曲線積分與曲面積分知識(shí)點(diǎn)

1、第十章曲線積分與曲面積分1、 一、重點(diǎn)兩類曲面積分及兩類曲面積分的計(jì)算和格林公式、高斯公式的應(yīng)用2、 二、難點(diǎn)對(duì)曲面?zhèn)鹊睦斫猓褜?duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分，利用格林公式求非閉曲線上的第二類曲線積分，及利用高斯公式計(jì)算非閉曲面上的第二類曲面積分。3、 三、內(nèi)容提要1. 1 .曲線(面)積分的定義：(1) (1)第一類曲線積分nf(x, y)ds_limf( i, i) Si (存在時(shí))L= 0i o表示第i個(gè)小弧段的長度，()是上的任一點(diǎn)小弧段的最大長度。 實(shí)際意義：當(dāng)f(x,y)表示L的線密度時(shí)，L f (x,y)ds表示L的質(zhì)量；當(dāng)f(x,y) 1時(shí)，表示L的弧長，當(dāng)f(x,y)表示位于L

2、上的柱面在點(diǎn)(x,y)處的高時(shí)，l f (x, y)ds表示 此柱面的面積。(2) (2)第二類曲線積分nLPdx Qdy_limn P( i, i)為 Q( i, i) yj (存在時(shí))L0 .i 1實(shí)際意義：設(shè)變力=P(x,y) i+Q(x,y) j將質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A沿曲線L移動(dòng)到B點(diǎn)，則作的功為：WLF dS L Pdx Qdy ,其中=(dx,dy)事實(shí)上，LPdx, LQdy分別是在沿X軸方向及Y軸方向所作的功。(3) (3)第一類曲面積分nf (x, y,z)ds_limf( i, i, i) Si(存在時(shí))0i 1表示第i個(gè)小塊曲面的面積，(i, i, i )為上的任一點(diǎn)，是 n塊小曲

3、面的最大直 徑。實(shí)際意義：當(dāng)f(x,y, z)表示曲面上點(diǎn)(x,y,z)處的面密度時(shí)，f (x, y, z)ds表示曲面的質(zhì)量，當(dāng)f(x,y,z)1時(shí)，表示曲面的面積。(4) (4)第二類曲面積分nPdydz Qdzdx Rdxdy_limnP( i, i, i)( Sjz Q( i, i, i)( §) R( i, i, i)( Si)x0 i 1-(存在時(shí))其中(Si)yz, (Si)zx,(Si)xy分別表示將任意分為n塊小曲面后第I塊在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz,dzdx, dxdy分別表示這三種投影元素 ；(i , i, i )為上的任一點(diǎn)，是 n塊小曲

4、面的最大直徑。實(shí)際意義：設(shè)變力V(x, y,z) =P(x,y, z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k為通過曲面的流體 (穩(wěn)定流動(dòng) 且不可壓縮)在上的點(diǎn)(x,y,z)處的速度。則VdSPdydz Qdzdx Rdxdy表示在單位時(shí)間內(nèi)從的一側(cè)流向指定的另一側(cè)的流量。2、曲線(面)積分的性質(zhì)兩類積分均有與重積分類似的性質(zhì)(1) (1)被積函數(shù)中的常數(shù)因子可提到積分號(hào)的外面(2) (2)對(duì)積分弧段(積分曲面)都具有可加性(3) (3)代數(shù)和的積分等與積分的代數(shù)和第二類曲線(面)積分有下面的特性，即第二類曲線(面)積分與曲線(面)方向(側(cè))有關(guān)l Pdx Qdy l Pdx Q

5、dyPdydz Qdzdx Rdxdy=Pdydz Qdzdx Rdxdy(4) 線(面)積分的計(jì)算(1) (1)曲線積分的計(jì)算a、a、依據(jù)積分曲線L的參數(shù)方程，將被積表達(dá)式中的變量用參數(shù)表示b、b、第一(二)類曲線積分化為定積分時(shí)用參數(shù)的最小值(起點(diǎn)處的參數(shù) 值)作為積分下限(2) (2)曲面積分的計(jì)算方法1、1、第一類曲面積分的計(jì)算a 將積分曲面投向使投影面積非零的坐標(biāo)面b 將的方程先化成為投影面上兩變量的顯函數(shù)，再將此顯函數(shù)代替被 積表達(dá)式中的另一變量。C 將ds換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素2、2、第二類曲面積分的計(jì)算a 將積分曲面投向指定的坐標(biāo)面b 同1c 依的

6、指定的側(cè)決定二重積分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式(1) (1)格林公式Q P、，Pdx Qdy( )dxdyLd x y其中P、Q在閉區(qū)域D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，L是D的正向邊界曲線。若閉區(qū)域D 為復(fù)連通閉區(qū)域，P、Q在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則Q Pn_( )dxdy= Pdx Qdyd x yi 1 Li其中(=1, 2n)均是D的正向邊界曲線。(2) (2)高斯公式R一)dxdydz zQ P" Pdydz Qdzdx Rdxdy =(x y其中P、Q、R在閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是Q的邊界曲面的外側(cè)(3) (3)斯托克斯公式dydz dzdx dxdy

7、一=0 Pdx Qdy RdzxyzPQR其中P、Q、R在包含曲面在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是以為邊界的 分片光滑曲面，的正向與的側(cè)向符合右手規(guī)則。5、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)P、Q在開單連同區(qū)域 G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，A、B為G內(nèi)任意兩點(diǎn)，則以下命題等價(jià)：(1) Pdx Qdy與路徑L無關(guān)LAB(2)對(duì)于G內(nèi)任意閉曲線L, %Pdx Qdy 0Q P(3)在G內(nèi)處處成立x y(4)在G內(nèi)，Pdx+Qdy為某函數(shù)U(x,y)的全微分6、通量與散度、環(huán)流量與旋度 設(shè)向量 VfA(x,y,z) =P(x,y, z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k 則通量(或

8、流量)=： A nds其中 n = (cos, cos, cos )為上點(diǎn)(x,y,z)處的單位法向量。 散度div = + 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與的形狀無關(guān)的充要條件是散度為x y z零。ijk旋度 rot A xyzPQR環(huán)流量向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量為Pdx Qdy Rdz= ： A t ds四、四、難點(diǎn)解析本章中對(duì)在xoy面上的投影(S)xy為()xy,8s0(S)xy=()xy,8s00,cos 0其中為有向曲面上各點(diǎn)處的法向量與Z軸的夾角余弦。()xy為在xoy上投影區(qū)域的面積。此規(guī)定直接決定了將一個(gè)第二類曲面積分化為二重積分時(shí)正負(fù)號(hào)的選擇，此規(guī)定貌似復(fù)雜，但其最基本的思想?yún)s非常簡單

9、：即基于用正負(fù)數(shù)來表示具有相反意義的量。比如，當(dāng)溫度高于零度時(shí)用正數(shù)表示，當(dāng)溫度低于零度使用負(fù)數(shù)表示。從引進(jìn)第二類曲線積分的例子 看是為了求穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體流向指定側(cè)的流量。如果我們用正數(shù)來表示流體流向指定側(cè)的流量，很自然，當(dāng)流體流向指定側(cè)的反向時(shí)用負(fù)數(shù)表示就顯得合情合理了。因此上z2 R2 z 0面的規(guī)定就顯得非常自然合理了。 五、 五、典型例題22x y例1、計(jì)算I=x2ds:圓周x y解：由輪換對(duì)成性，得2221222 .1 _ 2.2 _ 3I 、x ds= y ds I z ds=x y z ds= R ： ds =- R333例2、設(shè)L： x222y a為成平面區(qū)域D,計(jì)算

10、3dx33 x dy3解例3、求3dx3z2dxdy,3x 一dy (格林公式)3其中為曲面x2 y2(x2D2zy2)dxdy=4 2 d2a的外側(cè)。解法一、將分為上半球面:2a12 x2 y2 a2解法二、利用高斯公式：.：z2dxdy=x2例4、求曲線y= x2, y2一22a xy2dxdyx22y和下半球面：z222a x y dxdy22y aa 24r rdr = a02(0 0222y2 z2 a222x及y2z)dxdydz=0(對(duì)稱性)x所圍成的圖形的面積。解：求曲線的交點(diǎn)法一、定積分法12 y2A=0(yy)dy法二、二重積分法B(1, 1), C(，)則所求面積為1 y

