);31 一，Wq(8)1-F(，(小時)；6-(

2、6-3)竺 -竺)e-( - ) e 60 201、，一，豆;(3)店內至少1答:(1)修理店空閑時間概率為3 ;(2)店內有三個顧客的概率為11 .有一個顧客的概率為；;(4)店內顧客平均數(shù)為1人;(5)等待服務顧客平均數(shù)為人;(6)在店內平均逗留時間1分鐘;(7)平均等待修理時間為1分鐘;(8)必須在店內3615消耗15分鐘以上的概率為e20.10.2設有一單人打字室，顧客的到達為普阿松流，平均到達時間間隔為20分鐘,打字時間服從指數(shù)分布，平均時間為15分鐘，求(1)顧客來打字不必等待的概率；(2)打字室內顧客的平均數(shù)；(3)顧客在打字室內平均逗留時間；(4)若顧客在打字室內的平均逗留時間

3、超過1.25小時,則主人將考慮增加設備及打字員，問顧客的平均到達概率為多少時，主人才會考慮這樣做？解：該題屬M /M /1模型.60 3（人/小時），60 4（人/小時）.20153 1（1）P0 11 -；4 43.（2）Ls -3（人）；4 311WS 晨飛 1（小時）;-1- QWs 1.25；1.25,3.232 3 0.2（人/小時）.1答：(1)顧客來打字不必等待的概率為-;(2)打字室內顧客平均數(shù)為3人;(3)顧客在4打字室內平均逗留時間為1小時;(4)平均到達率為0.2人/小時時，店主才會考 慮增加設備及打字員.汽車按平均90輛/h的poission流到達高速公路上的一個收費關

4、卡，通過關卡的平均時間為38s。由于駕駛人員反映等待時間太長，主管部門打算采用新裝置，使汽車通過關卡的平均時間減少到平均 30s。但增加新裝置只有在原系統(tǒng)中等待的汽車平均數(shù)超過5輛和新系統(tǒng)中關卡空閑時間不超過10%時才是合算的。根據(jù)這一要求，分析新裝置是否合算。解：該系統(tǒng)屬于 M/M/1模型舊裝置各參數(shù)計算:90/h360094.73890- 0.9594.70.951910.05LqL190.95 18.05P010.05采用新裝置各參數(shù)計算:360030120901200.7590/hL 1Lq LP0 10.75 31 0.753 0.75 2.250.25分析：因為采用新裝置后要求原系

5、統(tǒng)中等待的汽車平均數(shù)超過5輛為合算，經計算原系統(tǒng)的Lq = 5滿足這個條件。但是還有一個條件是采用新裝置后要求新系統(tǒng)中關卡空閑時間不超過10%,而經計算P0 0.25即新系統(tǒng)的空閑率為 25%超出了要求，所以采用新裝置是不 合算的。某車間的工具倉庫只有一個管理員，平均有4人/h來令工具，到達過程為 Poisson流；領工具的時間服從負指數(shù)分布，平均為6min。由于場地限制，倉庫內領工具的人最多不能超過3人，求：(1)倉庫內沒有人領工具的概率；(2)倉庫內領工具的工人的平均數(shù)；(3)排隊等待領工具的工人的平均數(shù)；(4)工人在系統(tǒng)中的平均花費時間；(5)工人平均排隊時間。解：該系統(tǒng)屬于 M/M/1

6、/3模型460 106_j4210 5(1)1P0=11 2 5241 (5)0.6P33P0(1)30.60.038(2)252542 41 (5)0.5 (人)(4)答:Lq(1Wq(1)(1 P0)0.5(10.6) 0.1P3)4(10.038)3.8480.53.8480.130.13(小時)1100.03 (小時)倉庫內沒有人領工具的概率為;倉庫內領工具的工人的平均數(shù)為人;(3)排隊等待工具的工人的平均數(shù)為人； 工人平均排隊時間為小時。某車間的工具倉庫只有一個管理員，平均有工具的時間服從負指數(shù)分布，平均為6min過3人，求：(4)工人在系統(tǒng)中的平均花費時間為小時；(5)4人/h來令

