基于logistic回歸模型對肝癌手術(shù)治療效果的評價

1、河南城建學院第三屆大學生數(shù)學建模競賽承諾書我仔細閱讀了河南城建學院笫三屆大學生數(shù)學建模競賽參賽須知。我完全明白，在競賽開始后參賽者不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨 詢等）與任何人研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資 料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考 文獻中明確列出。我鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則 的行為，我將受到嚴肅處理。我的選擇題號為：B姓 名系 別學 號聯(lián)系方式（以下內(nèi)容參賽同學不需填寫，由競賽組委會統(tǒng)一編碼）評閱編號：河南城建學院

2、第三屆大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁評閱編號（由組委會評閱前進行編號）：評閱記錄（供評閱時使用）:評分nnnnn評閱人備注題目：基于Logistic回歸模型對肝癌手術(shù)治療效果的評價摘要：本文根據(jù)20個具有代表性的肝癌患者樣本的10項指標，討論了肝癌手術(shù)的預 后影響，通過不同的模型來提高模型預測的精確度和穩(wěn)定性。通過查閱大量醫(yī)學書籍， 了解各項指標的意義以及在臨床實驗中它們對肝癌手術(shù)的影響程度，并根據(jù)醫(yī)學統(tǒng)計學 原理對各個指標的含義進行賦值，所賦的值為分類指示符，并無數(shù)值含義。首先，利用聚類分析根據(jù)10個指標對20個樣本進行聚類，發(fā)現(xiàn)與預后影響的結(jié)果 具有很大的偏差，故10個指標均不是對預后具有決

3、定性的指標，具有權(quán)重性。再對10 個指標對預后的影響進行聚類分析，發(fā)現(xiàn)x3 （HbsAg）, x9 （腫瘤旁的微小子灶），x4 （AntiHCV）, xlO （術(shù)后腹水）,x8 （腫瘤包膜）、x2 （門脈癌栓），x7 （腫瘤生長方式） 具有相近性，即對預后的影響也許具有一致性。其次，利用判別分析各指標與預后影響的相關(guān)性，得到非標準化判別方程并用3個 樣本進行回帶檢驗，準確率為66. 7%,精確度和穩(wěn)定性不夠高，對現(xiàn)實的指導意義不怎 么大。為提高精確度和穩(wěn)定性，換用Logistic回歸模型利用具有代表性的肝癌患者樣本 的10項指標建立回歸方程，得到：無預后影響的準確率為90. 9%,有預后影響的

4、準確 率為88. 9%,總計百分比為90%,根據(jù)統(tǒng)計學原理,若預測率大于50%,預測的結(jié)果是良 好的.較為準確的。至此，準確率比用判別分析提高了 23. 3%,所以用Logistic回歸 模型對預后影響進行判斷是有效的。關(guān)鍵詞：聚類分析，判別分析，Logistic回歸分析，肝癌預后影響，SPSS1問題重述肝癌手術(shù)治療效果評價肝癌是我國第二常見的癌癥，很多人在發(fā)現(xiàn)肝癌時就已經(jīng)是肝癌中晚期了，而肝癌 手術(shù)治療是中晚期肝癌的首選療法。選取某醫(yī)院10年來肝癌病例總共4860例，每個 病例有病人近80個信息，其中包括患者病歷號、性別、年齡、學歷、職業(yè)、住址、基 本病史、臨床體征、惡性腫瘤分類、實驗室檢驗

5、指標、影像學檢查等，經(jīng)過數(shù)據(jù)預處理, 選取其中20個有代表性的樣本，選取對預后影響的10個指標如附件1-預處理后樣本 數(shù)據(jù)，各指標項說明見附件2-各指標項說明。請以預后影響作為評價標準，建立數(shù)學模型，對手術(shù)的治療效果進行預測，為病人 是否選擇手術(shù)治療提供建議。2模型假設(shè)（1）在理想情況下，認為20個樣本具有很強的代表性，即包含了不同重要指標所對應 的預后影響。（2）不考慮各個樣本之間的個體差異，即大致的身體健康情況相同，身體恢復能力也 相同。（3）不考慮各個樣本在術(shù)后的主觀意志和客觀條件如手術(shù)醫(yī)師、病房條件、藥物使用 等的影響。（4）不考慮其他變量指標對預后的影響，不考慮其他變量指標對10個指

