圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)(2015)

1、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探源于課本一份閱讀材料的探究反思 內(nèi)蒙古巴彥淖爾市奮斗中學(xué) :王玨 指導(dǎo)教師 :張紅學(xué)習(xí)完圓錐曲線的方程和性質(zhì)后 ,課本上有一則閱讀材料引起了同 學(xué)們的興趣 ,在老師的指導(dǎo)下 ,我們不僅了解了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)這一 常見現(xiàn)象 ,而且進(jìn)一步對它進(jìn)行了證明和探究 ,并對它在 數(shù)學(xué)解題和生產(chǎn) 科技等方面的應(yīng)用有了一定的認(rèn) 識。課后我經(jīng)過反思與整理 ,寫成此文。 一、 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1. 1 橢圓的光學(xué)性質(zhì) :從橢圓一個焦點發(fā)出的光 ,經(jīng)過橢圓反射后 ,反 射光線都匯 聚到橢圓的另一個焦點上 ; （見圖 1.1橢圓的這種光學(xué)特性 ,常被用來設(shè)計一些照明設(shè)備或聚熱裝置

2、.例如在 F 1處放 置一個熱源,那么紅外線也能聚焦于 F 2處,對 F 2處的物體加熱 . 1. 2雙曲線的光學(xué)聚到雙曲線的另一個焦點上性質(zhì) :從雙曲線一個焦點發(fā)出的光 ,經(jīng)過雙曲線反射 后,反射光線的反向延長線都匯; （ 見圖 1.2 . 雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì) , 在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計等方面 , 也能找到實際應(yīng)用 .1. 3 拋物線的光學(xué)性質(zhì):從拋物線的焦點發(fā)出的光 ,經(jīng)過拋物線反射 后,反射光 線都平行于拋物線的軸 （如圖 1.3拋物線這種聚焦特性 ,成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇 .例 如探照燈、 汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線 ,把光源置于它的焦點 處,經(jīng)鏡面反射后能成

3、為平行光束 ,使照射距離加大 ,并可通過轉(zhuǎn)動拋物 線的對稱軸方向 ,控制照射方向 .衛(wèi) 星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線 ,一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的 ,把接收器置于其焦點 ,拋物線的對 稱軸跟 蹤對準(zhǔn)衛(wèi)星 ,這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號射線 ,最大限 度地集中到接收器 上,保證接收效果 ;反之,把發(fā)射裝置安裝在焦點 ,把 對稱軸跟蹤對準(zhǔn)衛(wèi)星 ,則可以使發(fā)射的電磁波訊號射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星 的接收裝置,同樣保證接收效果.最常見的太 陽能熱水器，它也是以拋物 線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的.要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個光學(xué)實際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問 題，進(jìn)行解釋論

4、證。二、問題轉(zhuǎn)化及證明2. 1圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線I與曲線c交于P , Q兩點,當(dāng)直線I連續(xù)變動時，P , Q兩點沿著曲線漸漸靠近,一直到P , Q重合為一點M ,此時直線I稱為曲線c在點M處的切線，過M與直線I垂直的直線稱為曲線c在點M處的法線。此時,我們可以借助圓錐曲線的 切線和法線，對這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理1.若點00(, P x y是橢圓22221x y a b+=上任一點，則橢圓過該點的切線方程為:00221x x y y圖1.3+ =0O"O'圖1.2圖1.13證明：由2222 1y x b a =-?22(1 x y

5、b a =-, 1°當(dāng)x a M±，過點P的切線斜率k 一定存在，且0'|x x k y =對式求導(dǎo):20222' b yy x a 020 '|x x b x k y a y =-=二切線方程為 20002 0( b x y y x x a y -=-,點 00(, P x y 在橢圓 22 221x y a b +=上,故 2200 221x y a b += 代入得 00221x x y y a b +=, 而當(dāng) x a = ±, 00y =切線方程為x a =也滿足式故 00221x x y y+=是橢圓過點 00(, P x y

