合肥工業(yè)大學(xué)電磁場與電磁波答案

1、第四章習(xí)題解答【】如題圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為, 求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為； 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為由條件，有兩邊同乘以，并從 0 到對積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為，其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位， 求板間電位的解。 設(shè)在薄片平面上， 從到， 電位線性變化, 解應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為丄 其中，為不存在薄片的即;是兩個電位為零的 題圖界條件為：；根據(jù)條件和，可設(shè)的通解為 ；由 兩邊同乘以，并從 0 到對積分，得到y(tǒng)平行無

2、限大導(dǎo)體平面間 （電壓為） 的電位，平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時的電位，其邊條件有故得到如題圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。解根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為，電位的通解應(yīng)取為從 0 到對積分，得到;故得到高分別為、 、 的長方體表面保持零電位， 體積內(nèi)填充密度為 的電荷。求體積內(nèi)的電位。內(nèi)，電位滿足泊松方程(1)長方體表面上，電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為，代入泊松方程（1），可得由此可得 或；（2）由式（2），得；故【】如題圖所示的一對無限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空

3、間分割為和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分 界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。電位的邊界條件為題圖設(shè)電位函數(shù)的通解為(1)(2)由式（1），可得（3）;將式（2）兩邊同乘以，并從到對積分，有（4）由式（3）和（4）解得故如題圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電 位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度，電位的邊界條 件為， 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為由條件，有題圖（1）（2）由式（1），可得（3）將式

4、（2）兩邊同乘以，并從到對積分，有（4）由式（3）和（4）解得故，若以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則可類似地得到*如題圖所示，在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導(dǎo)體圓柱，圓柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場以及導(dǎo)體表面 的感應(yīng)電荷密度。解 在外電場作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加。由于導(dǎo)體圓柱為無限長，所 以電位與變量無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場的電位為（常數(shù)的值由參考點確定），而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，而且在無限遠處為 0。由于導(dǎo)體是等位體，所以滿足的邊界條件為 由此可設(shè) 由條件，有 于是得到，故圓柱外的電位為 若選擇導(dǎo)體圓柱表

5、面為電位參考點，即，則。導(dǎo)體圓柱外的電場則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為如題圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為，在距離軸線處，有一與圓柱平行的線電荷，計算空間各部分的電位。解 在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為(1)題圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為為有限值；時，由條件和可知，和的通解為（2）將式（1）（3）帶入條件，可得到(3)(4)(5)當(dāng)時，將展開為級數(shù)，有(6)帶入式（5），得（7）由式（4）和（7），有討論：利用式（6）,可將式（8）和（9）

6、中得第二項分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于（0）的線電荷的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為:位于（0）的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。*在均勻外電場中放入半徑為的導(dǎo)體球，設(shè)（1）導(dǎo)體充電至；（2 ）導(dǎo)體上充有電荷。試分別計算兩種情況下球外的電位分布。解（1 ）這里導(dǎo)體充電至應(yīng)理解為未加外電場時導(dǎo)體球相對于無限遠處的電位為，此時導(dǎo)體球面上的電荷密度，總電荷。將導(dǎo)體球放入均勻外電場中后，在的作用下，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球面上的電荷密度發(fā)生變化，但總電荷仍保持不變，導(dǎo)體球仍為等位體。設(shè)，其中，是均勻外電場的電位，是導(dǎo)體球上的電

7、荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為時，；時，其中為常數(shù)，若適當(dāng)選擇的參考點，可使。由條件，可設(shè)代入條件，可得到，若使，可得到（2）導(dǎo)體上充電荷時，令，有 利用（1）的結(jié)果，得到如題圖所示，無限大的介質(zhì)中外加均勻電場，在介質(zhì)中有一個半徑為的球形空腔。求空腔內(nèi)、夕卜的電場和空腔表面的極化電荷密度（介質(zhì)的介電常數(shù)為）。解 在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為時，；時，為有限值;時，由條件和，可設(shè) ，帶入條件，有由此解得，所以空腔內(nèi)、外的電場為空腔表面的極化電荷面密度為題圖一個半徑為的介質(zhì)球帶有均

8、勻極化強度。（1）證明：球內(nèi)的電場是均勻的，等于；（2）證明：球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同，。解（1）當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分布，本題中所求的電場即為極化電 是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的 程，可用分離變量法求解。建立如題圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為為有限值；因此，可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為， 由條件，有 ， 解得，于是得到球內(nèi)的電位，故球內(nèi)的電場為（2）介質(zhì)球外的電位為，其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可見介質(zhì)球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同。一個半徑為的細導(dǎo)線圓環(huán)，環(huán)與平面重合，中心在原點上，環(huán)上總電荷量為，如題圖所示。證明：空間任意點電位為由此解得故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為(8)(9)荷所產(chǎn)生的場。由于【】如題圖所示，一個點電荷放在的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點處。求：（1 ）所有鏡像電荷的位置和大??；（2）點處的電位。解（1）這是一個多重鏡像的問題，共有5 個像電荷，分布在以點電荷到角域頂點的距離為半徑的圓周上，并且關(guān)于導(dǎo)體平面對稱,其電荷量的大小等于，且正負電荷交錯分布，其大小和位置分別為題圖（2 ） 點處電位解 以細導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面把場區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個場域的通解，并利用函數(shù)將細導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷表