2012研究生考試數(shù)學三真題及答案

1、2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學三試題解析 i = . J - f 二 i ” - JT I" L 產(chǎn)-,-«! !i . If Ib- J - - JL F" 1，.一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. . 一II2，八x x一，(1)曲線y x1漸近線的條數(shù)為()x2 11 1 口， 1 1： ： 1 .L_一,：11 * 1 1 ：電T1.- - Ji *二，1.，, y： T '" * " =-“1L J二一J 與 I

2、37 3 J .1 r'1 s H ->B -(A) 0(B) 1(C) 2," j (D) 3生巴111鼻打s膽曲.« jirjji:十二11書睛力國&二一滸.【答案】：C2_ X X【解析】：lim x，所以x 1為垂直的x 1 x 12x x .一 _lim xv_ 1,所以y 1為水平的，沒有斜漸近線故兩條選Cx x2 1.,I 1+-Ji - 'r-r-| l| '>9設(shè)函數(shù)f (x) (ex 1)(e2x 2)L (enx n),其中n為正整數(shù)，則f'(0)'. » .|IB»1 |

3、'f- -jJI-| t,_ 、n 1(A) ( 1) (n 1)!(B) ( 1)n(n 1)!(C) ( 1)n 1n!k " 一 .,i 川/i -t = - * i j.聲，i：、.(D) ( 1)nn!【答案】：CLJJJ t Lr- J . J - ' I r' - " " ' " " ： 丁產(chǎn)'r _ s ' _ I ”，r ，:，m " - 一 - = ； " J>，小- ' ''' "" - "

4、; I【解析】：f'(x)ex(e2x2)L(enxn)(ex1)(2e2x2)L(enxn) L(ex1)(e2x2)L (nenxn)'n 1所以 f (0)( 1)n 1n! 二匕.j! = - - Jrli - I-i ” , . - 4-jj - - ' Ia - 14 W B '丁* u(3)設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二次積分;d 2 f(r2)rdr=()02 cos24 x2(A) dx ,7dx2y2f(x2 y2)dy02x x2尸一.二喟* * ,*" J B,' ' . IjtM - I 11 " * *；

5、： ' - hi =- » -a ": f -l一 ""=.-一2,故答案為（D）1323, 411其中C1,C2,C3,C4為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)C41, 2 , 3（條件收斂可知 n（2條件收斂，則范圍為（n2(B)dx02(C)dx02(D) dx0442x x2f(x2y )dy4 x21 2x x2114 x21 2x x2【答案】：（B）【解析】：由x Jxy2f(x2y2)dyf(x2y2)dyy2解得y的下界為J2x x2解得y的上界為M4 x2 .故排除答案（C） （D）.將極坐標系下的二重積分化為X型區(qū)域的二重積分得

6、到被積函數(shù)為故選（B）.（4）已知級數(shù)（1）n Jnsin，絕對收斂,(A) 0(C) 1(D) 32【答案】:(D)【解析】：考察的知識點是絕對收斂和條件收斂的定義及常見的絕對收斂可知|(5)設(shè) 10 , 2的是（(A)(C).)【答案】:（C）C2(B)1, 2 ,(D)2,f(x2y2)p級數(shù)的收斂性結(jié)論.（1）n.：nsin11TZZ【解析】：由于3, 4線性相關(guān)。故選(C)(6)設(shè)A為3階矩陣，P為3可逆矩陣，且 P 1AP1,2, 3，4|>2J-" I2, 2, 31-則 Q AQ (A)(B)2(C)(B)【解析】：Q P 11.故Q AQ 1 1故選(B)。(

7、D)00，則 Q 1Ip_ 1_P AP 1(7)設(shè)隨機變量 X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間 0,1上的均勻分布，則 P X2Y2 1 ()(A)4【答案】:(D)1(B)一2【解析】：由題意得,22P x2 Y2 1 =D，分的幾何意義，知 P(C) 8(D)-f x,yI.II I 匚«I -fxX fY y1, 0 x 1,0 y 1,0,其它.x, y dxdy ,其中D表示單位圓在第一象限的部分，被積函數(shù)是 1,故根據(jù)二重積X2Y21 二一，故選(D).4(8)設(shè)X1,X2,X3,X4為來自總體 N 1, 20的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量XiX3X2X4 2的分布I111811T

8、ZZ_11(A) N 0,1-i *(B) t 1(C) 2 1(D) F 1,1【答案】：（B）， ， - ，【解析】：從形式上，該統(tǒng)計量只能服從 t分布。故選B。zzz,具體證明如下:_X_1_X2_X3X42服從標準正態(tài)分布且相互獨立，可知Xi X2、；22X3 X4 22Xi、2X2,由正態(tài)分布的性質(zhì)可知,XiX2 亡 X3X4Ji2,均X3X4 222: t 1 0二、填空題：9 14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙 指定位置上. , z1目(9) lim tanx cosx sinxx 4.'= I II-2e1【解析】：lim tanx cosx sinx