6、的切線方程 . 預(yù)備定理 2. 若點 00(, P x y 是雙曲線 22 221x y a b -=上任一點 ,則雙曲線過該點的切線方程為 :00221x x y y證明:由 22221y x b a =-?2222(1 x=-, 1 °當(dāng)x a爭±過點P的切線斜率k 一定存在且O'|x x ky =對式求導(dǎo):2O222' b yy x a= 02020' |x x b x k y a y =二切線方程為 200020( b x y y x x a y -=- , 點00(, P x y在雙曲線22221x y a b4 故 2200221x y

7、a b-= 代入得 00221x x y y a b -=, 而當(dāng) x a = 時±,OOy = 切線方程為 xa = ±,也滿足 式故 00221x x y y-=是雙曲線過點 00(, P x y 的切線方程 . 預(yù)備定理 3.若點 00(, P x y 是拋物線 22y px =上任一點, 則拋物線過該點的 切線方程是 00( y yp x x =+證明:由 22y px =,對 x 求導(dǎo)得:02' 2' |x x pyy p k y y =?=當(dāng)OOy時，切線方程為00y y x x y -=- 即 2000y y y px px -=-而 2OOO

8、O2( y px y y p x x =? =+,而當(dāng)000, Oy x =時，切線方程為OOx二也滿足式故拋物線在該點的切線方程 是 00( y yp x x =+.定理1.橢圓上一個點p的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點P處的法線平分(圖 2.1已知:如圖，橢圓C的方程為22221x y a b+=,12, F F分別是其左、右焦點,l是過橢圓上一點00(, P x y的切線，丨為垂直于I且過點P的橢圓的法線，交x軸于設(shè) 21, F PD F PD /=/ =,求證:aP =.證法一：在2222:1x y C a b+=上,則過點P的切線方程為:00221x x y y+=' l 是通過

9、點 P 且與切線 l 垂直的法線 ,0000222211':( ( y x l x x y b a b a -=-法線'l與x軸交于20( ,0 c 22102022|,|c c F D x c F D c x a a=+=- 201220|a ex F D F D a ex +=-又由焦半徑公式得:1020|,|PF a ex PF a ex =+=-1122|F D PF F D PF = PD 是 12F PF/的平分線 ap =ppaa '="90,故可得 pap?='證法二 :由證法一得切線 l 的斜率 02020' |x x b x

10、 k y a y =-=, 而 1PF 的斜率 010y k x c =+, 2PF 的斜率 020yI到1PF所成的角滿足200222220000012222001000200-=+-+-+tan ' 1( 1( y b x x c a y a y b x b cx k kb x y kk a b x y a cy x c a y+ V 00(, P x y 在橢圓 2222:1x y C a b+=上tan ' b cy a=同理,2PF到I所成的角滿足2220ta n 1k k b kk cy -= p+ tan ' tan ' 而 a 'K0=

11、27tap =證法三:如圖, 作點 3F , 使點 3F 與 2F 關(guān)于切線 I 對稱, 連結(jié) 1F , 3F 交橢圓 C 于 點 ' P八、面只需證明點 P 與 ' P 重合即可一方面,點 P 是切線 I 與橢圓 C 的唯一交點,則 12|2PF PF a +=是, I 上的點 到兩焦點距離之和的最小值 （這是因為 I 上的其它點均在橢圓外 另一方面,在直線I 上任取另一點 '' P 121313121' II' II' II' 1P F P F P F P F F F P F P F +=+=<+即 ' P 也是

12、直線 AB 上到兩焦點的距離這和最小的唯一點 ,從而 P 與 ' P 重合即ap而I得證定理 2 雙曲線上一個點 P 的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點 P 處的切線 平分（圖 2.2;已知:如圖, 雙曲線 C 的方程為 22221x y a b-=, 1F , 2F 分別是其左、 右焦點, l 是過雙曲線C上的一點00(, P x y的切線,交x軸于點D ,設(shè)1F P D丄=,2F PD3/ =求證：aP二證明:2222:1x y C a b兩焦點為 1(,0 F c -, 2(,0 F c (222b a c +=00(, P x y 在雙曲線上則過點 P 的切線00221x x y

