概率與概率的加法公式12

1、12 隨機(jī)事件的概率，古典概型與概率的加法公式2000/7/312000/7/31一.概率的統(tǒng)計(jì)定義：1.頻率：隨機(jī)事件在一次具體的試驗(yàn)是否發(fā)生，雖然不能預(yù)先知道，但是，當(dāng)大量重復(fù)同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)現(xiàn)象卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律 ，即所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.女口：歷史上有人作過(guò)成千上萬(wàn)次投擲硬幣,下表列出他們的試驗(yàn)記錄：2.隨機(jī)事件驗(yàn)者投擲次數(shù)正面向上次數(shù)頻率1。隨機(jī)及其概率2。古典概型皮爾遜(K, Pearson)皮爾遜(K.Pearsou)4040120002400020486019120120.60690.50160.5005容易看出，投擲次數(shù)越多正面向上的頻率越接近0.5,其中事件A發(fā)生的頻率一事件A發(fā)生

2、的次數(shù)頻數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)我們將事件發(fā)生的可能性大小只停留在定性了解不夠的, 定量的描述，稱為事件發(fā)生的概率.2.隨機(jī)事件的概率：(1)定義：在不變的一組條件ST,重復(fù)作n次試驗(yàn)，記是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù).當(dāng) 試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，如果頻率丄穩(wěn)定在某一數(shù)值p的附近擺動(dòng)，而且一來(lái)隨著試驗(yàn)次數(shù)n增多，這種擺動(dòng)的幅度越變?cè)叫?，則稱數(shù)值p為事件A在條件S下發(fā)生的概率，記作P(A)二p這里，頻率的穩(wěn)定性是概率一個(gè)直觀樸素的描述，通常稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義但必須指出，事件的頻率是帶有隨機(jī)性的，這是由事件本身的隨機(jī)性所決定。而事件的概率，卻是一個(gè)客觀存在的F面給出事件發(fā)生的可能性大小的客觀的2實(shí)數(shù)，是不

3、變的。古典概型：1.定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象滿足下列三個(gè)條件：(1)(1) 一次試驗(yàn)可能結(jié)果只有有限個(gè)，即所有基本事件只有有限個(gè)：Al,A2 JH,An，(2)(2)每一個(gè)基本事件A (i=l,2,|(, n)發(fā)生的可能性是相等的.(3)(3)基本事件A (i “2川，n)是兩兩互不相容滿足以上三個(gè)條件的隨機(jī)現(xiàn)象模型，稱為古典概型.在古典概型中，如果 n n 為基本事件總數(shù)，m m 為事件 A A 包含的基本事件數(shù)，那么事件 A A 的概率P(A)二m二n貳包含的基本事件數(shù) 基本事件總數(shù)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)(Laplace)在 18121812 年把上式作為概率的一般定義.現(xiàn)在通常稱

4、它為概率的 古典概型的定義，因?yàn)樗贿m用于古典概型場(chǎng)合.2.古典概型公式的運(yùn)用舉例：【例 1 1】 袋里有 2 2 個(gè)白球和 3 3 個(gè)黑球.從袋任取出一球，求它是白球的概率.解：容易看出，“從袋里任取一球”這一試驗(yàn)是古典概型的，且基本事件總數(shù) n n= 5 5,取到白球的基本事件數(shù) m m = 2 2，故把白球換為合格產(chǎn)品，黑球換為廢品，則這個(gè)摸球模型就可以描述產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)問(wèn)題.這種模 型化的方法把表面上不同的問(wèn)題歸類于相同的模型之小中，能使問(wèn)題更消楚，更易于計(jì)算?！纠?2 2】把 a,a, b b 兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I,I,n, ,川 的三只盒子里，求盒子I I 中沒(méi)有球的概率。解：這

5、是一個(gè)古典概型問(wèn)題，把 a,a, b b 兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I,I,n, ,川的三只盒子里，基本事件總數(shù)n = 32=9設(shè)人=“盒子 I I 中沒(méi)有球”，則事件 A A 包含的基本事件數(shù)m = 22= 44 P(A)b b 只黑球，它們除顏色不同外，(外形完全一樣”, ,從袋 了中任2 2 個(gè)球時(shí)，求：0*0*【例 3 3】有一個(gè)口袋，內(nèi)裝 a a 只白球, 不同外，外形完全一樣. .現(xiàn)任意模出(1)模出 2 2 個(gè)球都是白球的概率；1 n m3(2)模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率解：這口袋共有a+ba+b只球，從袋了中任意模出2 2個(gè)球的基本事件總數(shù)n = Ca b,(1)模出 2 2 個(gè)球

