第九講 不定方程

1、第九講 不定方程一、 二元不定方程的解法。枚舉法，余數(shù)法。二、 三元不定方程組的解法，三元不定方程的解法。1、解下面的不定方程，求出所有自然數(shù)解(1) (2) 2, 7, 12, 17, 22 1,918,14,10,6,2 (3) (4) 25, 6 無解2、已知和分別表示兩個自然數(shù),并且 ,+= .分析與解答依題意得11+5=37,易知其自然數(shù)解為=2,=3.所以+=5.3、箱子里有乒乓球若干個,其中25%是一級品,五分之幾是二級品,其余91個是三級品.那么,箱子里有乒乓球 個.分析與解答設(shè)箱子里共有n個乒乓球,二級品占.依題意,得 整理得 易知 15-4 a>0,所以a3. 將a=

2、1,2,3代入知,只有a=2符合要求,此時n=260(個).4、某班同學(xué)分成若干小組去值樹,若每組植樹n棵,且n為質(zhì)數(shù),則剩下樹苗20棵;若每組植樹9棵,則還缺少2棵樹苗.這個班的同學(xué)共分成了 組.分析與解答設(shè)共分為x組.由樹苗總數(shù)可列方程 因為22=1×22=2×11, n是小于9的質(zhì)數(shù),對比上式得x=11(組).5、不定方程的自然數(shù)解是 .分析與解答顯然只能取1,2,3.當(dāng)=1時,其自然數(shù)解為x=2, y=4; x=5, y=2.當(dāng)=2時,其自然數(shù)解為x=3, y=1.當(dāng)=3時,顯然無自然數(shù)解. 所以原方程的自然數(shù)解為:6、王老師家的電話號碼是七位數(shù),將前四位數(shù)組成的數(shù)

3、與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得9063;將前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2529.王老師家的電話號碼是 .分析與解答8371692.設(shè)電話號碼的前三位為x,后三位y,第四位為a(a0).由題意有 -,化簡得.當(dāng)a=1時, x=837, y=692;當(dāng)a2時, y<0,不合題意. 所以電話號碼為8371692.7、有三個分子相同的最簡假分?jǐn)?shù),化成帶分?jǐn)?shù)后為.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次為 , , .分析與解答 由題意有.解這個不定方程,得.8、全家每個人各喝了一滿碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有 口人.分析與解答設(shè)全家共喝了x碗

4、牛奶和y碗咖啡,依題意得:整理得 . 易得其自然數(shù)解為x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.9、某單位職工到郊外植樹,其中的職工各帶一個孩子參加,男職工每人種13棵樹,女職工每人種10棵,每個孩子種6棵,他們共種了216棵樹,那么其中有女職工 人.分析與解答設(shè)有女職工x人,男職工y人,那么有孩子人.這個條件說明3| x+ y.由已知 即 由12|4(x+ y),12|72.所以12| y,又. 所以, y=12, x=3.即有女職工3人.10、將一個棱長為整數(shù)(單位:分米)的長方體6個面都涂上紅色,然后把它們?nèi)壳谐衫忾L為1厘米的小正方體.在這些小正方體中,6

5、個面都沒涂紅色的有12塊,僅有2面涂紅色的有28塊,僅有1面涂紅色的有 塊.原來長方體的體積是 立方分米.分析與解答xx畫個示意圖就不難推知:小正方體中僅兩面涂色的每條棱上都有,并在同一個方向的4條棱上2面涂色的小正方體數(shù)相等,設(shè)它們分別為,則 剝?nèi)ニ型可男K,得到上圖.由上面兩上算式可以推算出,僅1面涂色彩正方體有: (塊).原來長方體的體積為 (立方分米).11、李林在銀行兌換了一張面額為100元以內(nèi)的人民幣支票,兌換員不小心將支票上的元與角、分?jǐn)?shù)字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看錯的數(shù)字支付.李林將其款花去3.50元之后,發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍,于是急忙

6、到銀行將多領(lǐng)的款額退回.那么,李林應(yīng)退回的款額是 元.分析與解答設(shè)支票上的元數(shù)與角、分?jǐn)?shù)分別為x和y,則可列得方程 , 其中x,y為整數(shù)且0x,y<100. 化簡方程得 由此推知2x<y且為x偶數(shù),其可能取值為2,4,48. 又 , 56 所以 或. 所以 (舍去). 故,此時.即李林的支票面額為14.32元,競換時誤看成32.14元,李林應(yīng)退款額為32.14-14.32=17.82元.12、一隊旅客乘坐汽車,要求每輛汽車的乘客人數(shù)相等,起初每輛汽車乘22人,結(jié)果剩下一人未上車;如果有一輛汽車空車開走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上.已知每輛汽車最多只能容納32人,求起初有

7、多少輛汽車?有多少旅客?分析與解答設(shè)起初有x輛汽車,開走一輛汽車后每車乘n人,依題意,得 , 所以 又n, x為整數(shù),所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24. 若x=2,則與n32產(chǎn)生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24輛汽車,有旅客22 x+1=529(名).13、小王用50元錢買40個水果招待五位朋友.水果有蘋果、梨子和杏子三種,每個的價格分別為200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到蘋果,并且各人得到的蘋果數(shù)目互不相同,試問他能否實現(xiàn)自己的愿望?分析與解答設(shè)蘋果、梨子、杏子分別買了個,則 消去z得 所以 由0<y<40得 即 又 5

8、|5 y,5|380,(5,17)=1,由得5| x.所以x=15或x=20. 當(dāng)x=15時, y=25, z=0,不合題意. 因此x=20, y=8, z=12. 因此,小王的愿望不能實現(xiàn),因為按他的要求,蘋果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20個.14一次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了22支鉛筆作為獎品發(fā)給一、二、三等獎的學(xué)生,原計劃發(fā)給一等獎每人6支,二等獎每人3支,三等獎每人2支,后來改為一等獎每人9支,二等獎每人4支,三等獎每人1支,問:獲一、二、三等獎的學(xué)生各幾人?分析與解答設(shè)獲一、二、三等獎的人數(shù)分別為,根據(jù)題意有: 2×得 -得 解求得整數(shù)解為x=1, y=2. 代入可求

9、得z=5.練習(xí)題1、采購員用一張1萬元支票去購物.購單價590元的A種物若干,又買單價670元的B種物若干,其中B種個數(shù)多于A種個數(shù),找回了幾張100元和幾張10元的(10元的不超過9張).如把購A種物品和B種物品的個數(shù)互換,找回的100元和10元的鈔票張數(shù)也恰好相反.問購A物幾個,B物幾個?分析與解答設(shè)買A種物品a個, B種物品b個,找回100元的m張,10元的n張,則有: 其中b>a,n<10. -得 所以 ,故, 由b>a,n<10知 m<n<10,因此, m-n=8,從而b-a=9. 由此推知n=9, m=1, b=a+9. 代入式,解得a=3. B=12. 答:購A物3個,B物12個.2、某地收取電費的標(biāo)準(zhǔn)是:每月用電不超過50度,每度收5角;如果超過50度,超出部分按每度8角收費.某月甲用戶比乙用戶多交