13、y-= 切線 l 與 x 軸交于 2(,0 a D x 。由雙曲線的焦半徑公式得|,|c cPF x a PF x a a a1020|=+=-雙曲線的兩焦點坐標(biāo)為0, (e F , 0, (e F -'圖2.24447 故 0111020002201liex a PF DF a e a e DF x a DF x a x a x a PF DF x a a+=+=-=-故PaP ? =切線I為F FP '/之角分線。it定理3拋物線上一個點P的焦半徑與過點P且平行于軸的直線的夾角被 拋物 線在點P處法線平分(圖2.3。已知:如圖拋物線C的方程為為24y ex =,直線I是過拋

14、物線上一點00(, P x y的切線，交x軸于D , , DPF PDF 況y，=,反射線PQ與I所成角記為P求證：ap =證明：如圖，拋物線C的方程為2:4C y ex =，點00(, P x y在該拋物線上,則過點P的切線為00( y y p x x =+切線I與x軸交于0(,0 D x -焦點為0, (e F ,yP同位角: 001111,1111 PF x e DF x e =+=+ |PF DF = a 丫 ap?a=通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過的知識證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢 ？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用 3. 1解決入射與反射問題例1

15、.設(shè)拋物線2:C y x =,一光線從點A(5, 2射出平行C的對稱軸，射圖2.3在C上的P點，經(jīng)過反射后，又射到C上的Q點，則P點的坐標(biāo)為 ,Q點的坐標(biāo)為。解:如圖，直線AP平行于對稱軸且A(5, 2 , 則P點的坐標(biāo)為(4, 2 反射線PQ過點1(,0 4F 設(shè) 2(, Q t t,則 2281115- 解得 :18t =- 11(, 648Q - 例 2. 已知橢圓方程為 252x +16y = 1,若有光束自焦點 A (3, 0 射出,經(jīng)二次反射回到 A 點,設(shè)二次 反射點為 B , C ,如圖 3.1.2所示,則 ABC 的 周長為 。解:橢圓方程為252X +16y = 1中, 2

16、25169c =-= A (3, 0為該橢圓的一個焦點自A (3, 0射出的光線AB反射后，反射光線AC定過另一個焦點A ' (-3, 0故 ABC 的周長為''44520AB BA A C CA a += ?=例 3. 雙曲線 22:188x y C -=，又 A C ,已知 A (4,22 , F (4, 0若由F射至A的光線被雙曲線C反射,反射光通過P (8, k ,則圖 3.1.29 =。解:入射線FA反射后得到的光線AP的反向延長線定過雙曲線的另一 個焦 點(4,0 F -128k k =?=3. 2解決一類 距離之和”的最值問題張奠宙教授說在一般情況下，光線

17、在傳播過程中，總是選擇最近的路線從一點傳播到另一點。這雖然還只是一種停留經(jīng)驗、感覺”層面上的結(jié)論，但卻為我們研 究一類 距離之和”取值范圍問題時指明了思考的 方向，從而解決了一個從 想不到” 到想得到”的關(guān)鍵問題。如果再輔 以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種 經(jīng)驗、感覺”依然是很 有價值的、不可替代的。”我讀了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解 決了我們經(jīng)常見到而又覺得復(fù)雜的一類最值問題。例4.已知橢圓C :221259x y +=, F 1、F 2為分別是其左右焦點，點Q(2, 1 , P是C上的動點，求|MF1|+|MQ|的取值范圍。APOPfx(一分析猜想:(1經(jīng)計算,Q (2, 2點在橢

18、圓內(nèi),由于橢圓是封閉圖形,因此|MF1|+|MQ|應(yīng)該有 一個封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。(2同樣根據(jù)光線的 最近傳播法則”結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得:從F 1射出被橢 圓反射后經(jīng)過點Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種 情況又分為兩類，一是 被上半橢圓反射(如圖3.2.1，光線從F 1 T P 1 TQ二是被下半橢圓反射(如圖3.2.2光線從F 1 T P 2 - F 2 -鋭竟 哪種情況 距離之和更小呢？顯然,根據(jù)橢圓定義，圖3.2.1中的|P仆1|+|P1Q|v2a(2為 橢圓長軸長，而圖3.2.2中的|P2F1|+|P2Q|>2a可見圖321所示的情 況距離之和更小。1

