2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2.1排列教案新人教A版選修2-3.doc

1、2021-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理1.2.1 排列教案 新人教 A版選修2-3 教學(xué)目標(biāo)：理解排列、排列數(shù)的概念； 了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)； 能用“樹型圖寫出一個(gè)排列中所有的排列； 能用排列數(shù)公式計(jì)算. 教學(xué)重點(diǎn)：排列、排列數(shù)的概念. 教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo)第一課時(shí) 一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情,完成它可以有n類方法,在第一類方法中有 叫種不同的方法,在第二類方法中有 m2種不同的方法,在第 n類方法中有 mn種不同的方法那 么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情,完成它需要分成 n個(gè)步驟,做第一步有 叫種不同的方法,做

2、第二步有 m2種不同的方法, 做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事有N=mhMm2M父mi種不同的方法分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,答復(fù)的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類問題,其中各種方法相互獨(dú)立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步問題各個(gè)步驟中的方法相互依存 ,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個(gè)步驟,只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事應(yīng)用兩種原理解題：1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成,“類間互相獨(dú)立,“步間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制二、講解新課

3、： 1問題： 問題1.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng),其中一名同學(xué)參加上 午的活動(dòng),一名同學(xué)參加下午的活動(dòng),有多少種不同的方法？ 分析：這個(gè)問題就是從甲、乙、丙 3名同學(xué)中每次選取 2名同學(xué),根據(jù)參加上午的活動(dòng)在前,6種不同的排法：甲參加下午活動(dòng)在后的順序排列,一共有多少種不同的排法的問題,共有 乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的對(duì)象叫做元素解決這一問題可分兩個(gè)步驟：第 1步,確定參加上午活動(dòng)的同學(xué),從 3人中任選1人,有 3種方法；第2步,確定參加下午活動(dòng)的同學(xué),當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后,參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的 2人中去選,于是有 2種方法.根據(jù)分

4、步乘法計(jì)數(shù)原理,在 3名同學(xué)中選出2名,根據(jù)參加上午活動(dòng)在前,參加下午活動(dòng)在后的順序排列的不同方法共有3X2=6種,如圖1.2 1所示.上午 下午相應(yīng)的排法甲乙甲丙 乙甲 乙丙丙甲 丙乙把上面問題中被取的對(duì)象叫做元素,于是問題可表達(dá)為：從3個(gè)不同的元素a , b ,.中任 取2個(gè),然后根據(jù)一定的順序排成一列,一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有3X2=6種.問題2.從1,2,3,4 這4個(gè)數(shù)字中,每次取出 3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù),共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的數(shù),在4個(gè)字母中任取1個(gè),有4種方法；第二步

5、確定中間的數(shù),從余下的3個(gè)數(shù)中取,有3種方法；第三步確定右邊的數(shù),從余下的2個(gè)數(shù)中取,有2種方法由分步計(jì)數(shù)原理共有：4X3X2=24 種不同的方法,用樹型圖排出,并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法顯然,從4個(gè)數(shù)字中,每次取出 3個(gè),按“百 “十 “個(gè)位的順序排成一列,就得到一個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù).可以分三個(gè)步驟來解決這個(gè)問題：第1步,確定百位上的數(shù)字,在 1 , 2,3,4 這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè),有4種方法；第2步,確定十位上的數(shù)字,當(dāng)百位上的數(shù)字確定后,十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取,有3種方法；第3步,確定個(gè)位上的數(shù)字, 當(dāng)百位、十位上的數(shù)字

6、確定后, 個(gè)位的數(shù)字只能從余下的 2個(gè)數(shù)字中去取,有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,從1 , 2,3,4 這4個(gè)不同的數(shù)字中,每次取出3個(gè)數(shù)字,按“百 “十 “個(gè)位的順序排成一列,共有4X3X2=24種不同的排法,因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù),如圖1.2 2所示由此可寫出所有的三位數(shù):123, 124, 132, 134, 142, 143,213, 214, 231,234, 241,243,312, 314,321,324, 341,342,412, 413,421,423,431,432.同樣,問題2可以歸結(jié)為：從4個(gè)不同的元素 a, b, c , d中任取3個(gè),然后根據(jù)一定的順序排成

