高數(shù)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、第八章空間解析幾何與向量代數(shù)(一)向量及其線(xiàn)性運(yùn)算高等數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)1、向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線(xiàn)、共面;2、線(xiàn)性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘；3、空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式;4、利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè) a (ax,ay,az)，b (bx,by,bz)，(ax bx,ayby ,azbz), a (a*,a$,az)；向量的模、方向角、投影:1)/2 2 2向量的模：r <x y z ；3)方向角:非零向量4)X 一，cos r方向余弦:CO與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角2 2 2COS cos cos 15)投影：Prjua a cos，其中為向量

2、a與u的夾角(二) 數(shù)量積，向量積1、數(shù)量積：a b |a | b cos1) a a a2)兩點(diǎn)間的距離公式：AB|xj 2 (y2 yi)2 (Z2 zj 22) ababOa baxbx aybyazbz2、向量積：cab大小：|a|b sin，方向：a ,b , c符合右手規(guī)則1)aa02)a/ bab0i jkabaxayazbxbybz運(yùn)算律：反交換律 b a a b(三) 曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋轉(zhuǎn)曲面：yoz 面上曲線(xiàn) C : f (y, z) 0，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周：f(y, vx2 z2)0/ 2 2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周：f( 'X y

3、, z) 03、柱面：0的柱面F(x,y)F (x, y) 0表示母線(xiàn)平行于z軸，準(zhǔn)線(xiàn)為z 04、二次曲面z21)橢圓錐面:2x_2ab2x22) 橢球面：2a22 z2 y2 2b2 2X旋轉(zhuǎn)橢球面：2aa，23)單葉雙曲面:xa2y z b24)雙葉雙曲面:xa2y b25)橢圓拋物面:6)雙曲拋物面（馬鞍面）2x:a2b27)橢圓柱面:b28)雙曲柱面:b29） 拋物柱面：xay（四）空間曲線(xiàn)及其方程F （x, y, z） 01、般方程：G(x, y,z) 0xa cos txx(t)2、參數(shù)方程：yy（ t），如螺旋線(xiàn)：ya sin tzz(t)zbtH(x, y) 03、空間曲線(xiàn)在坐

4、標(biāo)面上的投影F （x, y,z） 0G （x,y,z）0 '消去z，得到曲線(xiàn)在面xoy上的投影（五）平面及其方程1、點(diǎn)法式方A(x X0 )B(y yo) C(z Zo)程:(A,B,C)，過(guò)點(diǎn)(Xo, yo, Zo)法向量：n2、般式方Ax By Cz D程：x截距式方程：一B1B2 CcCS2(a2b2c2)兩平面的夾角:ni(Ai, bi, ci)，n2，AA2Bi2 Ci2 , AfBfC；a旦邑By Cz D 0的距離:i A2 B2 C24、點(diǎn) Po（ xo，y。，Zo）到平面 AxA 宀 B1B2 C1C2Ax。By。Czo D A2 B2 C（六）空間直線(xiàn)及其方程AxB

5、"CzDi0AxEB?yC2z0x Xoy yoz z °方11mnP1、般式方程：2、對(duì)稱(chēng)式（點(diǎn)向式）mim2nn2PiP2方向向量：S (m,n, p),過(guò)點(diǎn)(X。 , y。，乙)xxo mt3、 參數(shù)式方程：yy。 nt4、兩直線(xiàn)的夾角:mi niji pi m2 n2 p2Z Zo ptSi(g,ni,Pi) , Scos 2 2 ni pi m2 (m2,n2,P2)2m mgngP1P22P2sin5、直線(xiàn)與平面的夾角：直線(xiàn)與它在平面上的投影的夾角Am Bn CpLAm Bn Cp 0ABCLm n p第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)(一)基本概念1、距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)

6、，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開(kāi)集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無(wú)界集2、 多元函數(shù)：z f (x, y)，圖形:3、極限：(Pm(x,y) (X 0,y0) f (x, y) A4、連續(xù)：/ iim(x,y) (X0，yo)( x,y)5、偏導(dǎo)數(shù)f(x0,y°)fx(X。, yo) lim f(XoX 0X , yo) f(X0,y0)xfy(Xo,y。)啊f(x°yy） f（x。，y。)6、方向?qū)?shù)：0ycos其中y為1的方向角。cos X八7、梯度：zf(x,y),則 gradf(x °y°fx(x °y °ify(Xo,y &

7、#176;j全微分：設(shè)z f (x, y)則 dzdxdyXy（二一）性質(zhì)2函數(shù)連續(xù)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系2、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定義：2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t若 z f（u,v）,uu（x, y）,v v（x, y），貝Uv_zzuzvx,yuyvy3）隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組）（三）應(yīng)用1、極值1）無(wú)條件極值：求函數(shù)z f（x, y）的極值fx0解方程組fy0求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)（Xo,yJ,Afxx(Xo,yo),Bfxy(Xo,y °) , Cfyy(xo,yo