6、都是白球基本事件數(shù)2mi=Ca,模出 2 2 個(gè)球都是白球的概率pn_ Ca ； Pb ；(2)模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的基本事件數(shù)m2=CaCb=ab,模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率m2P2nab_C2Ca b若把黑球作為廢品，白球作為好品，則這個(gè)摸球模型就可以描述產(chǎn)品抽樣按如產(chǎn)品分為更多 等級(jí)，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等則可用裝有多種顏色的球的口袋的摸球模 型來(lái)描述.【例 3 3】列列各事件的続舉z z凡=従某指定的r r個(gè)盒中各有一球護(hù)比=立恰有r r個(gè)盒*其中各有一球”A3-某指定的一個(gè)盒子，恰有k個(gè)球”解(l)r(l)r個(gè)球放入n個(gè)盒子里的方法共有分種*而廠個(gè)球在摘定的廠個(gè)盒中

7、各放一個(gè).共有瑞種放法 f 所評(píng)尸=(2)由于在穆個(gè)盒中選出產(chǎn)個(gè)盒的選法共有C個(gè),而對(duì)于 每一種選法選出的廠個(gè)盒其中各放一個(gè)球的放法有口種，所 以衛(wèi)工包含的基本事件數(shù)為C rh因此(3)由于在F個(gè)球中選岀代個(gè)球的選法有C種，而其余的r-k個(gè)球可枉意地放在H一1個(gè)盒子中，這種放法有 5 I種，所以Aa包含的基本事件數(shù)是C；(n IX 因此【例 4 4】躺 HimHimJiJi -；r r “ “產(chǎn)汀中 TmTm 炭 乩P(A)=C rnrPW =4試確定從中任取的懈件迭驗(yàn)產(chǎn)品中恰有丁件是廢品的概率. 解 把令格品視為白球，廢品視為黑球，易知，本題的試驗(yàn)是古典型的*從滸件產(chǎn)品中取倔件的可能方法數(shù)等

8、于這就是本題試驗(yàn)（從鳥(niǎo)個(gè)球（產(chǎn)甜）中任取伽個(gè)球（產(chǎn)品）的基本事件空間所包含的基本事件總數(shù).1 無(wú)放回抽樣：從川件廢品中取來(lái)件（這共有c；種方法），再?gòu)?-幾 件合格昂中取來(lái)w-r件（這共有?？诜N方醫(yī)兒 這樣庾得 到的每+ =皿件產(chǎn)品都是一個(gè)有利的基本事件.所 劃，有利場(chǎng)含總數(shù)等于C；心二=所求概率2.有放回抽樣：有放回抽樣時(shí)的概率計(jì)算公式推導(dǎo)如下.現(xiàn)在仍設(shè)$件 產(chǎn)品中有人件廢品.用有放回抽樣抽取僦件，我們來(lái)求恰好 有妒件廢品的概率.因抽后放回，故每次抽取時(shí)抽到全部產(chǎn) 品中的每件都是可能前.可重復(fù)排列的全體是基本事件 空間，故基牟事件總數(shù)等于廠.宥利場(chǎng)合（冰次抽取中有護(hù) 次抽到廢品）數(shù)是y（$-

9、h）m5:可如下考慮求出此有利場(chǎng)合數(shù)先指定某r次抽取廢品槽這有種指定法.這丁次抽到廢品有加種排列方式！其余 皿-尸次抽到合格品有G-小種排列方式.由乘法原理*P二GZ-防? E【例 5 5】 有一個(gè)口袋內(nèi)裝可分辨 4 4 個(gè)黑球，6 6 個(gè)白球，它們除顏色不同外，外形完全一樣 . .現(xiàn)按兩種 取法；(I)無(wú)放回；(n)有放回連續(xù)從袋中取出3個(gè)球，分別求下面事件的概率：(1)A=“取出3個(gè)球都是白的”；(2)B =“取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球”.解：(I)無(wú)放回：連續(xù)從袋中取出3個(gè)球的基本事件總數(shù)(1)取出3個(gè)球都是白的基本事件數(shù)(2)取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球，注意到取出黑球的次序，事件B的基本事件數(shù)

10、m2二C：AA6,因而p(B)= m2=C：A A 73nA10有利場(chǎng)合數(shù)等于上述三數(shù)乏積.?所求概率為P(A)n6 5 410 9 8丄0.1676A06(n)有放回：連續(xù)從袋中取出3個(gè)球的基本事件總數(shù)n =103,(1)取出3個(gè)球都是白的基本事件數(shù)mi= 63,3mi6P(A)13= 0. 2 1 6n103(2)取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球，注意到黑球黑球的次序， 事件B的基本事件數(shù)m2二C：42C6,7mo因而P(B)-n2 2 1C44C6= 0.288103【例6】設(shè)有 k k 個(gè)球，每個(gè)球都能以同樣的概率落到 試求：下列事件的概率(1)(1)解：A=A= ”某指定的 k k 個(gè)格子中各

