勾股定理的證明及其應用

1、勾股定理的證明及其應用第一章 前言勾股定理是幾何學中的明珠， 所以它充滿魅力， 千百年來， 人們對它的證明 趨之若騖，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，有普通的老百姓，也有 尊貴的政要權(quán)貴， 甚至有國家總統(tǒng)。 也許是因為勾股定理既重要又簡單， 更容易 吸引人，才使它成百次地反復被人研究，反復被人論證。1940年出版過一本名 為畢達哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明 方法。實際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余 種，僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。 這是任何定理的證 明無法比擬的。在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的

2、十分簡潔，有的因 為證明者身份的特殊而非常著名。在國外，尤其在西方， 勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理 這是由于他們 認為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有 “勾2+股2=弦2”這一性質(zhì)并且最先給出嚴格證明的 是古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580公元前500）實際上，在更早期的人類活動中， 人們就已經(jīng)認識到這一定理的某些特例 除 我國在公元前1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外， 據(jù)說古埃及人也曾利用 “勾三股四弦 五”的法則來確定直角但是，這一傳說引起過許多數(shù)學史家的懷疑比如，美 國的數(shù)學史家M克萊因教授曾經(jīng)指出： 我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥 拉斯定理我們知道他們有拉繩人（測

3、量員），但所傳他們在繩上打結(jié)，把全長 分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文 件上得到證實”不過，考古學家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的 古巴比倫的泥版書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題： “一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角 有多遠？ ”這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子； 專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊版 板上面刻著一個奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共 記載著15組勾股數(shù)這說明，勾股定理實際上早已進入

4、了人類知識的寶庫勾股定理同時也是數(shù)學中應用最廣泛的定理之一。 例如從勾股定理出發(fā)逐漸 發(fā)展了開平方、 開立方；用勾股定理求圓周率。 據(jù)稱金字塔底座的四個直角就是 應用這一關(guān)系來確定的至今在建筑工地上，還在用它來放線，進行“歸方”， 即放“成直角”的線。正因為這樣，人們對這個定理的備加推崇便不足為奇了。1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成。這張郵票是紀念二 千五百年前希臘的一個學派和宗教團體 畢達哥拉斯學派， 它的成立以及在 文化上的貢獻。郵票上的圖案是對勾股定理的說明。希臘郵票上所示的證明方法， 最初記載在歐幾里得的幾何原本里。尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀念郵票，主

5、題是世界上“十個最重 要的數(shù)學公式”，其中之一便是勾股定理。2 ABCD是 一個直角梯形，它的面積等于2第二章勾股定理的證明1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散 步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么， 時 而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去， 想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著 一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？那個小男孩頭也不抬地說： 請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和

6、4,那么斜邊長為多少呢？ ” 伽菲爾德答道：是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃喝绻麅蓷l直角邊長分別為5和7,那 么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f：先生，你能說出其中的道 理嗎？ ”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。于是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復思考與演算，終 于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。勾股定理幾種引人入勝的證明方法總統(tǒng)證法以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三-ab角形的面積等于 2.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A

7、、E、B三點在一條直線上 RtEAD也RtCBE, / ADE = / BEC. / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90 o.DEC是 一個等腰直角三角形，12C它的面積等于 2.又 /DAE = 90o,/EBC = 90o, AD/BC.12c112a b 2 ab c2 2 2.2 .2 2a b c .點評：這一證明由于用了梯形面積公式，從而使證明相當簡潔。人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為 “總統(tǒng)”證法。2.2在拼合中發(fā)現(xiàn)與驗證例1、如圖是用硬紙板做成的四個全等的

8、直角三角形，兩直角邊長分別是a，b，斜邊長為 c 和一個邊長為 c 的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形.(1) 畫出拼成的這個圖形的示意圖.(2) 證明勾股定理.思路點撥：由圖片可知直角三角形的斜邊 與正方形的邊長相等，得出它們將互相重合， 通過操作發(fā)現(xiàn)，四個直角三角形可能在正方形 的外部，也可能拼在正方形的內(nèi)部，從而得到 兩種拼法，并借助面積法進而可驗證出勾股定 理。解析：方法一解：(1)如圖(2)證明：大正方形的面積表示為(a b)2,212 21大正方形的面積也可表示為 c24 ab,(a b)2c24 ab，2 2a2b22ab c22ab，a2b2c2.即直角三角形兩直

9、角邊的平方和等于斜邊的平方.方法二解：(1)如圖(2)證明：大正方形的面積表示為：c2，又可以表示為:12 212 2 2ab 4 (b a),c ab 4 (b a) ， c 2ab b 2ab 2 2c2a2b2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.點評： 品味各種拼圖， 方法各異， 妙趣橫生， 證明思路別具匠心, 極富創(chuàng)新。它們充分運用了幾何圖形的截、害IJ、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等 關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，深刻體現(xiàn)了形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特魅力。c2S2S3S4S5b2S1S2S6a S3S7S1S5S4S6S7b2S3S7SS2S6中國清代數(shù)學家

10、的證法2.3陳杰證法中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的 貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。 事實上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學發(fā)展的一個極其重要的條件。 正如當 代中國數(shù)學家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數(shù)學中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是 形影不離地比肩發(fā)展著的。十七世紀笛卡爾解析幾何的發(fā)明，正是中國這種 傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與接續(xù)?！标惤芮迥?shù)學家、天文學家。我們看看我國的數(shù)學家是怎么證明的。設(shè)直角二角形兩直角邊的長分別為a、b（ba），斜邊的長為c.做兩個邊長 分別為a、b的正方形（ba），把它們拼成如圖所示形

11、狀，使E、H、M三點在一 條直線上.用數(shù)字表示面積的編號（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA DC貝U AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EM ED =b aa = b.又 /CMD = 9G0,CM = a，/AED = 90o，AE = b， RtAED也RtDMC. /EAD =/MDC DC = AD = c. /ADE +/ADC+/MDC =180，6/ADE +/MDC =/ADE +/EAD = 90o,EbDa/ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA貝U ABCD!一個邊長為c的正方形. /BAF

12、 +/FAD =/DAE +/FAD = 90o， /BAF=/ DAE.連結(jié)ABF和A ADE中, AB =AD = c，AE = AF = b，/BAF/DAE A ABF也A ADE. / AFB =/AED = 90o，BF = DE = a.點B F、G H在一條直線上.在RtAABF和RtABCG中AB = BC = c，BF = CG = a，RtAABF也RtABCG.BdThxs,jrc5 /4F/c7=S2S3S1S6S7=S2S3S4S52=c2 . 2 2a b c.2.4我們當代教材運用的證法2.4.1利用相似三角形性質(zhì)證明做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長

13、分別為a、b，斜邊長為c， 再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即2 2121a b 4 ab c 4 ab22222，整理得 a b c.如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC為c,過點C作CD!AB垂足是D.在AADCW ACB中, / ADC = / ACB = 90o,/CAD =/BACAADCs AACB.AD：AC = AC:AB2即 AC AD ? AB.同理可證，ACDBs AACB從而有2 2-AC BC AD DB ? ABBC的長度分別為a、b,斜邊AB的長BC2AB2，即a2

14、b2BD ? AB2c242我們還可以用所學過的相關(guān)圓的一些定理來證明在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a,AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓 心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D E,則BD = BE = BC = a.因 為/BCA = 90o，點C在。B上，所以AC是。B的切線.由切割線定理，得AC2AE ? AD-AB BE AB BD聯(lián)系到三角形中從而證明出a2b2c2.從中我們可以知道，不管我們學習的知 識有多少都是跟前面的知識是有密切的關(guān)聯(lián)。延伸：運用上證明我們可以在高中的幾何問題中解決一些相關(guān)問題。第三章勾股定理的應用3.1在作圖中構(gòu)建與探究例1、如圖，在網(wǎng)

15、格中有一個四邊形圖案.(1)請你畫出此圖案繞點0順時針方向旋轉(zhuǎn)90,180,270的 圖案，你會得到一個美麗的圖案，千萬不要將陰影位置涂錯；(2)若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為I， 旋轉(zhuǎn)后點A的對應點 依次為A、A、A，求四邊形AAAA的面積；(3)這個美麗圖案能夠說明一個著名結(jié)論的正確性，請寫出這 個結(jié)論.思路點撥：先動手作圖，體驗和感知旋轉(zhuǎn)的基本要素，再從具 體情境中借助面積法進一步探求，發(fā)現(xiàn)，從而獲取與驗證勾股定理。解析：(1)如圖，正確畫出圖案，甘21如圖，S四邊形AAA2A3=S四邊形ABB2B3-4SBAA3=(3+5) -4X2X3X5 =34 .故四邊形似AAAA的面積為34.(

