誤差理論與數(shù)據(jù)處理第5版

1、第一章緒論1 1 測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180o00 02”, 試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差解：絕對(duì)誤差等于： 180o00 02180o2相對(duì)誤差等于：222180o180600.00000308641 0.000031%606480001-4 在測(cè)量某一長度時(shí)，讀數(shù)值為 2.31m，其最大絕對(duì)誤差為 20m ，試求其最大相對(duì)誤差。相對(duì)誤差 max絕對(duì)誤差max100%測(cè)得值20 10-6100%2.318.66 10-4 %1 6 檢定 2.5 級(jí)（即引用誤差為2.5）的全量程為 l00V 的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V刻度點(diǎn)的示值誤差 2V 為最大誤差，問該電表是否合格 ?解：依題意，該電

2、壓表的示值誤差為2V由此求出該電表的引用相對(duì)誤差為2/100 2因?yàn)? 2.5所以，該電表合格。1-6 檢定 2.5 級(jí)（即引用誤差為2.5%）的全量程為 100V 的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V 刻度點(diǎn)的示值誤差 2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？最大引用誤差某量程最大示值誤差100%測(cè)量范圍上限22%2.5%100%100該電壓表合格1-8 用兩種方法分別測(cè)量L1=50mm，L2=80mm。測(cè)得值各為 50.004mm，80.006mm。試評(píng)定兩種方法測(cè)量精度的高低。相對(duì)誤差150.004500.008%L :50mmI1100%50L 2:80mm80.006800.0075%I 2100%80

3、I1 I2所以 L2 =80mm 方法測(cè)量精度高。1 9 多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km 時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過0.lkm ，優(yōu)秀射手能在距離 50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm 的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高?解：多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為：0.10.000010.001%10000射手的相對(duì)誤差為：1cm0.01m0.002%50m0.000250m多級(jí)火箭的射擊精度高。1-10 若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長度L1=110mm，其測(cè)量誤差分別為11 m 和9 m ；而用第三種測(cè)量方法測(cè)量另一零件的長度L2=150mm。其測(cè)量誤差為12 m ，試比較三種測(cè)量方法精度的高低。相對(duì)誤差I(lǐng)111

4、 m0.01%110mmI 29 m0.0082%110mmI 312 m0.008%150mmI 3I 2 I 1 第三種方法的測(cè)量精度最高第二章誤差的基本性質(zhì)與處理2 4測(cè)量某電路電流共5 次，測(cè)得數(shù)據(jù) ( 單位為 mA)為 168.41 ，168.54 ，168.59 ，168.40 ，1168.50 。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。解：5I iIi 1168.49( mA)55(IiI )i10.08515( IiI )2i 1120.080.0535354( IiI )4i 110.080.065552 5 在立式測(cè)長儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量5 次，測(cè)得數(shù)據(jù) (

5、單位為 mm)為 200015，20.0016 ，20.0018 ，20.0015 ，20.0011 。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。解：求算術(shù)平均值nlii 1x20.0015mmn求單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差nvi22610810 4 mmi12.55n 14求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差x2.55 10 4 1.14 10 4 mmn5確定測(cè)量的極限誤差因 n5 較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按t 分布處理。現(xiàn)自由度為：n 1 4； 1 0.99 0.01 ，查 t分布表有： ta 4.60極限誤差為lim xtx4.60 1.1410 45.24104 mm寫出最后測(cè)量結(jié)果xlim

6、x20.00155.2410 4mmL22-4 測(cè)量某電路電流共5 次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA ）為 168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。168.41168.54168.59168.40168.50x5168.488( mA)5vi 2i10.082(mA)51x0.0820.037( mA)n5或然誤差： R0.6745平均誤差： T0.7979xx0.67450.0370.025()mA0.79790.0370.030()mA2-5 在立式測(cè)長儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重量測(cè)量5 次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為 mm）為 20.

7、0015 ，20.0016 ，20.0018 ，20.0015 ，20.0011 。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以 99%的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。20.001520.001620.001820.001520.0011x520.0015( mm)5vi 2i 10.0002551正態(tài)分布p=99%時(shí)， t2.58lim xtx0.000252.58530.0003(mm)測(cè)量結(jié)果： Xx(20.00150.0003)mmlim x2-7 用某儀器測(cè)量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差0.004mm，若要求測(cè)量結(jié)果的置信限為 0.005mm，當(dāng)置信概率為 99% 時(shí)，試求必要的測(cè)量次數(shù)。正態(tài)分

8、布p=99% 時(shí)， t 2.58lim xtn2.580.004n2.0640.005n4.26取n 52 8 用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差0.001mm，若要求測(cè)量的允許極限誤差為 0.0015mm，而置信概率P 為 0.95 時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次？解：根據(jù)極限誤差的意義，有tx根據(jù)題目給定得已知條件，有t 0.0015nt0.0015n1.50.001查教材附錄表3 有若 n 5， v 4， 0.05 ，有 t 2.78 ，t2.782.781.24n 5 2.236若 n 4， v 3， 0.05 ，有 t 3.18 ，t3.183.18n42即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量5 次。

9、1.592-10 某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)（單位為 Pa）為 102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其4權(quán)各為 1，3，5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。8pi xixi1102028.34(Pa)8pii 18pi vxi2i186.95(Pa)x8(81)pii 12-11 測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為124 13 36 ，224 1324 ，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為13.1, 2 13.8 ，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。p1 : p212 :1219044

10、 : 96112x24 132019044 16 961 41904496124 1335 xxi2pi3.1190443.019044961pii12-12甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角各重復(fù)測(cè)量 5 次，測(cè)得值如下：甲:7 220 ,7 30 ,7 235 ,7 220 ,7 215 ;乙 :7 225 ,7 225 ,7 220 ,7 2 50 ,7 245 ;試求其測(cè)量結(jié)果。甲： x甲 7o220 60 3520157o230552vi222（ -1022i 1（ -10 ） （30） 5） （ -15）甲14518.45甲18.48.23x甲55乙： x乙7o22525 205

11、0 457o233552vi22222i 1（-8 ） （-8） （ ）（17）（12）乙1351413.5乙13.56.04x乙55p甲 : p乙11113648: 67732:22 :2x甲x乙8.236.04xp甲 xp乙 x3648 306773337o27o232甲乙p甲p乙36486773p甲8.2336484.87xx甲p甲p乙36486773Xx 3x7 23215 2-14重力加速度的20 次測(cè)量 具有平均 值為 9.811m / s2、標(biāo)準(zhǔn)差為0.014m / s2。 另 外30 次測(cè) 量具 有平 均值 為 9.802m / s2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.022m / s2 。假設(shè)這兩

12、組測(cè)量屬于同一正態(tài)總體。試求此50 次測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。p1 : p21:11:1242: 1472220.0222x12x220.0142030x2429.8111479.8029.808(m / s2 )2421470.014242（2）x202420.0025 m/s14762-15 對(duì)某量進(jìn)行 10 次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2， 14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。x14.96按貝塞爾公式10.263310vi按別捷爾斯法21.253i 10.264210(101)由21 u得 u1210.00

13、3412u0.67所以測(cè)量列中無系差存在。n12-16 對(duì)一線圈電感測(cè)量10 次，前 4 次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6 次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85， 50.82，50.81。試判斷前 4 次與后 6 次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。使用秩和檢驗(yàn)法：排序：序號(hào)12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號(hào)678910第一組50.8250.8350.8750.89第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5查表T14 T30TT所以兩組

14、間存在系差2 19 對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：7xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：按照秩和檢驗(yàn)法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表：T12345678910xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T11121314151617181920xi1.211.221.301.341.391.41yi1.

