2015高考數(shù)學(xué)（理）（第五章 5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算）一輪復(fù)習(xí)題

1、§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度為單位1的向量非零向量a的單位向量為±平行向量如果表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱(chēng)這兩個(gè)向量平行或共線0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02 向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc

2、).減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3 向量共線的判定定理a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量(×)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān)()(3)已知兩向量a，b，若|a|1，|b|1，則|ab|2.(×)(4)在ABC中，D

3、是BC的中點(diǎn)，則()()(5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上(×)(6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有ba，反之成立()2(2012·四川)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是()AabBabCa2bDab且|a|b|答案C解析表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀察選項(xiàng)易知C滿(mǎn)足題意3已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且20，那么()A.B.2C.3D2答案A解析由20可知，O是底邊BC上的中線AD的中點(diǎn)，故.4已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足0，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)答案2

4、解析如圖所示，由，且0，則P是以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此2，則2.5設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)答案1解析2ab，又A、B、D三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使.即，p1.題型一平面向量的概念辨析例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號(hào)是_思維啟迪正確理解向量的概念，向量共線和點(diǎn)共線的區(qū)別，向量相等的定義是解題關(guān)鍵答案解析不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且

5、，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.故“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件正確ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同；又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號(hào)是.思維升華(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖

6、像的移動(dòng)混為一談(4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量?jī)蓚€(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實(shí)數(shù))，則必為零，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4答案C解析錯(cuò)誤兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)正確因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯(cuò)誤當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤當(dāng)0時(shí)，ab，此時(shí)，a與b可以是任意向量題型二平面向量的線性運(yùn)算例2(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么等于()A.B.C.D.(2

7、)在ABC中，c，b，若點(diǎn)D滿(mǎn)足2，則等于()A.bcB.cbC.bcD.bc思維啟迪結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減法運(yùn)算的關(guān)鍵答案(1)D(2)A解析(1)在CEF中，有.因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以.所以，故選D.(2)2，22()，32，bc.思維升華(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果(1)已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足20，則等于(

8、)A2B2C.D(2)設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，2，則()A.0 B.0C.0 D.0答案(1)A(2)B解析(1)由20得220，22.(2)如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義有2P是AC的中點(diǎn)，故0.題型三共線向量定理及應(yīng)用例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線思維啟迪解決點(diǎn)共線或向量共線的問(wèn)題，要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行(1)證明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線(2)解kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(ak

9、b)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，kk10，k210.k±1.思維升華(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時(shí)成立，否則向量a、b不共線(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若a，b，則等于()A.abB.abC.abD.ab(2)已知向量a、b、c中任意兩個(gè)都不共線，并且ab與c共線，bc與a共線，那么a

10、bc等于()AaBbCcD0答案(1)B(2)D解析(1)如圖，由題意知，DEBE13DFAB，ab(ab)ab.(2)ab與c共線，ab1c.又bc與a共線，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a，即，abccc0.方程思想在平面向量的線性運(yùn)算中的應(yīng)用典例：(12分)如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.思維啟迪(1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出manb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解規(guī)范解答解設(shè)manb，則manba(m1)

11、anb.ab.3分又A、M、D三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三點(diǎn)共線，與共線10分存在實(shí)數(shù)t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.12分溫馨提醒(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識(shí)要點(diǎn)清晰，但解題過(guò)程復(fù)雜，有一定的難度(2)易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問(wèn)題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向

12、量最重要的方法與技巧如本題易忽視A、M、D三點(diǎn)共線和B、M、C三點(diǎn)共線這個(gè)幾何特征(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會(huì).方法與技巧1向量的線性運(yùn)算要滿(mǎn)足三角形法則和平行四邊形法則，做題時(shí)，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”2可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線如且AB與CD不共線，則ABCD；若，則A、B、C三點(diǎn)共線失誤與防范1解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿(mǎn)足條件要特別注意

13、零向量的特殊性2在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1下列命題中正確的是()Aa與b共線，b與c共線，則a與c也共線B任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行答案C解析由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以?xún)蓚€(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆

14、否命題入手來(lái)考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C.2已知a2b，5a6b，7a2b，則下列一定共線的三點(diǎn)是()AA、B、CBA、B、DCB、C、DDA、C、D答案B解析2a4b2A、B、D三點(diǎn)共線3已知ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足0，若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m等于()A2 B3 C4 D5答案B解析由已知條件得.如圖，因此延長(zhǎng)AM交BC于D點(diǎn)，則D為BC的中點(diǎn)延長(zhǎng)BM交AC于E點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交AB于F點(diǎn)，同理可證E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，即M為ABC的重心()，即3，

15、則m3.4已知點(diǎn)O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內(nèi)角A等于()A30° B60° C90° D120°答案B解析由0，知點(diǎn)O為ABC的重心，又O為ABC外接圓的圓心，ABC為等邊三角形，A60°.5在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若，則等于()A1 B.C.D.答案D解析，2，即.故.二、填空題6設(shè)向量e1，e2不共線，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，給出下列結(jié)論：A，B，C共線；A，B，D共線；B，C，D共線；A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)答案解析4e12e2，

16、3e1，由向量共線的充要條件ba(a0)可得A，C，D共線，而其他無(wú)解7在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_.(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.8在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若2，則_.答案解析由圖知，且20.×2得：32，.三、解答題9已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共線，向量c2e19e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，使向量dab與c共線？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在這樣的實(shí)數(shù)、，

17、只要2，就能使d與c共線10如圖所示，在ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a、b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(1)解延長(zhǎng)AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)ba(b2a)(2)證明由(1)可知，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為()A3 B4 C5 D6答案B解析D為AB的中點(diǎn)，則()，又20，O為CD的中點(diǎn)，又D為AB中點(diǎn)，SAOCSADCSABC，則4.2O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：，0，)，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的()A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心答案B解析作BAC的平分線AD.，· (0，)，·，.P的軌跡一定通過(guò)ABC的內(nèi)心3如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若m，n，則mn的值為_(kāi)答案2解析O是BC的中點(diǎn)，()又m，n，.M，O，N三點(diǎn)共線，1.則mn2.4設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，若a與b起點(diǎn)相同，tR，t為何值時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在一