6、標的交互影響。3符號說明表1符號含義符號含義Gn第 n 類樣本(nW 1,2, nGN*)xi第 i 個指標(iei, 10, iGN*)dij第i個指標xi與第j個指標xj的歐式距離Ci線性判別函數(shù)的系數(shù)Pi預后影響的概率P0與指標xi無關(guān)的常數(shù)項Pi指標xi對P的貢獻量OR指標優(yōu)勢比4數(shù)據(jù)預處理4.1醫(yī)學數(shù)據(jù)意義翻閱大量醫(yī)學專業(yè)書籍C1L 2,可知相關(guān)變量指標的含義，如表2所示。表2變量指標的含義變量指標變量指標含義D預后影響預測疾病的可能病程和結(jié)局。XI食道靜脈曲張曲張山于肝臟主要的血供來源之一的門靜脈系統(tǒng)壓力過高，導致 它的功能異常，原本應該匯入這個系統(tǒng)而回流至心臟的靜脈血液 無法流入

7、，淤積在管腔里就使靜脈異常的擴張而且不能回縮至正 常。X2門脈癌栓肝癌門靜脈栓的形成是影響肝癌預后的重要因素，臨床發(fā)生率高 達 60%-90%oX3HbsAgHbsAg （乙肝表面抗原）：乙型肝炎表面抗原陽性，表示體內(nèi)已感 染乙肝病毒。X4AntiHCVAnti-HCV （ W型肝炎病毒抗體）：丙型肝炎病毒抗體IgG陽性表明 已有HCV感染。X5腫瘤部位腫瘤生長的地方X6腫瘤大小直徑3cm(small)、35cm(middle)、5 10cm(big)、10cm(very big)X7腫瘤生長方式膨脹性生長：手術(shù)容易摘除，摘除后不易復發(fā)。浸潤性生長：臨 床觸診時，腫瘤固定不活動，手術(shù)切除這種腫

8、瘤時，為防止復發(fā)， 切除范圍應該比肉眼所見范圉大，因為這些部位也可能有腫瘤細 胞的浸潤。X8腫瘤包膜包膜可以視作為正常組織對腫瘤組織的反應（不一定有），為對腫 瘤局部損傷刺激的修復反應，因此是山結(jié)締組織構(gòu)成的纖維膜。X9腫瘤旁的微 小子灶一個局限的、具有病原微生物的病變組織，就稱為病灶。X10術(shù)后腹水肝腹水一般來說都是山肝硬化疾病轉(zhuǎn)化而來的，它是肝硬化病癥 最顯著的并發(fā)癥之一，它的岀現(xiàn)代表著肝功能進入失代償期。4. 2數(shù)據(jù)的初步分析4.2.1數(shù)據(jù)的初步統(tǒng)計利用Excel對選取的20個有代表性的樣本及其各樣本對預后影響的10個指標總 表進行析：20個樣本中有“預后影響”的有9例，無“預后影響”的

9、有11例，所有樣 本詳情的統(tǒng)訃情況如表3所示。表3樣本詳情統(tǒng)計指標名稱指標取值有術(shù)后影響樣本數(shù)無術(shù)后影響樣本數(shù)食道靜脈曲張無25輕度31中度24重度21門脈癌栓無33分支34主干34HbsAg陰性48陽性3AntiHCV陰性4陽性47腫瘤部位左肝20右肝59全肝22腫瘤大小<3cm313 ocm245'10cm22>10cm24腫瘤生長方式膨脹55侵潤16腫瘤包膜無42子灶突破包月莫43無16腫瘤旁的微小子灶尢75冇26術(shù)后腹水無24少44¥334. 2. 2數(shù)據(jù)剔除根據(jù)現(xiàn)代醫(yī)學統(tǒng)計方法理論3,所有樣本量的各項指標從輕到重的分布應呈現(xiàn)正態(tài) 分布圖像4, 20個樣本

10、數(shù)據(jù)的10個指標的分布詳情均比較準確。依據(jù)統(tǒng)計學原理， 20個樣本數(shù)據(jù)具有一定的代表性，故不剔除任何數(shù)據(jù)。4. 3對指標的賦值為方便建模時對各樣本、各指標進行分析，故將各個指標的情況進行賦值，按照綜 合評價中指標值標準化方法的探討5,在模型中各項指標均為分類數(shù)據(jù)，為將分類數(shù) 據(jù)應用于數(shù)值模型中，因此對分類數(shù)據(jù)進行數(shù)值賦值。分別用數(shù)集0,1,2, 3中的數(shù)字 來表示各指標下的不同等級數(shù)據(jù)，且數(shù)集0, 1, 2, 3只是分類指示符，并無真正的數(shù)值 含義，具體賦值情況如表4所示。表4對變量的賦值變量名變量標示變量說明XI食道靜脈曲無(no)0> 輕(light)1、中(mid)2、重(seri