7、一列,共有多少種不同的排列方法？所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有4X3X2=24種.樹形圖如下2.排列的概念：從n個(gè)不同元素中,任取m m Mn個(gè)元素這里的被取元素各不相同根據(jù)一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列說明：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面：取出元素,按一定的順序排列；(2)兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同,元素的排列順序也相同3 .排列數(shù)的定義：

8、從n個(gè)不同元素中,任取 m(mwn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出 m元素的排列數(shù),用符號(hào) Am表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列是指：從 n個(gè)不同元素中,任取 m個(gè)元素根據(jù)一定的順序 排成一列,不是數(shù)；“排列數(shù)是指從n個(gè)不同元素中,任取m ( m En)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),是一個(gè)數(shù)所以符號(hào)Anm只表示排列數(shù),而不表示具體的排列4 .排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由A2的意義：假定有排好順序的 2個(gè)空位,從n個(gè)元素ai,a2,an中任取2個(gè)元素去填空,一個(gè)空位填一個(gè)元素,每一種填法就得到一個(gè)排列,反過來,任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到,因此,所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)a

9、2 ,由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有 n(n 1)種填法,A2=n(n-1)由此,求A3可以按依次填3個(gè)空位來考慮, A3 = n(n-1)(n-2),求A:以按依次填 m個(gè)空位來考慮 Am=n(n1)(n2)(nm+1),第1世第？位s atart-rtt* 口排列數(shù)公式：Am = n(n -1)(n -2) (n -m 1)(m, n w N *, m < n)說明：(1)公式特征：第一個(gè)因數(shù)是n ,后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1,最后一個(gè)因數(shù)是 n - m +1 ,共有m個(gè)因數(shù);(2)全排列：當(dāng)n=m時(shí)即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列 全排列數(shù)：An = n(n1)(n-2)2 1

10、 = n!(叫做n的階乘)另外,我們規(guī)定0! =1 .例 1.用計(jì)算器計(jì)算：(1 ) A4); (2 ) A1; (3 ) Ar + A；3.解：用計(jì)算器可得：10®HlPr| 晅 4 = 5 040；18 |SHIFT| 國(guó) 5=1 028 160；18 fSHIF？ nPr IS Q 13 |SHIFT| 同13=1 028 160.2 ) ( 3)我們看到,A；8 = A1； = A13 .那么,這個(gè)結(jié)果有沒有一般性呢？即n!a；比(n-m)!排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式:A=n(n -1)(n -2) (n -m 1)n(n-1)(n -2)(n -m 1)(n -m)3 2 1(

11、n 一m)(n - m -1) 3 2 1(n-m)!An :即Amn!(n -m)!說明:條件,要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍;(1)解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)篦中,m,nN且mMn這些限制(2)a?=n!,常用來證實(shí)或化簡(jiǎn)(n -m)!公式A； =n(n-1)(n-2)- (n m+1席用來求值,特別是 m,n均為時(shí),公式第二課時(shí)例1.(課本例2).某年全國(guó)足球甲級(jí) (A組)聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加,每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、 客場(chǎng)分別比賽一次,共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行 1次主場(chǎng)比賽與1次客場(chǎng)比賽,對(duì)應(yīng)于從14個(gè)元素中任取 2個(gè)元素的一個(gè)排列.因此,比賽的總

12、場(chǎng)次是A：=14X 13=182.例2.(課本例3) . (1 )從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少 種不同的送法？(2)從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法？解：(1 )從5本不同的書中選出 3本分別送給3名同學(xué),對(duì)應(yīng)于從 5個(gè)不同元素中任取 3個(gè)元素的一個(gè)排列,因此不同送法的種數(shù)是屋=5X4X3=60.2由于有5種不同的書,送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購(gòu)方法,因此送給3名 同學(xué)每人各1本書的不同方法種數(shù)是 5X5X5=125.例8中兩個(gè)問題的區(qū)別在于：1 是從5本不同的書中選出 3本分送3名同學(xué),各人得到的書不同,屬于求排列數(shù)問