15、251.311.311.38T2122232425262728xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95現(xiàn) n 14， n 14，取 x的數(shù)據(jù)計(jì)算 T，得 T 154。由xyia( n1 (n1n2 1)203 ；( n1n2 ( n1n2 1) 474 求出：212T a0.1t現(xiàn)取概率2(t )0.95 ，即(t)0.475 ，查教材附表1 有 t1.96 。由于 tt ，因此，可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間沒有系統(tǒng)誤差。第三章誤差的合成與分配3-1 相對(duì)測(cè)量時(shí)需用 54.255mm 的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合 而成 ，它 們 的基 本尺 寸為 l140mm

16、， l 212mm ， l 31.25mm ，l 41.005mm 。 經(jīng)測(cè)量 ，它 們的 尺寸偏差 及其 測(cè)量 極限誤差分別 為l 10.7 m ,l20.5 m , l30.3 m ,l 40.1 m,lim l10.35 m,lim l 20.25 m, lim l 30.20 m,lim l 40.20m 。試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來的測(cè)量誤差。8修正值 =( l 1l 2l 3l 4 )= ( 0.7 0.5 0.3 0.1)=0.4 ( m)測(cè)量誤差 :l =2222lim l1lim l2lim l3lim l 4=( 0.35)2(0.25)2(0.20

17、) 2( 0.20) 2= 0.51( m)3-2為 求 長 方 體 體 積 V ， 直 接 測(cè) 量 其 各 邊 長 為 a161.6mm ，b44.5mm, c11.2mm,已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為a1.2mm ， b0.8mm ，c0.5mm，測(cè)量的極限誤差為a0.8mm ，b0.5mm，c0.5mm， 試求立方體的體積及其體積的極限誤差。VabcVf (a, b, c)V0abc161.644.511.280541 .44( mm3 )體積 V 系統(tǒng)誤差V 為：Vbc aac bab c2745.744(mm3 )2745.74(mm3 )立方體體積實(shí)際大小為： VV0V77795.70(

18、mm3 )lim V(f) 2a2(f) 2b2(f) 2c2abc(bc) 22(ac) 22(ab) 22abc93729.11(mm3 )測(cè)量體積最后結(jié)果表示為:VV0Vlim V(77795.703729.11) mm33 3 長方體的邊長分別為1，2 ,3 測(cè)量時(shí)： 標(biāo)準(zhǔn)差均為；標(biāo)準(zhǔn)差各為1、 2、 3 。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長方體的體積計(jì)算公式為：Va1 a2 a3體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為：V)22V)22V)22V(1(2(3a1a2a3現(xiàn)可求出：Va2a3 ；Va1 a3 ；Va1a2a1a2a3若：123則有：(V)22(V)22(V)22(V)2(V)2(V)2V1a22a33a

19、1a2a3a1( a2 a3 )2( a1 a3 ) 2( a1 a2 ) 2若：123則有：( a2 a3 )22(a1 a3 )22(a1a2 )22V1233-4 測(cè)量某電路的電流 I22.5mA ，電壓 U12.6V ，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為I0.5mA ，U0.1V，求所耗功率 PUI 及其標(biāo)準(zhǔn)差P 。PUI12.622.5283.5(mw)Pf (U , I )U、I 成線性關(guān)系UI1P( f ) 2U 2( f ) 2I 22( f )( f ) u IUIUI10ffUIIUUI22.50.112.60.5UI8.55( mw)3 9 按公式 V=r 2h 求圓柱體體積，若已知 r

20、 約為 2cm， h 約為 20cm，要使體積的相對(duì)誤差等于 1，試問 r 和 h 測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少 ? 解：若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為Vr 2h3.142220251.2cm3根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1，即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：1%V即V 1% 251.2 1% 2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出測(cè)定 r 的誤差應(yīng)為：r12.5112 V / r0.007cm1.41 2 hr測(cè)定 h 的誤差應(yīng)為：h12.5110.142cm2 V / h1.41r 23-11 對(duì)某一質(zhì)量進(jìn)行4 次重復(fù)測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù) ( 單位 g) 為 428.6，429.2，426.5，430.8。已知測(cè)

21、量的已定系統(tǒng)誤差2.6g, 測(cè)量的各極限誤差分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量的最可信賴值及其極限誤差。11序號(hào)極限誤差 g誤差傳遞系數(shù)隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81428.6429.2426.5430.8x4428.775(g)428.8( g)最可信賴值xx428.82.6431.4( g)521 3( f )2x( f ) ei 2i 2i 1xi4 i 1xi4.9( g)測(cè)量結(jié)果表示為 : xxx( 431.44.9)g第四章測(cè)量不確定度4 1某圓球的半徑為r ，若重復(fù)10