8、),若ACB20 , A 0，函數(shù)有極小值，若ACB2o , A 0，函數(shù)有極大值；若ACB20，函數(shù)沒(méi)有極值；若ACB20，不定。2）條件極值：求函數(shù)z f （x,y）在條件（x, y） 0下的極值Lagrange 函數(shù)令: L(x, y) f (x, y) (x, y)Lx 0解方程組Ly 0(x, y) 02、幾何應(yīng)用1）曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面x x(t)曲線(xiàn)：yy（t），貝 y上一點(diǎn) M（x°y °zo ）（對(duì)應(yīng)參數(shù)為to）處的z z(t)X X o y y o x(to)切線(xiàn)方程為:yZ ZoZ（t。）法平面方程為：x （to）（ x)y (to)( yy °

9、; z (to)( z2)曲面的切平面與法線(xiàn)曲面：F (X, y,z ) 0，貝S上一點(diǎn)M( xo, yo, zo)處的切平面方程為2(y)d ,1、定義：2、性質(zhì)：(3、幾何意義4、計(jì)算：1)直角坐標(biāo)D(x,y)D6:曲頂柱體的體積。f(x, y)di(x)a(x)f (x, y)dxdy(x,y)i(y)cdxn叫 f( k, k)0 k 12(x)i(x)f (x,y)dy2(y)f (x, y)dxdyy f(xyy)dxZ ZoFz(Xo,y °zo)Fx(Xo,y°,Zo)(x Xo) Fy(Xo, y°,Zo)(y y。) Fz(x。，y°

10、z°)(z z。)0(一)二重積 一XXyy法線(xiàn)方程為：Fx(Xo,y °z)Fy(Xo,y °zo)第十章重積分2)極坐標(biāo)2()f ( cos , sin ) d ()ii()2()f (x, y)dxdy dD(二)三重積分n1、 定義：f (x, y,z)dv limo f( k, k, k) V0 k 12、性質(zhì):3、計(jì)算: 1)直角坐標(biāo)z2(x, y)f (x, y,z)dvdxdyf (x,y,z)dzD乙(x,y)b先二后f (x, y,z)dv d z f (x, y, z)dxdy a dz2)柱面坐標(biāo)xcosysinzz3)球面坐標(biāo)xr sin

11、cosyr sinsinzr cosf (x, y, z)d Vf ( cos , sin , z) d d dz(三)應(yīng)用z)2X曲面 S : z f(x, y),(x, y) D 的面積:2(Z)2 dxdy y第章曲線(xiàn)積分與曲面積分(一) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分1、定義：l f(x，y)ds 叫 f( i，i) s2、性質(zhì)：1) l f (x,y) (x,y)ds l f (x,y)ds Lg(x, y)ds.2) l f (x,y)ds l f(x,y)ds l f(x,y)ds. (L L 丄2).3) 在 L上，若 f (x, y) g(x,y)，貝 yLf (x,y)ds Lg(x,

12、y)ds.4) Lds 1 ( l為曲線(xiàn)弧l的長(zhǎng)度)3、計(jì)算：x (t),設(shè)f(x,y)在曲線(xiàn)弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為(t ),y (t),其中(t), (t)在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2(t)2(t) o，則l f(x,y)ds f (t),(t) Jdt ,()(二) 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分1、定義：設(shè) L 為 xoy 面內(nèi)從 A 到 B 的一條有向光滑弧，函數(shù) P(x, y) , Q(x, y)在L上有界，定義 L P(x，y)dxlimOp(k, Q xk, k 1nlQ(x, y)dy lim。Q( k,k) Yk .* 向量形式:l F dr lP(x, y)dx Q(x,y)

13、dy2、性質(zhì)：I用L表示L的反向弧，貝S l F (x, y) dr l F (x, y) dr3、計(jì)算：設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為X，(t:)從t:)，其中(t),在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且y(t),LP(x,y)dxQ(x, y)d y P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt4、兩(t)X(t)，設(shè)平面有向曲線(xiàn)弧為L(zhǎng):yL上點(diǎn)(x, y)處的切向量的方向角為:COS-2(t)2(t)cos2(t)2(t)2(t)2(t) 0，貝y則 l Pdx Qdy JPcosQcos )ds(三) 格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域 D是

14、由分段光滑正向曲線(xiàn)L圍成，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在曲線(xiàn)積分Pdx Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)L曲線(xiàn)積分？ Pdx Qdy 0L1、(四 定義P(x, y)dx Q(x, y)dy 在G內(nèi)為某一個(gè)函數(shù)u( x,y)的全微分D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有dxdy-Pdx QdyL對(duì)面積的曲面積分設(shè) 為光滑曲面，函數(shù)f(x,y,z)是定義在 上的一個(gè)有界函數(shù)，n定義 f (x,y,z)dS lim f ( i , i , i) Si2、計(jì)算:“ 一單二投三代入”:z z(x, y)，(x, y) Dxy，則f (x, y, z)dS D fx, y, z(x, y) (1 z x2(x, y) Z

15、Dxyy2(x, y)dxdy(五) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、預(yù)備知識(shí)：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、定義:為有向光滑曲面，函數(shù)P(x, y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定義在 上的有界函數(shù),定義nR(x,y,z)d xdy lim。R( i , i, J( SJ xy o鼻i i同理，P(x, y, z)d ydz lim。P( i, i, J( SJ yz°i 1nQ(x, y,z)dzdx lim 。R( i, i, J( S)xu i 13、性質(zhì) :1） 1 2，則Pdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx

16、Rdxdy 1 22) 表示與取相反側(cè)的有向曲面，貝 S Rdxdy Rdxdy4、計(jì)算：一一“ 一投二代三定號(hào)”:z z(x,y) ，(x,y) D xy，z z(x, y) 在 Dxy 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， R(x,y,z) 在 上連續(xù)，則 R(x,y,z)dxdy D Rx, y,z(x, y)dxdy ,為上側(cè)取“ + ”，Dxy為下側(cè)取“ -”.Pdydz Qdzdx RdxdyPcos Qcos Rcos dS5、兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：其中，為有向曲面 在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向角。1高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面所圍成 , 的方向取外側(cè)，函數(shù) P,Q,R

17、在 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有（六）高斯公式R dxdydz - Pd ydz z Qdzdx Rdxd yR .dxdydz ： Pcos zQcos Rcos dS定側(cè)的通量為：通量與散2度、量：向量場(chǎng) A (P,Q,R) 通過(guò)曲Pdydz Qdzdx Rdxdya P Q R散度：divA -x y z(七) 斯托克斯公式1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面S的邊界G是分段光滑曲線(xiàn),S的側(cè)與G的正向符合右手法則，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含？在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)R 衛(wèi) dydz y zdzd xdxd y -Pdx Qd yRdz一階偏導(dǎo)數(shù)，則有為便于記憶，斯

18、托克斯公式還可寫(xiě)作d ydzdzdxdxd y° Pdx Qdy RdzxyzPQR2、環(huán)流量與旋度環(huán)流量：向量場(chǎng)A(P,Q,R)沿著有向閉曲線(xiàn)G的環(huán)流量為Pdx Qd y RdzRQp旋度：rot Ajy zz第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)(一)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：1) 無(wú)窮級(jí)數(shù):U U U Un 1232） 級(jí)數(shù)收斂：若 limSn S 存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù) nU.收斂，否則稱(chēng)級(jí)數(shù)n 1 nUn發(fā)散部分和： SnUk U1 U2 U3Un ,k 1正項(xiàng)級(jí)數(shù)：5, U n 0 n 1交錯(cuò)級(jí)數(shù)：( 1 ) nUn , Un 0 n 13）條件收斂：un收斂，而|U發(fā)散;n 1n 1絕對(duì)收斂：|Un |收

19、斂。n 12、性質(zhì)：1）改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性;2） 級(jí)數(shù)a.,bn收斂，則（ s）收斂；n 1n 1n 13）級(jí)數(shù)an收斂，則任意加括號(hào)后仍然收斂；n 14） 必要條件：級(jí)數(shù)U.收斂0.（注意：不是充分條件?。﹏n 13、審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：Un， Un 0n 11）定義："m Sn S存在；n2）un收斂Si有界;n 13） 比較審斂法：Un，Vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且Un Vn （n 1,2,3,）4)比較法的推論:Vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在正整數(shù) m，n 1當(dāng)n m時(shí),kVn，而 Vn收斂，則n 1Ui收斂;1若存在正整數(shù)m,m 時(shí)，Un kVn5)6)7)8)Vn發(fā)散，則n 1比較法

20、的極限形 式:Un發(fā)散.為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若limUVn1(0 lVn收斂，則叫收斂；若1比值法:1時(shí)，根值法:1時(shí)，nimUnVn0八或limnUnVn發(fā)散;u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)n 1級(jí)數(shù)Un發(fā)散；當(dāng)n 1Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),n 1級(jí)數(shù)極限審斂法:若存在P交錯(cuò)級(jí)數(shù):萊布尼茨審斂法:設(shè)nimUn 1Un1,則當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)Lh收斂；則n 1時(shí)，級(jí)數(shù)J可能收斂也可能發(fā)散.1»則當(dāng)I 1時(shí)，級(jí)數(shù)Un收斂；則n 1發(fā)散；當(dāng)In 1時(shí)，級(jí)數(shù)U可能收斂也可能發(fā)散.mr為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若1，使得limn交錯(cuò)級(jí)數(shù):且nimUn 0，則級(jí)數(shù)1（叫收斂。任意項(xiàng)級(jí)數(shù):nim n Unnp Un I (0(1) nJn 10 或 lim n Unn），則級(jí)數(shù)0滿(mǎn)足：U 1，則級(jí)數(shù)U.n 1Ui收斂.n 1Un (n 1,2,3,常見(jiàn)典型級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù):aqn 0收斂，q| 1發(fā)散，iq 1（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)p -級(jí)數(shù):1c p【1收斂，發(fā)散，1、定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2、幕級(jí)數(shù):anXun（x），收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；n 1an 1limn收斂半徑的求法:，則收斂半徑 R 0,an3、泰勒級(jí)數(shù)f(X)牛 x Xo)n 0 n!f(n 1)()nimRn(X) nim-(TV(X0展開(kāi)步驟：（直接展