7、工具，到達過程為 Poisson流；領O由于場地限制，倉庫內領工具的人最多不能超(1)(2)(3)(4)(5)解：該系統(tǒng)屬于M/M/1/3模型(1)6061041015倉庫內沒有人領工具的概率； 倉庫內領工具的工人的平均數(shù)； 排隊等待領工具的工人的平均數(shù); 工人在系統(tǒng)中的平均花費時間； 工人平均排隊時間。(2)Lq2535232.(人)324 / - (人)5 15(4)Lq234415（小時）4 15（小時）答:(1)倉庫內沒有人領工具的概率為(3)排隊等待工具的工人的平均數(shù)為32；（2）倉庫內領工具的工人的平均數(shù)為一人；5341 .上人；（4）工人在系統(tǒng)中的平均花費時間為 小時;156(5

8、) 1 ,工人平均排隊時間為 一小時。1510. 6在第題中，若顧客平均到達率增加到每小時6人，仍為普阿松流，服務時間不變，這時增加了一個工人。(1)根據(jù) /的值說明增加工人的原因;(2)增加工人后求店內空閑概率，店內有2人或更多顧客（即工人繁忙）的概率。(1)出量,Pd(3)求 Ls,Lq,Wq,Ws.6人/小時，6人/小時，因為c=1,系統(tǒng)沒有空閑時間。所以要增加工人。 （2）增加1個工人后，此系統(tǒng)變成1,意味著系統(tǒng)的流入量等于流M/M/2排隊系統(tǒng)1,Pl1n c2 ccPoPoP1.c1 1ok!1c!2 1 0.510.5Po13,1 3,(3) Pc1P221PoP11P0 216,

9、LqLsWsWq =LqLsLq2 pcc0.521 0.50.5而4/3-61/3_2士小時,9618有一 M/M1/5/模型，平均服務率就兩種到達率：=6； =15分鐘)已計算出相應的概率pn如表10 9所示，試就這兩種情況計算:表 10-9系統(tǒng)中顧客數(shù)n0123456 Pn15 Pn(1)有效到達率和服務臺的服務強度；(2)系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)；(3)系統(tǒng)的滿足率；(4)服務臺應從那些方面改進工作？理由是什么?解當=6,=10日1有PnP5 0.04, 0.6(1).有達到效率e (1 P5) 6(1 0.04) 5.76服務臺的服務強度6C -(1Pn)(1 0.04)100.6 0.9

10、6 0.576系統(tǒng)中平均顧客數(shù)LsLq ;c 1LqP0 ；J 1 c(N C)(1 c) : c(C 1)!(C)0.65 15 10.42 1 0.65 1 (5 1)(1 0.6) 0.6 0!(1 0.6)0.6962LsLq 0.6962 竺 1.1762,s q10系統(tǒng)的滿意率為P50.04.(4)服務臺降低服務強度，原因是因為系統(tǒng)中沒有顧客的概率比重較大服務臺的服務強度為當 =15, =10 時，=1.5.(1)有效到達率e (1pN) 15 (1 0.37) 9.45,C -(1 Pn)才1 0.37)0.945;(2)系統(tǒng)中平均顧客數(shù)LsLa ,s qLqPo 21q (c

11、1)!(c p)21.52(N c)(1c) : c0.05 (11.6369;-21 1.5)1.55(51)(1 1.5)5111.5 Ls Lq 1.63699.45102.5819.(3)系統(tǒng)的滿足率p50.37.(4)服務臺應提高服務率的原因是1,會使排隊隊長增大而等待空間有限，而致使有些顧客得不到服務而自動離開10-7有M/M/1/5系統(tǒng)，平均服務率=10,就兩種到達率入=6,入=15,已得到相應得概率pn ,如表所示，就兩種到達率分析：(1) 有效到達率和系統(tǒng)的服務強度(2) 系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)(3) 系統(tǒng)的滿員率(4) 服務臺應從哪些方面改進，理由是什么?系統(tǒng)中顧客數(shù)人=6入=

12、15012345當入=6 時，=10,0=入/科=6/10= , K=5Po =顧客的損失率為 p5 =有效到達率為 入e=X(1-p5)=6*=系統(tǒng)的服務強度為 p =系統(tǒng)中的隊長即顧客的平均數(shù)為L=( p /1- p )-(K+1) p k 1/1- p k 1=*66=系統(tǒng)的滿員率為p5 =當入=15 時，=10,0=入/科=15/10= , K=5Po =顧客的損失率為 p5 =有效到達率為 入e=X(1P5) =6*=系統(tǒng)服務強度為p =系統(tǒng)中的隊長即顧客的平均數(shù)為k 1k 1L=( p /1- p )-(K+1) p /1- p =在到達率為15人的情況下，一個服務臺是不夠的，需要

