2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（四川理）含詳解

1、2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）理科數(shù)學(xué)本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷1至2頁。第卷3到10頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷注意事項(xiàng)：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上。2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。不能答在試題卷上。3本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：如果事件A、B互斥，那么 球是表面積公式 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑 球的體積公式如果事件A在一次

2、試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑一選擇題：(1)復(fù)數(shù)的值是（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1(2)函數(shù)f(x)=1+log2x與g(x)=2-x+1在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是(3)（A）0 (B)1 (C) (D)(4)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（A）BD平面CB1D1 （B）AC1BD（C）AC1平面CB1D1 （D）異面直線AD與CB1角為60°（5）如果雙曲線上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是（A）（B）（C）（D）（6）設(shè)球O的半徑是1，A、B、C是球面上三點(diǎn)，

3、已知A到B、C兩點(diǎn)的球面距離都是，且三面角B-OA-C的大小為，則從A點(diǎn)沿球面經(jīng)B、C兩點(diǎn)再回到A點(diǎn)的最短距離是（A） （B） （C） （D）（7）設(shè)Aa,1，B2，b，C4,5，為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若上的投影相同，則a與b滿足的關(guān)系式為(A)(B)(C) (D) （8）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于（A）3（B）4（C）（D）（9）某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項(xiàng)目，按要求對項(xiàng)目甲的投資不小于對項(xiàng)目乙投資的倍，且對每個項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確

4、規(guī)劃投資后，在這兩個項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤為（A）36萬元（B）31.2萬元（C）30.4萬元（D）24萬元（10）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（A）288個（B）240個（C）144個（D）126個（11）如圖，l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1， l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3上，則ABC的邊長是（A）（B）（C）（D）（12）已知一組拋物線，其中a為2,4,6,8中任取的一個數(shù)，b為1,3,5,7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線x=1交點(diǎn)處

5、的切線相互平行的概率是（A）（B）（C）（D）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上.（13）若函數(shù)f(x)=e-(m-u)2 (c是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是m,且f(x)是偶函數(shù)，則m+u= . (14)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是 .(15)已知O的方程是x2+y2-2=0, O的方程是x2+y2-8x+10=0,由動點(diǎn)P向O和O所引的切線長相等，則動點(diǎn)P的軌跡方程是 .(16)下面有五個命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.終邊在y軸上的角的集合是a|a=|.在同一

6、坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點(diǎn).把函數(shù)函數(shù)其中真命題的序號是 （寫出所言 ）三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分）已知<<<,()求的值.（）求.（18）（本小題滿分12分）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品.（）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn).求至少有1件是合格品的概率;（）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件

7、，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收.求該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.（19）（本小題滿分12分）如圖，是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直線與直線所成的角為60°.（）求證：平面平面;（）求二面角的大小;（）求三棱錐的體積.（20）（本小題滿分12分）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求·的最大值和最小值;（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.已知函數(shù),設(shè)曲線在點(diǎn)()處的切線與x軸線發(fā)點(diǎn)()()其中xn為

8、實(shí)數(shù)（21）（本小題滿分12分） (22)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).()當(dāng)x=6時,求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);()對任意的實(shí)數(shù)x,證明()是否存在,使得an恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）理科數(shù)學(xué)參考答案一選擇題：本題考察基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B二填空題：本題考察基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分（13） （14） （15） （16）

9、三解答題：（17）本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值求角以及計算能力。解：（）由，得，于是（）由，得又，由得：所以（18）本題考察相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計算，考察隨機(jī)事件的分布列，數(shù)學(xué)期望等，考察運(yùn)用所學(xué)知識與方法解決實(shí)際問題的能力。解：（）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事件A 用對立事件A來算，有（）可能的取值為 ，記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為（19）本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量

10、知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力。解法一：（），又（）取的中點(diǎn)，則，連結(jié)，從而作，交的延長線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，從而為二面角的平面角直線與直線所成的角為在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小為（）由（）知，為正方形解法二：（）同解法一（）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題意有，設(shè)，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（）取平面的法向量取為，則點(diǎn)A到平面的距離，（20）本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以

11、及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力。解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或（21）本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。解：（）由題可得所以過曲線上點(diǎn)的切線方程為，即令，得，即顯然 （）證明：（必要性）若對一切正整數(shù)，則，即，而，即有（充分性）若，由用數(shù)學(xué)歸納法易得，從而，即又 于是，即對一切正整數(shù)成立（）由，知，同理，故從而，即所以，數(shù)列成等比數(shù)

12、列，故，即，從而所以（22）本題考察函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計算公式等內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法?？疾榫C合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識。（）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是（）證法一：因證法二：因而故只需對和進(jìn)行比較。令，有由，得因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）對，且有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立。2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)理科數(shù)學(xué)(含詳細(xì)解析)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1、復(fù)數(shù)的值是（）（A）0（B）1（C）（D）解析：選A本題考

13、查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算2、函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（）解析：選C注意 的圖象是由的圖象右移1而得本題考查函數(shù)圖象的平移法則3、（）（A）0（B）1（C）（D）解析：選D本題考查型的極限原式或原式4、如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）（A）平面（B）（C）平面（D）異面直線與所成的角為解析：選D顯然異面直線與所成的角為5、如果雙曲線上一點(diǎn)到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)到軸的距離是（）（A）（B）（C）（D）解析：選A由點(diǎn)到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2知在雙曲線右支上又由雙曲線的第二定義知點(diǎn)到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是，雙曲線的右準(zhǔn)線方程是，故點(diǎn)到軸的距離是6、設(shè)球的半徑是1，、是球面上三點(diǎn)，已知到

14、、兩點(diǎn)的球面距離都是，且二面角的大小是，則從點(diǎn)沿球面經(jīng)、兩點(diǎn)再回到點(diǎn)的最短距離是（）（A）（B）（C）（D）解析：選C本題考查球面距離7、設(shè)，為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與在方向上的投影相同，則與滿足的關(guān)系式為（）（A）（B）（C）（D）解析：選A由與在方向上的投影相同，可得：即 ，8、已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)、，則等于（）（A）3 （B）4 （C） （D）解析：選C設(shè)直線的方程為，由，進(jìn)而可求出的中點(diǎn)，又由在直線上可求出，由弦長公式可求出本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系自本題起運(yùn)算量增大9、某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項(xiàng)目，按要求對項(xiàng)目甲的投資不小于對項(xiàng)目乙投資

15、的倍，且對每個項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤為（）（A）36萬元 （B）31.2萬元 （C）30.4萬元 （D）24萬元解析：選B對甲項(xiàng)目投資24萬元，對乙項(xiàng)目投資36萬元，可獲最大利潤31.2萬元因?yàn)閷σ翼?xiàng)目投資獲利較大，故在投資規(guī)劃要求內(nèi)（對項(xiàng)目甲的投資不小于對項(xiàng)目乙投資的倍）盡可能多地安排資金投資于乙項(xiàng)目，即對項(xiàng)目甲的投資等于對項(xiàng)目乙投資的倍時可獲最大利潤這是最優(yōu)解法也可用線性規(guī)劃的通法求解注意線性規(guī)劃在高考中以應(yīng)用題型的形式出現(xiàn)10、用數(shù)字0，1，2

16、，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（）（A）288個 （B）240個 （C）144個 （D）126個解析：選B對個位是0和個位不是0兩類情形分類計數(shù)；對每一類情形按“個位最高位中間三位”分步計數(shù)：個位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；個位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；故共有個本題考查兩個基本原理，是典型的源于教材的題目11、如圖，、是同一平面內(nèi)的三條平行直線，與間的距離是1，與間的距離是2，正三角形的三頂點(diǎn)分別在、上，則的邊長是（）（A） （B）（C） （D）解析：選D過點(diǎn)作的垂線，以、為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)、，由知，檢驗(yàn)A：，無解；檢驗(yàn)B：

17、，無解；檢驗(yàn)D：，正確本題是把關(guān)題在基礎(chǔ)中考能力，在綜合中考能力，在應(yīng)用中考能力，在新型題中考能力全占全了是一道精彩的好題可惜區(qū)分度太小12、已知一組拋物線，其中為2、4、6、8中任取的一個數(shù)，為1、3、5、7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：選B這一組拋物線共條，從中任意抽取兩條，共有種不同的方法它們在與直線交點(diǎn)處的切線的斜率若，有兩種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有三種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有四種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有三種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有兩種情形，從中取出兩條，有種取法由分類計數(shù)原理知任取兩條切線平行的情形共有種，故所求概率為本題是把關(guān)題二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上13、若函數(shù)（是