16、3)結(jié)論：勾股定理AB+BC=AC。點評：借助相關(guān)圖形的旋轉(zhuǎn)作圖，進而顯現(xiàn)與構(gòu)建一定的背景圖案， 利用相 關(guān)面積的計算與推導，在觀察中發(fā)現(xiàn)，在體驗中感悟和學習和探究、 進而發(fā)現(xiàn)勾 股定理，從中經(jīng)歷了數(shù)學知識的發(fā)生，發(fā)展，形成過程，也進一步加深對相關(guān)定 理的意義理解與掌握，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和面積法等。3.2 木棒能放進木箱嗎?例2.有一根長為70cm的木棒，要放在長、寬、高分別是50cm、30cm、40cm的木箱中，能放進去嗎?分析：由于木棒長為70cm，遠大于各面的邊長，而且比每個面的對角線還要長，故按各面的大小都放不進去，但要注意木箱的形狀是立體 圖形，可以利用空間的最大長度.解：能

17、放進去.如圖7,連接A1C1，AC1，在RtAA1B1C1中，A1C12=A1B12+B1C12=502+302=3 400.在RtAAA1C1中，AC12=AA12+A1C12=402+3 400=5 000.因為5000702,所以AC170(cm).所以70cm長的木棒能放入這只木箱中.點評： 解決此題的關(guān)鍵在于明確AC1即為木箱所能容納的最大長度，這里 充分利用了木箱各相鄰邊的垂直關(guān)系，創(chuàng)造了連續(xù)運用勾股定理的條件.3.3在距離最短的計算中構(gòu)建與應用思路點撥：在平面圖形中要解決鋪設(shè)水管最短的問題，自然離不開構(gòu)建與 轉(zhuǎn)化“兩點之間，線段最短”的數(shù)學公理，進而想到將A、B兩點中的任一點作出

18、關(guān)于直線I的對稱點，從而運用兩點之間，線段最短解決實際問題。解析：（1）作點A關(guān)于河邊所在直線I的對稱點A,連接A B交I于P， 則點P為水泵站的位置，此時，PAFPB的長度之和最短，即所鋪設(shè)水管最短；（2）過B點作I的垂線，過A作I的平行線，設(shè)這兩線交于點C,則 /090又過A作AE丄BC于E,依題意BE=5,AB=13，AAE二AEBE?=13252=144.二AE=12.由平移關(guān)系，A C=AE=12,RtB A C中，vB C=7+2=9, A C=12，AA B2二AC+BC=92+122=225,A B=15.vPA=PA,.PA+PBA B=15. 1500X15=22500 （

19、元）我們可以通過所學的知識趙福人類，做到學以致用。例4如圖3, 一圓柱的底面周長為24cm,高AB為4cm,BC是直徑，一只 螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程大約是（）例3、如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km且張、李二村莊相距13km（1）水泵應建在什么地方，可使所用的水管最短？請在圖中設(shè)計出水泵站的 位置；A.6cmC.13cmD.16cmB.12cmA圖 4度至少需要多少米？若樓梯寬毯需要花多少元？2米，每平方米地毯需30元，那么這塊地分析：把圓柱沿直徑BC剪開成兩半，展開成平面后可得如圖4,則螞蟻從

20、 點A爬行到點C的最短路程是矩形的對角線AC的長，由已知，AB=4，BC=12,故AC=j4212212.6故選C.點評：解立體圖形問題的基本思想是把立體圖形平面化， 因此，圓柱問題通 常要把它沿一條母線剪開，然后鋪展為矩形，這里要注意到螞蟻從點A出發(fā)到點C,當圓柱沿母線AB展開成矩形時，點C對應的是矩形一邊的中點。例5.如圖1，學校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人從A走到B，為了避開拐角C走捷徑”在花圃內(nèi)走出了一條 路”他們僅僅少走了 _ 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.分析：由圖可見，走出來的 路”是直角邊分別為3m和4m的直角三角形的斜邊，由勾股定理，得該 路”的長為5m,因此，行人僅

21、僅 少走了2米（即10步）路.點評：愛護花草人人有責，僅僅因為少走10步而不惜 踩傷花草，破壞環(huán)境的確是大不應該的。由此可見，只有懂 得 三角形兩邊之和大于第三邊”的人才知道走 捷徑”的比 經(jīng)過拐角處的路程近些，但掌握的數(shù)學知識如果不能用正當 的行為上，那將是數(shù)學的悲哀。例6放學后，小明和小華從校門口分手，分別沿著互相垂直的東北方向和 東南方向回家.若兩人行走的速度都是每分鐘40米，小明回家用了15分鐘，小 華回家用了20分鐘，問小明和小華兩家相距多遠？分析：如圖所示，為方便起見，用點O表示校門口，點A和點B分別表示小 明家和小華家，那么要求小明和小華兩家相距多遠，實際上就是求A、B兩點間 的