13、增加服務臺數(shù)。10.8 在第10.1題中，如服務時間服從正態(tài)分布，數(shù)學期望仍然為6分鐘，方差21，求店內顧客數(shù)的期望值。8141解=4人/小時，E(T) (小時)，=,VarT1010824 c 12216 ,22VarT 4108 11Ls - =一.2(1)102 (1 351011答店內顧客數(shù)的期望值為-05某人核對申請書時，必須依次檢查8張表格，每張表格的核對時間平均需要1min,申請書的到達率為6份/h，相繼到達時間間隔為負指數(shù)分布；核對每張表格的時間服從負指數(shù)分布。求：1) 辦事員空閑的概率；2) L, Lq, W W.M/Ek/1/ 8/ 8模型解：因為核對申請書中的每一張表格的

14、時間服從k60的負指數(shù)分布，則依次檢查8張表格，即一份申請書的時間服從愛爾朗分布，所以本題可以看成是一個2且 6 , E(Ek)=1/ 科=2/15,D(E k)=1/(k 科)=1/45,-0.81)辦事員空閑的概率為P010.22)Lq2222(1-)(36/45二0.64 3.62 0.2LLq3.6 0.8 4.4qw L. 36 0.661W Wo0.6 2/15 0.73q存貨被使用的時間服從參數(shù)為科的負指數(shù)分布，再補充之間的時間間隔服從參數(shù)為入的負指數(shù)分布。如果庫存不足時每單位時間每件存貨的損失費用為6 n件存貨在庫時的單位時間存儲費為Gn,這里C2C1。(1)求出每單位時間平均

15、總費用 C的表達式；(2)一的最優(yōu)值是什么?解（1此過程可以看成是M/M/1/ / .此時泊松分布的均值 為L負指數(shù)分布的均值為P0E（Cn） C2P0 C1-C2（1令C0,不合題意）知道C1是使編小的最優(yōu)值。10.11 一個大型露天礦山，考慮修建一個或兩個礦山卸位比較經濟合理。已 知云砂石的 車按流到達，平均15輛/h ,卸礦石時間服從負指數(shù)分布，平均每一輛，又知每輛運礦石卡車的售價為 8萬元，修建一個卸位的投資是14萬元。解：已知c=8 c 2=141560 20當修建一個礦山卸位:_ 1532043L 3（輛）11 34費用：F=qX1+ C1 L=14+8X 3=38 （萬）當修建兩

16、個礦山卸位:3_3S= -428（4）03)1(-)24%111I 2! (1 358II (3)2 3 297Lq=4-8 ”輛)2 (1 3 25008,2973662 331 , 土而、L=Lq+=(輛)500 4 500 250331 一費用：F=C2X 2+ c1 L=14+8X=(萬)250因此修建兩個礦山缺位更加經濟合適。某電話總機有三條（s=3）中繼線，平均呼叫為次/min,如果每次通話平均時間為，試求該系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)時的概率分布、通過能力、損失率和占用通道的平均數(shù)。解：s=3=-= =251.5 3_ _43 6_162d= =152 5s 35 5則該系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)時的概率分布

17、為：P0=C；(言0(1言3 =5527125P1=C3(1)1(1 52 2 2P2 = C3(5) (13 2 3P3 = C3 (2)3(152.2_54一)=51252、136一)51252、08)5125系統(tǒng)的絕對通過能力為:A=(1- s) =4 5系統(tǒng)的相對通過能力為:1225Q=1-=1-2 = 3損失率為P3 =125占用通道的平均數(shù)為:36 +3 8125125s= s nPn=0 8+1 空+2n 0125125150 =125一名修理工負責 5臺機器維修，每臺平均 2小時損壞一次，又修理工修復一臺機器平均用 時，以上時間服從負指數(shù)分布。問：(1)所有機器正常運轉概率；(2)等待維修機器的期望；(3)加入希望做到一半時間所有機器都在正常運轉，則該修理工最多看管多少臺。解：此問題為 M/M/1/5模型，其中入=1/2=,=60/= % =(1+=(2) L = m - yd - Pa)=Lq=L- (1- P。)= m - Q (入+ w)(1- P。=(3)設看管臺數(shù)為n,則W =石3而- Tn=3時：Po=,電=n=4 時：P仁，包=n=5 時：0=, =s=