11、有一個(gè)球”B=B= ”任何 k k 個(gè)格子中各有一個(gè)球”；C=C= “ k k 個(gè)球落到同一個(gè)格子中” 這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，由于每個(gè)球可落入N N 個(gè)格子(N _k)k)的每一個(gè)格子中,N N 個(gè)格子中的任一個(gè)， 所以 n n 個(gè)球在 N N 個(gè)格子基本事件總數(shù)n = Nk(1)(1) k k 個(gè)球在那指定的 k k 個(gè)格子中全排列，總數(shù)為P感！N N 個(gè)格子中任意選出 n n 個(gè)來(lái)，這種選法共有(2(2) n n 個(gè)格子可以任意,即可以從CN【例】【例】又對(duì)于每種選定的n n 個(gè)格子,n!n!，因而所求概率共有 n!n!排列，因而所求概率P2 An!N廠Nn(N -n)!生日.個(gè)人的生日的

12、可能情形相當(dāng)于廠個(gè)球放入 弓65個(gè)盒中的不同排列(假定一年有365天).一部屯梯，開(kāi)始有廠個(gè)乘客.它在旳層樓中每一層都乘客走出電梯的各種不同的排列與尸個(gè)球放入個(gè)盒中的各停.種不同排列相同.三。概率的性質(zhì):1.0 P(A)乞12.PC1) =13.P( ) =08四.概率加法公式:1.概率加法公式：(1)如果事件A,B是互不相容，則P(A+B)=P(A)+P(B), 特別地，P(AA)二P(A) P(A)二1；P(A)二1 - P(A)(2)對(duì)任意兩事件且3,有PMUB) = P( Q +P(B)IE因A|JB = AUBJ., W 4HBA= 0,文因?yàn)槎?P+p(2)若 B B A A ,

13、貝 U U P P (ABAB)= =P P (A A) P P ( B B)【例 7 7】在浴池的鞋柜中亂放著1010 雙號(hào)碼不同的托鞋.今隨意取來(lái)三只，求有一雙配對(duì)的概率.2 2.逆事件概率:對(duì)任意事件蘭有P(A)=1-P(A)9解法 I I : 設(shè) 1010 雙鞋的號(hào)碼為 t t 號(hào)至 1010 號(hào)鞋.我們有下列事件等式，10“三只鞋中有一雙配對(duì)”=“三只中1 1 號(hào)鞋配對(duì)” + + “三只中 2 2 號(hào)鞋配對(duì)”+ + + “三支中 1010 號(hào)鞋配對(duì)”.相應(yīng)地可設(shè)事件為A A+ 宀 + 兒“因?yàn)樵?川兩耳不楣容,故尸（月）=戶（&）十+ 口4把 1 1 號(hào)鞋看成廢品，其他鞋看

14、成合格品，由超幾何 分布的概率公式，有解法 1 1 的特點(diǎn)是把較復(fù)雜的事件分解成較簡(jiǎn)單的事件和.解法U所求概率、-4解題的思想請(qǐng)讀者從上式自己思考.【例 8 8】：I I 1111 |“壯八 一：人中譏少，冇IUINIT1 11 1 的昭年m它的“對(duì)立啡件巧人中沒(méi)有兩人有利同生臼- 的概率是容易較得的.因此十所求的概率是經(jīng)計(jì)算得卜喪181U03 19011ijf0.03(J0 J2IS0.25200.412；0,422(M8230512 :0 34250 .573Q0.7135o.si4C0.89M50,91500,97宓0.99出人意外的是當(dāng)打心23時(shí)，這亠概率就大f 0,5.你們班有 務(wù)步人，有相同少口的嗎？【例 9 9】一個(gè)著名問(wèn)題一一匹配問(wèn)題:4張卡門分別標(biāo)著 1 1, 2 2, 3 3, 4 4,面朝下放在桌子上.一個(gè)自稱有透視能力的人將用他超感覺(jué)能力說(shuō)出卡片上的號(hào)數(shù)，如果他是冒充者而只是隨機(jī)地猜一下，他至少猜中一個(gè)的概率是多少？【例 1010】對(duì)于這個(gè)小數(shù)日(n(n = 4)4)的具體問(wèn)題，可以通過(guò)把“至少猜中一個(gè)”進(jìn)行分析而獲得解答里僅給出分析結(jié)果：恰好障屮的午數(shù)4FNI9 11/24S00 V A C B= P(E -A)=P(B)一P(A)111I I 1I236(iii)P(B2)= P(E一PCAB)= 7 - f =