22、距離.解：在AOB中因為/AO圧90,所以 AO2BO2= AB2.因為Ad40X15=600,BO= 40X20=800,所以 60028002AB2.所以 AB2= 1000000 ,A吐1000.答：小明和小華兩家相距1000米.3.4生活常識的應用鋪地毯需要花多少元例7.如圖5,在高為3米，斜坡長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長A分析：從表面看，每個臺階水平和豎直的長度都求不出來， 但仔細觀察發(fā)現(xiàn)， 樓梯水平方向的長度和為AC，豎直方向的長度和為BC，要求地毯的長度，只 需利用勾股定理先求出AC,再求AC+BC即可.解：在RtAABC中，AC2+BC2=AB2，所以AC2=AB2-B

23、C2=52-32=25-9=16.所以AC=4（米）.所以地毯長度為AC+BC=4+3=7（米）.所以地毯總面積為7&=14（平方米）.所以需花30X14=420（元）.點評：本題是一道生活中的實際問題，解決此問題的關(guān)鍵是從實際問題中構(gòu) 建數(shù)學模型- 直角三角形，借助勾股定理求出AC的長.例8如圖2,A、B、C、D是四個小鎮(zhèn)，它們之間（除B、C外）都有筆直 的公路相連接，公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價與路程成正比.已知各城鎮(zhèn)間 的公共汽車票價如下：A B:10元；A C:12.5元；A D:8元；B D:6元；C D：4.5元.為了B、C之間的交通方便，要在B、C之間建成筆直公路，請按

24、上述標準計算出B、C之間的公路的票價為多少 元.分析：因為票價與路程成正比，故可將票價視為路程 來處理，即AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5, 利用勾股定理求解.解：因為票價與路程成正比，故可把票價視為路程來處理.已知：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5.因 為AD2+BD2=82+62=64+36=100=102=AB2，所 以 ABD為直角三角形，且/ADB=90連接BC，在RtABDC中,CD=4.5，BD=6，所以BC . 4.5262B、C之間公共汽車票價為7.5元.點評：本題是利用勾股定理來解決生活中的實際問題.本題的技巧是將票價

25、視為路程來處理，這一點與代數(shù)中的換元法極為相似.例9如圖，一架5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上,這時，梯足B到墻底端C的距離為3米.如果梯子的頂端沿墻下滑1米，那么梯足B將外移多 少米？分析：要求梯足B將外移多少米，只要求BE的長.由于BE= EC- BC,而BC=3米，那么只要求EC的長.又，EC是直角DCE的條直角邊，DE= AB= 5米， 根據(jù)勾股定理，應先求出DC的長.依題意，要求出DC的長，關(guān)鍵在于求出AC的長.解：在ABC中,因為/ACB= 90,所以 AC2BC2= AB2.因為BC= 3,AB= 5, 所以 AC29= 25.所以 AC2= 16 , AO4.在厶CDE

26、中,7.5.故I)圖 2因為/DC巳90,所以 DC2EC2= DE2.因為DC= AC AD= 3,DPAB= 5,所以 9 EC2= 25 , EO4.所以BE= ECBC= 1.答：梯足B將外移1米.點評：從勾股定理的發(fā)現(xiàn)至今已有幾千年的歷史了，而它對各國數(shù)學家的魅力依然不減，它也至始至終成為了自然科學，日常生活的工具。它引領(lǐng)著幾何領(lǐng) 域的高速發(fā)展。因此，不僅勾股定理本身對數(shù)學及自然科學的影響巨大，它所體現(xiàn)出來的數(shù)學思想方法對社會各方面的發(fā)展也有著相當大的影響。例10、 如圖6,在無蓋的圓柱形桶外，有一只小蟲要從桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點如果小蟲爬行的是最短途徑，它應怎么走？思路點撥：由圓

27、柱形的桶外爬到桶內(nèi)，應將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究 與解決，再利用這兩點中的任一點關(guān)于直線EF對稱解決路程最短的問題。解析：將桶的側(cè)面展開成如圖7的長方形由于點B在背面，作圖不便，所 以可作點B關(guān)于EF的對稱點B，連接AB，交EF于點C.即小蟲在桶外從點A爬行到點C后，再向桶內(nèi)的點B爬去，就是最短途徑.點評：從身邊熟悉的生活實際取材，倍感親切，極大的激發(fā)了學習興趣和求 知欲，在例1中通過解決鋪設(shè)水管的費用問題，不由自主利用A點的軸對稱性構(gòu) 建A B兩點之間，線段最短的數(shù)學思想，再構(gòu)造與利用直角三角形的勾股定理解 決水管的長度計算問題。在例4中要注意將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形來分析與解 決。在這

