橢圓的常見(jiàn)題型及解法(二)

1、橢圓的常見(jiàn)題型及解法（二）橢圓的常見(jiàn)題型及解法(二)一對(duì)稱問(wèn)題平面解析幾何常遇到含參數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題， 常困擾學(xué)生思維.其實(shí)平面解析幾何所有的對(duì)稱 只有以下四類，分別為 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”；“點(diǎn)關(guān)于 直線對(duì)稱”；“曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”；“曲線關(guān)于直線 對(duì)稱”.點(diǎn)A關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)B為A、C的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有:設(shè)點(diǎn)A(xi,yi)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為C(x,y),由AC直線與x1 xa。八2 x 2axi .,yi y y 2b yi ' b 2:ax+by+c=0 的垂直，且AB的中y yix xix xi a2占八、abby-上,22b a xi 2aby12 i72a b2ac2(當(dāng)直

2、線2, 2a b yi 2abxi 2bc2i?2a b中a=0或b=0時(shí))上面結(jié)論也正確)曲線F(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)B(a,b)對(duì)稱的曲線， 在曲線F(x,y)=0上任取一點(diǎn)A(xi,yi),它關(guān)于點(diǎn) B(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為C(x,y).其實(shí)點(diǎn)A為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) C為從動(dòng)點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：Xi a x2xiy yi22ax，代入到主動(dòng)點(diǎn)的方程中，得對(duì)稱2b y 7'曲線方程：F(2a x,2b y) 0.y yia1Ix xibx xiyyia b c 022臺(tái)動(dòng)點(diǎn)的方程Xiyib2 a2 x 2aby 2ac2 -2- -22ab ，代入到a b y 2abx 2bc2 iT2 a

3、 b一一，22八，八2程：F(b a12aby 2ac,三 a b中，得對(duì)稱曲線方2 一,b y 2abx 2bc2 Z-2) 0 .a b曲線F(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)ax+by+c=0對(duì)稱的 曲線，在曲線F(x,y)=0上任取一點(diǎn) A(xi,yi),它 關(guān)于直線ax+by+c=0的對(duì)稱點(diǎn)為C(x,y),則有：關(guān)于直線y 4x m對(duì)稱,圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱，求 某參變量的取值范圍.這一類問(wèn)題求解時(shí)，必須同 時(shí)確保：垂直；平分存在，下面就實(shí)例說(shuō)明 三個(gè)確保的實(shí)施.22例i.已知橢圓C：24 i,試確定m的取值范圍,使得對(duì)于直線：y 4x m在橢圓C上存在不 同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱.解:

4、橢圓上存在兩點(diǎn) A,B設(shè)直線AB為:y 1x n（確保垂直）.設(shè)直線AB與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)Ax/ ,Bx2,y21y 4x22x y169n_ 2_ 25x 4nx 8n 724n即：n4 5 8n2 720XiX210 n ,10,. 104n 4n55（確保存在）1AB兩點(diǎn)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為XiX22”縱坐標(biāo)為54 5則點(diǎn)9 n 102n,n 在直線 y 4x m , n 5 10102n m5保平分）m 410把上式代入（1）中相：嚕m7 1010變式訓(xùn)練（2010年安徽理19）: 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （2, 3）,對(duì)稱軸為坐標(biāo)已知橢圓E軸,率eh" F1，F(xiàn)2在x軸上，離心1.2（I

5、）求橢圓E的方程；（II）求F1AF2的角平分線所在1直線l的方程；(III )在橢圓E上是否存在關(guān)于直線i對(duì)稱的 相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存 在，說(shuō)明理由.本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單 幾何性質(zhì)，直線的點(diǎn)斜式方程與一般方程， 點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱等 基礎(chǔ)知識(shí)；考查解析幾何的基本思想、綜合 運(yùn)算能力、探究意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).J 2 22一 一 22解：(I)設(shè)橢圓E的方程為今匕i a b由 e 1,即 c -, a 2c,得b2 a2 c2 3e2,2 a 222橢圓方程具有形式 與 匕 1.4c2 3e2將A (2, 3)代入上式，得烏1,解得c 2, c c橢