13、題；而2 中,由于不同的人得到的書可能相同,因此不符合使用排列數(shù)公式的條件,只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.例3.課本例4 .用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的.到9這10個(gè)數(shù)字中,由于.不能排在百位上, 而其他數(shù)可以排在任意位置上,因此.是一個(gè)特殊的元素.一般的,我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題解法1 :由于在沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,百位上的數(shù)字不能是Q因此可以分兩步完成排列.第 1步,排百位上的數(shù)字,可以從1到9這九個(gè)數(shù)字中任選 1個(gè),有A9種選法；第2步,排十位和個(gè)位上的數(shù)字,可以從余下的9個(gè)數(shù)字中任選2個(gè),有A2種選法圖1.2 5 .根

14、據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,所求的三位數(shù)A； A2=9 x 9 x 8=648 個(gè)解法2 :如圖1.2 6所示,符合條件的三位數(shù)可分成3類.每一位數(shù)字都不是位數(shù)有 A母?jìng)€(gè),個(gè)位數(shù)字是 O的三位數(shù)有揭個(gè),十位數(shù)字是0的三位數(shù)有揭個(gè).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,符合條件的三位數(shù)有A； +A2 +A2=648 個(gè).抬個(gè)A匕個(gè)例 r. ,一, ww. II" 解法3 :從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A；0,其中O在百位上的排列數(shù)2是a2,它們的差就是用這 10個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù),即所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A30- A2 =10X 9X8-9X 8=648.對(duì)于例9這類計(jì)數(shù)問

15、題,可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解,而且思考的角度不同,就可以有不同 的解題方法.解法 1根據(jù)百位數(shù)字不能是.的要求,分步完成選3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事,依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法 2以O(shè)是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo) 準(zhǔn),分類完成這件事情,依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法 3是一種逆向思考方法：先求出 從10個(gè)不同數(shù)字中選3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù),然后從中減去百位是.的排列數(shù)即不是三 位數(shù)的個(gè)數(shù),就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).從上述問題的解答過程可以看到,引 進(jìn)排列的概念,以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式,可以更加簡(jiǎn)便、快捷地求解“從n個(gè)不同元素中取出m mW n個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)這類特殊的

16、計(jì)數(shù)問題.1.1節(jié)中的例9是否也是這類計(jì)數(shù)問題？你能用排列的知識(shí)解決它嗎？小結(jié)：排列的特征：一個(gè)是“取出元素；二是“根據(jù)一定順序排列,“一定順序就是與位置有關(guān),這也是判斷一個(gè)問題是不是排列問題的重要標(biāo)志.根據(jù)排列的定義,兩個(gè)排列相同,且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同,而且元素的排列順序也相同.了解排列數(shù)的意義,掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會(huì)“化歸的數(shù)學(xué)思想,并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于較復(fù)雜的問題,一般都有兩個(gè)方向的列式途徑,一個(gè)是“正面湊,一個(gè)是“反過來剔.前者指,根據(jù)要求,一點(diǎn)點(diǎn)選出符合要求的方案；后者指,先按全局性的要求,選出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列數(shù)的意義,掌

17、握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會(huì)“化歸的數(shù)學(xué)思想,并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算.四、課堂練習(xí)：n!/、1 .右 x = ,那么 x=()3!daL(D)7(A) a3(B)A(C)An2 .假設(shè)A =2A；,那么m的值為 ()(A) 5(B)3(C)63.計(jì)算:2A5 3A69!-A6.4.An =56,那么n=；5. 一個(gè)火車站有8股岔道,停放4列不同的火車,有多少種不同的停放方法假定每股岔道只能停放1列火車？6. 一部紀(jì)錄影片在 4個(gè)單位輪映,每一單位放映 1場(chǎng),有多少種輪映次序？第三課時(shí)例1. 1有5本不同的書,從中選 3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法？2有5種不同的書,