28、些情境中讓我們進一步感知到數(shù)學來源生活，又應用于生活，從而激發(fā) 在今后的學習，生活中要多關(guān)注數(shù)學，從數(shù)學的角度去觀察生活，發(fā)現(xiàn)數(shù)學，將 一些不相關(guān)聯(lián)的問題或現(xiàn)象利用所學知識轉(zhuǎn)化為所學的問題。勾股定理是數(shù)學中的重要定理它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，把數(shù)與形統(tǒng)一起來.勾股定理不僅在數(shù)學的發(fā)展中起著重要的作用，而且在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應用.第四章 總結(jié)我認為研究勾股定理是非常有意義的， 不僅開闊了我們的思維， 而且也培養(yǎng) 了我們探索創(chuàng)新的精神。而且從前一章的應用可以看出它是與我們的實際問題緊 密聯(lián)系在一起的。很多生活問題都應用到勾股定理， 以此我們歷年的中考勾股定 理都是最重要的考點。 那

29、么我們到了高中大學還用到勾股定理嗎？我覺得有。 那 么出現(xiàn)在什么地方呢？在中學數(shù)學解題中， 求最值的方法頗多， 牽涉到的知識點 有：三角形兩邊之和大于第三邊、兩點之圖 6間線段最短、勾股定理、均值定理、一 元二次方程判別式、根與系數(shù)關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性、拋物線最值理論、直線斜率、 直線截距、線性規(guī)劃、參數(shù)及參數(shù)方程、弦長公式等。根據(jù)圓錐曲線的定義、性 質(zhì)，結(jié)合上述知識點， 可以解決有關(guān)圓錐曲線的最值問題。 我們在一些解決極大 值問題中，我們就可以應用勾股定理的性質(zhì)來說明。 勾股定理的數(shù)形結(jié)合的典范， 很容易讓我們從一個幾何問題轉(zhuǎn)移到代數(shù)問題上來， 因此我們可以通過這點可以 解決一些關(guān)于最值問題。

30、我們可以用面積的最值來求得代數(shù)的最值。 勾股定理在 代數(shù)和幾何中起到了橋梁的作用， 這樣我們可以用直觀的幾何工具來解釋抽象的 代數(shù)。這種思想解決數(shù)學學科的綜合問題進一步解決實際性問題有著至關(guān)重要的 作用。在求解三角函數(shù)值中的應用在三角恒等變形中，經(jīng)常會遇到“已知a角的一 個三角函數(shù)值，求a角的其他三角函數(shù)值”。如果到了復習階段，仍然使用同角公 式進行計算,就會使三角解答題的計算過程變得冗長,帶來諸多不便,如果條件允 許,就可以利用直角三角形結(jié)合勾股定理快速簡潔求解。作為初中數(shù)學的內(nèi)容， 勾股定理具有很強的工具性， 它既為諸多內(nèi)容提供工具支撐， 又為很多數(shù)學問題 提供了新的解決視角，它的應用廣泛

31、而靈活。我國著名數(shù)學家徐利治先生認為： “數(shù)學美包括數(shù)學概念的簡單性、 統(tǒng)一性， 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學命題和數(shù)學模型的概括性、典型性和普遍性， 還有數(shù)學的奇異性?！蔽覀冋J為，勾股定理具有這些數(shù)學美。 “勾方加股方等弦 方”寥寥九字， 卻揭示一切不同形狀、 不同大小的無窮多個直角三角形三邊之間 的本質(zhì)屬性，體現(xiàn)了統(tǒng)一、概括、語言美當它用a + b=c表達時，則更加簡潔 明了并全為世界中學生所理解，體現(xiàn)了簡單、精練、科學美。它的許多精巧的構(gòu) 圖證明，體現(xiàn)了奇異、和諧、對稱美勾股定理和它的逆向應用以及我們對勾股 數(shù)的探討，都無不顯示出數(shù)學這一審美客體所蘊涵的無窮無盡的魅力。 有意讓學 生在勾股定理的學習中去發(fā)現(xiàn)和感受數(shù)學美， 表現(xiàn)和創(chuàng)新數(shù)學美，將會收到意想 不到的效果。在勾股定理的教學中，一個生動的模型，一個妙趣橫生的引入，一 個精巧的比喻，一個引人入勝的故事，一個美妙的結(jié)論，一個個巧妙的證明，都 能使學生終身難忘。它可使消沉者振奮，使厭學者好學，使落伍者猛進。通過對勾股定理的教育功能的探討， 我們看到，只要深入挖掘數(shù)學教材中的 概念、定理（法則）、公式、例習題等的教育因素，就可以培養(yǎng)學生刻苦鉆研的精 神，頑強拼搏的毅力，鍥而不舍的個性品質(zhì)還能