6、圓E的方程為x2y1.1612(II)解法 1 ：由(I)知 F1 ( 2,0), Fz(2,0),所以 直線AF1的方程為：y (lx 2),即3x 4y 6 0, 直線AF 2的方程為：x 2.由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率 為正數(shù).設(shè) P(x,y)為l 上任一點(diǎn))則 |3x 4y 6| |x 2|.5若3x 4y 6 5x 10,得x 2y 8 0 (因其斜率為負(fù),舍去).所以直線l的方程為:2x y 1 0.19解法2:uuir QA(2,3),E( 2,0), F2(2,0),AF (uuir AF1 uuu |AF11k12,4,uuurAF21.-uuur( 4, 3)

7、-(0, 3)|AF2| 53l : y 3 2(x 1),即2x y 1uuuu3),AF2(0, 3).4-(1,2).50.(III )解法1：假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)B(x,y1)和C(x2,y2),QBC l, kBC1x, x12設(shè)BC的中點(diǎn)為M(xo,yo),則Xxx2小y22由于M在l上，故2xo y 10.又B, C在橢圓上,所以有2X1162 y1222一 *2y1與上 1.1612兩式相減，得22x2 x116即(X x?)( x2 x) (y1 y2)(y2 y1)01612將該式寫為1 j / 182 x2 x1 6y20)并將直線BC的斜率kBc和線段BC的中點(diǎn),

8、表示代入該表達(dá)式中,得 1x0 2 y0 0,即3% 2y0 0.X2得X2 2,y0 3,即BC的中點(diǎn)為點(diǎn)A, 而這是不可能的.不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)B和C.解法2:假設(shè)存在 B(x yJC(X2,y2)兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱)則 l BC, kBc ：16 12設(shè)直線BC的方程為y -x m,將其代入橢圓方程 ( 1,得一兀一次方程 3x2 4( 1x m)2 48,即x2 mx m2 12 0,則xi與X2是該方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得xi x2 m,下旦13mJZH yi y2a(x1 x2) 2m -,.B, C的中點(diǎn)坐標(biāo)為 修3m).又線段BC的中點(diǎn)在直線y 2x 1上，3m m 1,

9、得m 44即B, C的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 3),與點(diǎn)A重合, 矛盾.不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn)中點(diǎn)弦問(wèn)題'» A > 、422A>例1、過(guò)橢圓1x6 ( 1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦)使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為AKyi)、B(x2»)M (2,1)為 AB 的中點(diǎn)xi X2 4yi y2 2又A、B兩點(diǎn)在橢圓上)則2 4y： 16)x22 4y22 16兩式相減得(X12 X22) 4(y12 y22) 0于是(X1 X2)(X1 X2) 4(y1 y2)(y1 y) 0y y2% X241X1 X24( y1 y2)

10、4 22即kAB1,故所求直線的方程為y 1 ：(x 2),即X 2y 4 0o4>- -22>、4例2、已知橢圓乜會(huì)1的一條弦的斜率為3,它 75 25與直線X 3的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)M ,求點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點(diǎn) P(X1,yJ、Q(X2,yz),弦 PQ 的中點(diǎn) M(X0, y(>),則“ 1X1 X2 2X0 1 ,y1 y2 2y02222y1X11y2X217525,7525兩式相減得1 25(y1 y2)( y1y2) 75(x1 X2)(x1X2) 0即 2y0(y1y2) 3(xiVy2XiX2y1y2k-3x1x22y03）即 y。點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,

11、J。變式訓(xùn)練1、已知橢圓22 -1x- i,求它的斜率為3的 75 25弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)PGyi）、 則Q(X2,y2), 弦 PQ 的中點(diǎn) M(x,y)XiX22 yi752x,2Xi25yi y2 2y22y2X2i宗云1兩式相減得 25(yi y2)(yi y2)75(X1X2)(Xi X2)0即 y(yiy2) 3x(Xi X2) 0,即yi y2XiX23xyk*” 3 肛 3 即x yXiX2y由J 得p（鳥(niǎo)號(hào)）Q號(hào)75255.32 )點(diǎn)M在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為5 35 3x y 0（ - X -） 22變式訓(xùn)練2、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F。病）的

12、橢圓被直線l：y 3x 2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求橢圓的方程。22一,解：設(shè)橢圓的方程為、土 1,則 a2 b2 50 Qa b設(shè)弦端點(diǎn) P,y，、Q(x2,y2), 弦 PQ 的中點(diǎn) M(x0,y。), 貝U1X02yo 3x0X1X22 Xo1,y1y22y012又與a2y2X22,2a b兩式相減得,2/b (yiy2)(yi丫2) a2(xiX2)(Xi X2) 0即b2(y y2) a2(X1 X2) 02y1 y2 a77Xi X2 b聯(lián)立解得a2 75b2 25所求橢圓的方程是22L 土 175 2522E：% % 1(a b 0)的若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1),則( )