19、0但是，最大值又是多少呢？圖3.2.2所示的光線又有什么特點呢？將圖3.2.1.和圖3.2.2中的光線反射路線合并圖 3.2.3,由于|P2Q| +|P2F 1|+|P 1Q|+| P1F是定值4a(a為橢圓長半軸長，而|P 1Q|+|P仆1由前面 知最小，由此猜測|P2Q| +|P2F 1可能就是最大值。匚證明|P仆1|+|P1Q是最小值。如圖3.2.2,連接Q F 2,延長交橢圓于P 2在橢 圓上另取一點 2P ',由橢 圓定義知：|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |2P 'F 1| +|2P 'F 2|(*因為 |2P 'F 2| >|2P

20、'Q|-|QF2|代入（*式得 |P2QHQF2| +|P2F 1|> |2P 'F 1| +|2|QF2|所 以，|P2Q|+|P2F 1| > |2P 'F 1|F+lQ|o 猜想得證。(三計算:綜上所述，只需求出2|F Q =可得最小值為22|10a F Q -=-最大值為22|10a F Q +=4例5.已知雙曲線C :213y x -=, F1、F 2為分別是其左右焦點，點9（4, 2Q ,M是C上的動點,求|MF2|+|MQ|的取值范圍。分析猜想:經(jīng)計算，Q點在雙曲線右支開口內(nèi)部。由于雙曲線是不封閉曲線，顯然|MF2|+|MQ|可以無限大，故要求

21、|MF2|+|MQ|的取值范圍，關(guān)鍵是求出|MF2|+|MQ| 的最小值。根據(jù)光線的 最近傳播”特點,我們猜想:從F 1射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過 點Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的，再結(jié)合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個焦點射 出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反 向延長線經(jīng)過另一個焦點，可作出從F 1射 出被雙曲線反射后經(jīng)過點 Q的光線:連接F 1Q，與雙曲線的交點即為使得 |MF2|+|MQ|最小的點，設(shè)為P點，光線從F 2 - P -Q （見圖2（二證明：如圖2:按猜想作出點P,由于所求點P顯然不在雙曲線 的左支上（此時 顯然距離之和不會最小，故在右支上另取一點P ',由雙曲線定義知：|PF

22、1|-|PF2| = |P 'F 1| -|P 'F 2|即 |PF1|+|P 'F 2| = |P 'F 1| +|PF2|因為 |PF1|+|PQ| < |P 'Q| +|P '兩邊同加 |PF2得:所以 |PF1|+|PQ| +|PF2|< |P 'Q| +|P 'F 1|+ |PF2|=|P 'Q| +|PF1|+|P 'F 2|,|PQ|+|PF2| < |P 'Q|'FI2|猜想得證。（三計算：由題意知 V 19（2,0, （4, 2 2112IIIIIIIIIIPQ

23、PF FQ F P PF +=-+=112|(|FQ F P PF - =1|2FQ A -=11 2例6.已知拋物線C: y 2 4x，F(xiàn)是其焦點，點Q（2,1，M是C上的 動點，求|MF|+|MQ|的取值范圍。分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒有 最大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對稱軸平行，反之也成立），結(jié)合光線的最近傳播”特點， 我們猜想：過Q與對稱軸平行的直線與拋物線的交點可能就是使距離之和最小的 點，設(shè)為P點（見圖3.2.6）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。且|PF|+|PQ| >33.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與 切線”相關(guān)問題時起簡捷作用。 光 線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也 不例外，此時的法線就是過反射點的曲線的切線的垂線。可見，曲線的切線和與曲線有關(guān)的反射問題有著密切聯(lián)系。以橢圓為例：如圖3.3.1, l是過橢圓周上一點P的橢圓的切線，m是P點處的法線，光線從F1 （F2）射出被橢圓反射經(jīng)過F2 （F1），滿足/仁/2，且/