11、2A= d =y2 dx +0 D2法三、曲線積分法y 11 1)dy = =266 3設(shè)所給曲線圍成的閉區(qū)域?yàn)镈.則3 4 y12y2340 dy 仁 dx= 0(y 3網(wǎng)+ °22設(shè)所給曲線圍成的圖形的邊界曲線為L,A= :l xdy= oBxdyxdyxdy=1y2dy+BCCO0 )則2y小,dy212=+33例5、計(jì)算(2)3Lydx13xdy, L：從點(diǎn) A(-R,0)到點(diǎn)2B(R,0兩上半圓周xr2。解：法因?yàn)橛们€積分與路徑無關(guān)Q , P , 一一， 1在xoy面上恒成立，且x yP _ 一在xoy面上連續(xù)，所以曲線積分yL ydx xdy與路徑無關(guān)。R于是 l yd

12、x xdy = ab ydx xdy = R0dx =0 法二、用曲線積分與路徑無關(guān)，則 ydx xdy=0 (其中 C(0,R)ACB A法三、用曲線積分與路徑無關(guān)，則(R，0) _n(R,0) =0(R,0)(R,0)Lydx xdy=(R,0)ydx xdy= ( R,0) d(xy) =xy法四、用格林公式P 一 Q 一 P 匚且一Q及一P在閉曲線ACBA上圍成的閉區(qū)域 D上連續(xù)。故由格林公式 y x yACBA ydx“/ Q P-cxdy =( )dxdy=0d x yl ydx xdy =0 ba ydx xdy =0法五、用定積分計(jì)算，則 L的參數(shù)方程為x RC0S , L的起

13、點(diǎn)A對(duì)應(yīng)與 y Rsin,綜點(diǎn)對(duì)應(yīng)于，于L ydx xdy0Rsin(Rsin ) RcosRcosd2 0R2 cos2 do 1R2 sin 2 0 =02例六、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分(y z)dydz (z x)dzdx(xy)dxdy其中是2y (0 z h)的下側(cè)解：設(shè)為平面Z=h被錐面z2 (y1z)dydz(z x) dzdx(x2y2所圍成部分的上側(cè)。, Qy)dxdy =(xR、一)dxdydzz(00 0)dxdydz=0(yz)dydzi所以(z x)dzdx (x y)dxdy = (x1y)dxdy = (x y)dxdy =0Dxy=0-0=0六.曲線積分與曲面積分自

14、測題一、一、填空：(4 5分)1、1 L(x2ycosx 2xysinx y2ex)dx (x2sinx 2yex)dy222其中L為正向星形線x3y3 a'(a 0)2、L為xoy面內(nèi)直線x=a上的一段，則 LP(x y)dx +Ir-h、一222-3、設(shè)=(x yz)i + (y xz) j + (z xy)k,則 div=4、. (x y 2z)dydz (3y z) dzdx (z 3)dxdy=其中：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所圍成的立體的表面外側(cè)。 二、二、選擇題(45分)1、1、設(shè)=P(x,y) i+Q(x,y) j , (x,y)D,且P、Q在區(qū)

15、域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又L:是D內(nèi)任一曲線，則以下 4個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是Q PA 若 Pdx Qdy與路徑無關(guān)，則在 D內(nèi)必有一 Lx yB若lA ds與路徑無關(guān)，則在D內(nèi)必有單值函數(shù) u(x,y),使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyQPC若在D內(nèi)一Q ,則必有 A ds與路徑無關(guān)xyLD若XD內(nèi)有一必曲線C,恒有口 Pdx Qdy 0 ,則LPdx Qdy與路徑無關(guān)2、2、已知(x ay)dX ° ydy為某函數(shù)的全微分,則 a等于(x y)2A - 1; B 0; C 1;D 2;3、3、設(shè)曲線積分 Lxy2dx y (x)dy與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)得到

16、數(shù)，且 =0,則(i,i)2xy dx y (x)dy»/(0,o)J J ')J 等于4、設(shè)空間區(qū)域由曲面42一y平面z=0D 1;圍成，其中a為正常數(shù)，記的表面外側(cè)為222 2 .S,的體積為 V,貝U ox yz dydz xy z dzdx z(1 xyz)dxdyA 0; B V; C 2V;三、三、計(jì)算(6 10)1、1、計(jì)算I=0x2ds,其中為圓周： xD 3V;y2 z2 R2y z 02、2、計(jì)算曲線積分0 嗎 xd2y ,其中L為圓周(x 1)2 y2 2, L的方向?yàn)槟鏁r(shí) 2( x y )針方向。3、3、計(jì)算 L(x2 y)dx (x sin2y)dy,其中 L是在圓周V2x x2 上點(diǎn)(0, 0)到