13、E的方程為45 3622B. - y 136 2722C.j127 182D.-18)丫29變式訓(xùn)練3. (13年新課標(biāo)1 (理) 已知橢圓右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)解析：設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1,y1),(x2,y2),則有b2x： a2y2 a2b2,b2x2 a2yf a2b2 兩式相減得1 2/、/、2 /b (xi X2)(xi X2) a (yi y2)(yi y2) 0.又AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),所以x xz 2,yi yz2,代入上式得.22b2(xi x2) 2a2(yi v2 0*y2 )X x? a2而直線AB的斜率為k "

14、5 1,與；x1 乂23 I2 a 2由右焦點(diǎn)F (3,0)知：c 3, a2 b2 9由得a2 18,b2 9,曲線E的方程為捻工1.189故選D三弦長(zhǎng)問(wèn)題、2 2 、-22例1. (10遼寧理)設(shè)橢圓C：、為1(a b 0)的 a b左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,蚌2露.(I)求橢圓C的離心率；(II)如果|AB|二t，求橢圓C的方程.解：設(shè) A(x1,yJ, B(x2,y2),由題意知 % V 0 , Ya >0.(I )直線l的方程為 y向x c),其中c n2.聯(lián)立y 3( x c),2L 1 b2得(3a2b2)y2 2.3b2c

15、y 3b4解得yi、3b2(c 2a)、3b2(c 2a)因?yàn)锳r-2 2，y2-2 TT3ab3abuuu2FB)所以yi 2y2.、.3b2(c 2a)_ 223a b2?、,3b2(c 2a)_ 223a b得離心率e(II )因?yàn)?|AB R由c 2得b a.所以 a 33y2yiEEl'l 2 94 3ab2 15，所以.3?彳下7.1f,得 a=3, b 反橢圓C的方程為£ £ 1.9522例2 (10天津文)已知橢圓會(huì)七i (a>b>0)的 離心率e=§,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形 的面積為4.(I )求橢圓的方程；(n)設(shè)直線

16、I與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) a、B, 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a, 0).若|AB|=W2,求直線I的傾斜角；5(ii)若點(diǎn)Q(。，y0)在線段AB的垂直平分 線上，且戕撰4 .求y。的值.解：(I )解：由e千冬得3a2 4c2.再由c2 a2嘰解得a=2b.由題意可知2 2a 2b 4）即ab=2.解方程組a 2b，得a=2, b=1.ab 2,2所以橢圓的方程為x y2 14（n）（i）解：由（i）可知點(diǎn) a的坐標(biāo)是（-2,0 ）.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（為,yi）,直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k （x+2）.y k（x 2）,于是A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組x2 2消-y i.去y并整理，得

17、22 2一 2(1 4k )x 16kx (16k4) 0.-一.2一 一. 2.由2x1羋*4，得人：.從而，1 4k1 4k4k1 4k2所以 IABI . 2 Ui 1 4k由IABI ¥，得年 51 4k24k1 4k24,2.54,1 k21 4k2整理得 32k4 9k2 23 0)即(k2 1)(32k2 23) 0)解得k= 1.所以直線l的傾斜角為i或3r.（ii ）解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,由（i ）2k y 1 4k2_ x 2 Ok 1 4k2x 。）解得y。$。1 4kuuu 由QAuun2, y。） QBX, yy。）uur uuuQA?QB2%V。Vi2

18、2 2 8k24 16k215k2 12 21 4k2整理得7k2 2。2 14y。 o5綜上,V。4 k21476k 4k6k1 4k2 1 4k2 1 4k2所以y。2亞或V02 145變式訓(xùn)練：（1。山東理）如圖，已知橢圓得到M的坐標(biāo)為與1以下分兩種情況:（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2,0）,線段AB的垂直平分線為y軸，于是lurunnuuu uuuQA 2, y。，QB 2, y。.由 QA?QB 4）恃 y。 272 o（2）當(dāng)k 0時(shí)，線段 AB的垂直平分線方程為8k2國(guó)仔1（a> b>。）的離心率為以該橢圓上的點(diǎn)和橢 a2b22圓的左、右焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（ -2 1）.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線 P