18、要買 3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法？解：1從5本不同的書中選出 3本分別送給3名同學(xué),對(duì)應(yīng)于從 5個(gè)元素中任取3個(gè)元素3一一的一個(gè)排列,因此不同送法的種數(shù)是：A =5父4父3 = 60,所以,共有60種不同的送法2由于有5種不同的書,送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購(gòu)方法,因此送給 3名同學(xué),每人各1本書的不同方法種數(shù)是：5M5M5=125,所以,共有125種不同的送法說明：此題兩小題的區(qū)別在于：第1小題是從5本不同的書中選出 3本分送給3位同學(xué),各人得到的書不同,屬于求排列數(shù)問題；而第2小題中,給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種,各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系

19、,要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算例2.某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán) 3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào),每次可以任意掛1面、2面或3面,并且不同的順序表示不同的信號(hào),一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號(hào)有 A1種；第二類用2面旗表示的信號(hào)有 內(nèi)種；第三類用3面旗表示的信號(hào)有A3種,由分類計(jì)數(shù)原理,所求的信號(hào)種數(shù)是：A； +A2 +A33 =3+3父2 +3父2 M1 =15,例3.將4位司機(jī)、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上,每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員,共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問題可以分為兩步,第一步：把4位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車

20、上,即從4個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素排成一列,有 A4種方法;第二步：把4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上,也有4 -、-A4種萬(wàn)法,利用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理,分配方案共有N =解,A： = 576 (種)例4.用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解法1:用分步計(jì)數(shù)原理:十位個(gè)位百位7所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是:-2A 9 9 9 8 = 648解法2:符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有 同個(gè),個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有 A2個(gè),十位數(shù)字是 0數(shù)有a2個(gè),的百位 十位 個(gè)位百位十世 個(gè)位 百位 十位 個(gè)過由分類計(jì)數(shù)原理,符合條

21、件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：A93 + a2 + a2 = 648 .解法3:從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A；0,其中以0為排頭的排列數(shù)為 a2, 因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A；0 - A； = 648- A2 .說明：解決排列應(yīng)用題,常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對(duì)問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植?直接計(jì)算符合條件的排列數(shù)如解法1, 2;間接法：對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題,可先不考慮限制條件,把所有情況的種數(shù)求出來,然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3.對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題,要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn),預(yù)防重復(fù)與遺漏第四課時(shí)例5. (1) 7位同學(xué)站成一排,共有

22、多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列 A；=5040.（2） 7位同學(xué)站成兩排(前 3后4),共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4X 3X2X1= 7! = 5040.（3） 7位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法?解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列一一 A6 =720.（4） 7位同學(xué)站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種?解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有 A；種；第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有 A；種,所以,共有 A a5 =240種排列方法（5） 7位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有

23、多少種？解法1 直接法：第一步從除去甲、乙其余的 5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A；種方法；第二步從余下的 5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列全排列有 A5種方法,所以一共有A； A5 = 2400種排列方法解法2：排除法假設(shè)甲站在排頭有 A6種方法；假設(shè)乙站在排尾有 A6種方法；假設(shè)甲站在排頭且乙站在排尾那么有 a5種方法,所以,甲不能站在排頭,乙不能排在排尾的排法共有 A；-2A6 +A 5一A5 =2400 種.說明：對(duì)于“在與“不在的問題,常常使用“直接法或“排除法,對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮例6.從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選 6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單,如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排 在第二個(gè)節(jié)

24、目的位置上,那么共有多少種不同的排法？解法一：從特殊位置考慮A；A； =136080 ；解法二：從特殊元素考慮假設(shè)選:5 a5；假設(shè)不選：a6,那么共有 5 A +A6 =136080 種；解法三：間接法 A；0 -A5 =136080第五課時(shí)例7. 7位同學(xué)站成一排,1甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？5個(gè)元素同學(xué)一起進(jìn)行A；種方法.所以這樣的排法解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁在一起看成一個(gè)元素與其余的全排列有 A6種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁進(jìn)行排列有一共有A A2 =1440種2甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上,一共有 A5 A； = 720種3甲、乙兩同學(xué)必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,由于丙不能站在排頭和排尾,所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾,有A2種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有 A4種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁進(jìn)行排列有a2種方法.所以這樣的排法一共有A5AA = 960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6