22、 次測(cè)量得r r =(3.1320.005)cm ，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D2r2其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：uDr2224 3.1415920.0052r2r 0.0314cm確定包含因子。查t 分布表 t 0.01 （ 9） 3.25 ，及 K 3.2512故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：U Ku3.25 0.0314 0.102 求圓球的體積的測(cè)量不確定度圓球體積為： V4r 33其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：uVr224r22216 3.1415923.13240.00520.

23、616rr確定包含因子。查 t 分布表 t 0.01 （ 9） 3.25 ，及 K 3.25 最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為U Ku 3.25 0.616 2.0024-4 某校準(zhǔn)證書說明，標(biāo)稱值10的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻R 在 20 C 時(shí)為10.000742129（ P=99%），求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并說明屬于哪一類評(píng)定的不確定度。Q 由校準(zhǔn)證書說明給定屬于 B 類評(píng)定的不確定度Q R 在10.000742-129，10.000742+129 范圍內(nèi)概率為 99%，不為 100%不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布a129 當(dāng) p=99%時(shí)， K p2.58a129U R50( )K p2

24、.584-5 在光學(xué)計(jì)上用 52.5mm 的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)量圓柱體直徑，量塊組由三 塊量 塊研合而成， 其尺 寸分別是 ： l140mm ，l 2 10mm ，l32.5mm ，量塊按“級(jí)”使用，經(jīng)查手冊(cè)得其研合誤差分別不超過0.45m 、0.30m 、0.25m （取置信概率P=99.73%的正態(tài)分布），求該量塊組引起的測(cè)量不確定度。L52.5mml140 mml210mm13l32.5mmLl1l2l3Q p99.73%K p 3U l1a0.450.15(m)U l 2a0.30m)kp3kp0.10(3U l3a0.250.08(m)kp3U LU l1U l2U l30.1520

25、.1020.0820.20(m)4 6 某數(shù)字電壓表的說明書指出，該表在校準(zhǔn)后的兩年內(nèi)，其2V 量程的測(cè)量誤差不超過 (14 10-6讀數(shù) +110-6 量程 )V，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為 20，若按均勻分布，求1V 測(cè)量時(shí)電壓表的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；設(shè)在該表校準(zhǔn)一年后，對(duì)標(biāo)稱值為1V 的電壓進(jìn)行16 次重復(fù)測(cè)量，得觀測(cè)值的平均值為0.92857V ，并由此算得單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.000036V ，若以平均值作為測(cè)量的估計(jì)值，試分析影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來源，分別求出不確定度分量，說明評(píng)定方法的類別，求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其自由度。622202220101412064822336113xy2.9

26、5-1 測(cè)量方程為x 2 y0.9試求 x、 y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。誤差2x3y1.9v12.9(3x y)方程為 v20.9( x2y)v31.9(2 x3 y)nnnai1ai1 xai1ai 2 yai1li列正規(guī)方程i 1i1i 1代入數(shù)據(jù)得nnnai 2 ai1 xai 2ai 2 yai 2lii 1i 1i 114x 5 y 13.4解得x0.9625x 14 yy0.0154.614v12.9(30.9620.015)0.001將 x、y 代入誤差方程式 v20.9(0.96220.015)0.032v31.9(20.96230.015)0.021n3vi2vi2測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為i 1i10.038n t3214d115d121d11d125d1114d120求解不定乘數(shù)d21d2214d215d2205d2114d221解得 d11 d 22 0.082x、y 的精度分別為xd11 0.01yd220.01x3 y5.6, p115-5 不等精度測(cè)量的方程組如下：4xy8.1, p222xy0.5, p33試求 x、y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。v15.6 ( x 3 y), p1 1列誤差方程 v28.1(4 xy), p22v30.5(2 xy), p33333pi ai1ai1 xpi