11、ous)3X2門脈癌栓無(no) Ox 分支(branch) 1 % 主干(trunk) 2X3HbsAg陰性(negative)0、陽性(positive) 1X4AntiHCV陰性(negative)0、陽性(positive) 1X5腫瘤部位左肝(left liver) 1 % 右肝(right liver) 2> 全肝(all liver) 3X6腫瘤大小直徑<3cm(small)1、3、5cm(middle)2、5、10cm(big)3、 >10cm(very big)4X7腫瘤生長方 式膨脹(dilation) 1、浸潤(infiltration) 2X8腫瘤包膜

12、完整(integrate) K子灶突破包膜(part) 2無(no)0X9腫瘤旁微小 子灶無(no)Os 有(have)1X10術(shù)后腹水無(no)0 少(less)1、多(much)2Decision預后影響有(Y) 1.無(N) 05模型建立與優(yōu)化求解5.1基于聚類分析分析源數(shù)據(jù)5.1.1聚類分析的基本方法聚類分析（Cluster Analysis） 是研究分類問題的多元統(tǒng)計方法之一，就是根 據(jù)研究對象的特征把性質(zhì)相近的個體歸為一類，按樣本的“接近程度”使得同一類中的 個體具有高度的同質(zhì)性，不同類之間的個體具有高度的差異性的多元分析技術(shù)的總稱。5.1.2聚類分析的大致過程系統(tǒng)聚類的步驟一般是

13、首先根據(jù)一批數(shù)據(jù)或指標找出能度量這些數(shù)據(jù)或指標之間相 似程度的統(tǒng)訃量；然后以統(tǒng)計量作為劃分類型的依據(jù)，把一些相似程度大的變量（或樣 品）首先聚合為一類，而把另一些相似程度較小的變量（或樣品）聚合為另一類，直到 所有的變量（或樣品）都聚合完畢，最后根據(jù)各類之間的親疏關(guān)系，逐步畫成一張完整 的分類系統(tǒng)圖，乂稱譜系圖。其相似程度山距離或者相似系數(shù)定義。進行類別合并的準 則是使得類間差異最大，而類內(nèi)差異最小。記第i個樣本兀與第j個樣本勺之間的距離d（xitXj）= ,其中i H J非負性：心0滿足一下條件：對稱性:三角不等式:以£+切無預后影響的樣本：9、10、13、14、19按照已知數(shù)據(jù)所

14、示，應分成兩大類，一類為“有預后影響S另一類為“無預后影響S 但充分按照10個指標的數(shù)據(jù)來進行分類，所得類別含有的樣本與預想的類別含有的樣 本具有顯著的差異。故10個指標并不都是重要指標，是具有權(quán)重性的，即需要對指標 進行篩選，得到各個指標的權(quán)重系數(shù)，建立合理的線性回歸方程。5.1.4對10個指標的系統(tǒng)聚類分析結(jié)果考慮“預后影響”的各項指標，對10個指標進行分類，利用SPSS系統(tǒng)聚類分析的 方法，把原來10個指標按照“接近程度”進行樣品聚類分析。通過SPSS的分析，得 到系統(tǒng)聚類分析如圖2所示。圖2 10個指標的系統(tǒng)聚類分析圖Rescaled Distance Cluster Combine聚

15、類分析中類別數(shù)口的確定，一方面要按照聚類圖的密集程度做劃分，另一方面還 要考慮實際情況的需求來決定最后的分類情況： 根據(jù)圖2系統(tǒng)聚類分析圖的分類情況，將10個指標分成5類：A類:x3 （HbsAg）, x9 （腫瘤旁的微小子灶），x4 （Anti HCV）, xlO （術(shù)后腹水），x8 （腫瘤包膜）；類類類類 B c D E:x2 （門脈癌栓），x7 （腫瘤生長方式）；:X1 （食道靜脈曲張）；:X5 （腫瘤部位）；:x6 （腫瘤大?。?。從圖2的信息可知知道，A類具有5項指標，B類具有2項指標，C類.D類、E 類均只含有1項指標，指標具有相近性，說明A類和B類的指標可能對預后結(jié)果的影 響具有一

16、致性。5.2基于判別分析求判別函數(shù)判別分析'是根據(jù)已知類別（兩類以上）的事物的性質(zhì)（表明觀察量特征的變量 值），建立函數(shù)式，利用已建立的函數(shù)式對未知類別的新事物進行判斷并將之歸入已知 的類別的分析方法。是運用計算機進行運動員挑選、動植物分類和疾病診斷的主要統(tǒng)計 學基礎(chǔ)。5.2.1判別分析的基本方法在我們的日常生活和工作實踐中，常常會遇到判別分析問題，即根據(jù)所劃分類別的 有關(guān)資料和某種最優(yōu)準則，確定一種判別方法，判定一個新的樣本歸屬哪一類。任何一 種判別總是存在誤判的，一個好的判別法應該是誤判的概率盡可能的小。常用的判別方 法有如下：計算誤判率、用已建立判別函數(shù)的樣品進行回帶、建立判斷函

17、數(shù)并判斷。兩個總體的距離判別：設(shè)有協(xié)方差矩陣工 相等的兩個總體q和G2,其均值分別是 刈和“2,對于一個新的樣品X,要判斷它來自哪個總體。一般的想法是計算新樣品x到兩個總體的馬氏距離d2(x,gj和r>2(x,Gj,并按照 如下的判別規(guī)則進行判斷x w q,如果 d2(x.g)< d2(x,g2)XeG2,如果 D2(X,G,)>D2(X,G2)這個判別規(guī)則的等價描述為：求新樣品x到的q距離與到q的距離之差，如果其值為正，X屬于G?；否則屬于G。借助方差分析的思想構(gòu)造一個判別函數(shù)：y =工6和其中g(shù)為系數(shù)) 5. 2. 2對樣本的選擇用Excel表格中的“end ()函數(shù)”隨

18、機選擇17個樣本進行判別函數(shù)的建立，用 剩余的3個樣本進行回帶判斷。表5對樣本的隨機排序樣品號隨機序列200. 89239780. 82362870. 535523180. 69073730. 328389100. 593089120. 18467940. 63266720. 33521690. 903682190. 514618170. 038178160. 252134150. 27290550. 64620560. 903531130. 03952610.462211140. 658924110. 833521由表 5 知，假設(shè)用前 17 個樣本2、3、4、5、6、7、8、9、10、12

19、、13、15、16、 17、19. 19、20進行判別函數(shù)的建立,用剩余的3個樣本1、11、14進行回帶判斷。 17個樣本中“有預后影響”的有8例，7個樣本中“無預后影響”的有9例。5.2.3判別分析的大致過程將隨機抽取的17個樣本分為兩類:3、 4. 6、 7、 12、 15、18、 20G 有預后影響：G2 無預后影響:2、5、 8、 9、 10、 13、16、 17、 19丁蟲屮+ C佑用G、q建立函數(shù)關(guān)系得：廠=C1x1'2>+- + Qv9,2>希望對來自不同兩個總體的兩個平均值yy相差愈大愈好，取判別臨界值為:一一 兒/p，+G?pyG1P+G2P_y>y

20、0,xreG1若尹>腐，判別準則可表示為：eG2若y vy ,判別準則可表示為:y>yxG2y<yxieG5.2.4由SPSS得出非標準化判別方程在不進行指標篩選的情況下，得到非標準化線性方程，其系數(shù)如表6所示。表6非標準化線性方程系數(shù)Canonical Discriminant Function CoefficientsFunction1X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10(Constant)-.6261.086 -2.430.024-.479.314-1.163.5593.687-.2381.071有表可知，費希爾判別函數(shù)為：y = l071-0.626X +1.0

21、86x2 - 2.430x3 +0.024x4 -0.479x5+0.314x6 一1.163%7 +0.559兀 +3687兀丿 一0.238心5.2.5回帶數(shù)據(jù)檢驗判別方程組重心處的費希爾判別函數(shù)值表7組重心處的費希爾判別函數(shù)值Functions at Group CentroidsFunctionGroup11-1.0232.909山表知，無預后影響的組重心點為0. 909,有預后影響的組重心點為-1.023,實際 上為各類別重心在空間中的坐標位置。這樣只要在前面計算出各觀測值的具體坐標位置 后，再計算岀它們分別離各重心的距離，就可以知道它們的分類了。將前面剩余的3個 樣本1、11、14

22、的10項指標數(shù)據(jù)進行回帶進行檢驗，求出判別分，比較此判別分分別 距各重心的距離，距離哪個近就屬于哪一類。表8判別結(jié)果樣本原數(shù)據(jù)判別分組重心函數(shù) 值判別分到 各重心的距離判別結(jié)果準確與否110. 292-1.0231. 3150不準確.9090.6171103. 031-1.0234.0540準確.9092. 1221403. 896-1.0234.9190準確.9092. 987將數(shù)據(jù)回代的判別結(jié)果顯示準確率為66. 7%,具有一定的可參考性，但是準確率依 然不高，原因在于某些指標變量在進行相關(guān)度計算時，具有兩者具有較強的共線性，指 標變量過多是干擾判別預測的主要因素，故需進行模型改進。5.3

23、基于Logistic模型對預后進行預測Logistic回歸模型'是一種概率型非線性模型，是研究分類觀察結(jié)果(y)與一 些影響因素(X)之間關(guān)系的一種多變量分析方法?；驹恚河靡唤M觀察數(shù)據(jù)擬合Logistic模型揭示若干個自變量x與一個因變量y 取值的關(guān)系，反映y對x的依存關(guān)系。5. 3. 1 Logistic模型的基本方法Logistic回歸模型適合于病例中對照研究、隨訪研究和橫斷面研究，且結(jié)果發(fā)生的 變量取值必須是二分的或多項分類的?？捎糜绊懡Y(jié)果變量發(fā)生的因素為自變量與因變 量，建立回歸方程。5. 3. 2 Logistic回歸模型的大致過程將有預后影響的概率記為P，它與自變量xl

24、、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、 xlO之間的Logistic回歸模型為：p= cxp(0"+0“ + 炕)5 ),可知，無預后影響的概率為：(1_卩)l+exp(/70+/71x1+-/?10xI0)經(jīng)數(shù)學變換得:lnp/(l-p) = /+/71xI+-/7I0x10定義：Logit(p) = lnp/(1 -p)為Logistic變換，B|J：=幾+妙“ + 久“。其中幾是與諸指標九無關(guān)的常數(shù)項，卩、燉、是回歸系數(shù)，標示住指標七對"的 貢獻量。流行病學的常用指標優(yōu)勢比(odds ratio, OR)或稱比數(shù)比，為流行病學中常用的統(tǒng)計指 標。即易的優(yōu)勢

25、比為：OR二刎衛(wèi)1PoAl-Po)所以，A的意義：當因素兀每改變一個測量單位時所引起比數(shù)的自然對數(shù)改變量。5.3.3利用SPSS進行Logistic回歸模型的建立選擇肝癌患者樣本的10項指標進行Logistic回歸模型的建立，指標有：XI （食道靜脈曲張）、X2 （門脈癌栓）、X3 （HbsAg）、X4 （AntiHCV）. X5 （腫瘤部位）、X6 （腫瘤大?。?、X7 （腫瘤生長方式）、X8 （腫瘤包膜）、X9 （腫瘤旁的微小子灶）、X10 （術(shù)后腹水）5.3.4對Logistic回歸模型的顯著性檢驗對模型系數(shù)綜合檢驗，結(jié)果如表9所示。表9模型系數(shù)的混合檢驗Omnibus Tests of

26、Model CoefficientsChi-squaredfSig.Step 1 Step16.54410.085Block16.54410.085Model16.54410.085該表為模型系數(shù)綜合檢驗表，表明模型的X二16. 544 , sig二0. 085。按顯著性水平Q =0.5為水準，自由度df二10 ,通過查卡方檢驗臨界值表可得xG 9.342 , P-值（sig）為0.085,這個P-值很小，即估計回歸方程在總體中是顯著的。表io F統(tǒng)計量Model SummaryStep-2 Log likelihoodCox & Snell RSquareNagelkerke R S

27、quare110.9813.563.753Cox & Snell以及Nagelkerke的R：檢驗是回歸方程的擬合優(yōu)度檢驗，類似于線性 回歸的R2統(tǒng)計量。其數(shù)值大小反應方程對解釋變量變差解釋的程度，這兩個統(tǒng)計量常 用于不同模型之間的比較R2（R2< 1）越大表明模型的擬合效果越好。在本模型中，Cox & Snell R2為0. 563, Nagelkerke W為0. 753,表明模型的擬合程度較好。5. 3. 5對Logistic回歸模型的分類表分析表11分類表Classification Table3ObservedPredicteddecisionPercentag

28、eCorrect01Step 1 decision 010190.911888.9Overall Percentage90.0a. The cut value is .500分類表11顯示出了觀測值與預測值之間的互相作用關(guān)系，無預后影響的準確率為 90. 9%,有預后影響的準確率為88. 9%,根據(jù)統(tǒng)訃學原理，若預測率大于50%預測的結(jié) 果是良好的、較為準確的。該模型的預測率總訃口分比為90%,所以該模型穩(wěn)定性不錯。5. 3. 6 Logistic回歸模型結(jié)果利用SPSS軟件建立模型，求解結(jié)果如表12所示。69表12 Logistic回歸方程中的變量Variables in the EquationBS.E.WalddfSig.Exp(B)Step!3 X12.8682.0821.8971.16817.603X2-3.1762.6371.4501.228.042X325.9871.271E4.0001.9981.932E11X4-4.2844