9、x 4lim tanx 1 x cosx4sin xlim tanx 1x 一e 4=limIIcosx sin x|ltan x tan 一4Jix 一 cosx sinxtan x1 tan xgtan =limx 一4fc I Fs ' i r , _"aJi11I1LI一二二zzrli所以 lim tanx c0sxsinxlimx 一e 4=lim=-2(10)設(shè)函數(shù)f(x)【解析】：dydxx - 1 tan xgtan 442 x 4,1tanx 1 cosx sin xlnx, x 12x 1,x 1=e 2,y f f(x)，求鬻 dxf' f(x)

10、 f'(x)f ' f(0) f'(0) f '1 f'(0)由f (x)的表達式可知f ' 0 f '( 1) 2 ,可知dydx(11)函數(shù) z f (x, y)滿足 lim【答案】：2dx dyf(x,y) 2x y 2,'x2 (y 1)2(0,1)【解析】：由題意可知分子應為分母的高階無窮小，即f(x,y) 2x y 2 o(Jx2 (y 1)2)所以x(12)(o,i)2，hl ,y(0,1)(o,i) 2dx dyII4由曲線y 一和直線y x及y 4x在第一象限中所圍圖形的面積為?【答案】：4ln 2I.jl被積函

11、數(shù)為1的二重積分來求，所以0 dy ydx42 dy yy dx34ln 224ln 2Ji(13)設(shè)A為3階矩陣，|A 3, A*為A的伴隨矩陣，若交換 A的第一行與第二行得到矩陣B,則11CPx44 xP AC 0,又1-12,P(C) 3,則BA【答案】：-27【解析】：由于BE12A,故 BAE12A A | A | E12 3Ei所以，| BA | |3E12 | 33 |E121 27*( 1)27.|(14)設(shè)A, B,C是隨機事件，A,C互不相容，P(AB)【解析】：由條件概率的定義， P AB C其中P CP ABCP ABP ABCIIP ABCABC ,由于A,C互不相容

12、，即 ACABC AC ,得 P ABC0,代入得P ABC1 一一,故 P AB 2、解答題：15-23小題，共94分.請將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)計算lim ex 02八八x2 2cosxee【解析】：lim e2x 2 2cosxelim ex 02 2cosx) lim(16)(本題滿分10分)2 x lim x 02 2cos xx2 2 2 1lim 一一 o x 4!(泰勒公式)二M一 +o x 1212yxydyO1x11011001(e1)2xy）（萬元）42 x甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時可以使總成本最??？求

13、最小的成本。1 一 lim1 ,e o量為50件時且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本（17）（本題滿分10分）某企業(yè)為生產(chǎn)甲D為由曲線y乙兩種型號的產(chǎn)品，投入的固定成本為2 ex 2 x10000 （萬元），設(shè)該企2yx 積分得，C(x,y) 20xlim 1再對y求導有，Cy （x, y）x 0lxm01xe x0D (x,y)|0 xC(x,y),由題意有：Cx(x,y) 20Jdx2 1exxdx 0lim 1 2 exx x 01 x 2x eexxydxdyD-dx2x 2x2lim e 1 ex .011 2 xdex 0重積分exxydxdyDy件），且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為2

14、0 -21exx2dx01，一 y _1 ,如圖所本所以1 xlim ex 0 0D(y)，21 2121212 x-jj0D(y) 6 y,11lim dx x 0 0x,zzr1511一，一，,19再對y積分有，D(y) 6y y c2所以，C(x, y) 20x126y -y2JiIt又 C(0,0)10000，故 c 10000,所以 C(x, y) 20x126y -y100002)若 x y-il>50,則y 50 x(0 x 50)，代入到成本函數(shù)中，有C(x)20x126(50 x) (50 x) 10000211-3 2-x 36 x 115504111183所以，令C

15、 (x) -x 36 0 ,得x 24, y 26 ,這時總成本最小 C(24,26) 23)總產(chǎn)量為50件且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本為Cx (24,26) 32 ,表示在要求總產(chǎn)量為50件時,.B" L i. r - -, . p 二：七 i .二 一- S I T - - . r 4 1 < t : E - L -L - -Fl-在甲產(chǎn)品為24件，這時要改變一個單位的產(chǎn)量，成本會發(fā)生32萬元的改變。(18)(本題滿分10分)1 x證明：xln 1 xcosx 12 x y,1_. . _.1 x【斛析】：令f x xln cosx1 xx21之，可得f' x l

16、n3 x1x 2 人-g2 sin x xx 1 x r-,1xln1x11x1ln-1x12x2 x2 x2 xsin xI.|lTZZgx sin x,1 x1時，有l(wèi)n 0 ,1 x2 x gx x0,而 f 0一一一 一 1 x0,即得 xln cosx 11 xJi11I11zzz所以xln1 x cosxll當1 x 0,有Inji0It1 x21 x2gx sin x 0,_ . 1 x0 ,即得 xln cosx1 x 可知，x ln,x , cosx 1 , 1 一 . 一 一 、一 , . . , . . . . . _ (19)(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)滿足方程f

17、 (x) f (x) 2f(x) 0及f (x)1)求表達式f (x)f(x) 2ex2)求曲線的拐點 y f(x2) ° f ( t2)dt【解析】：1)特征方程為r2 r 2 0,特征根為n1/22,齊次微分方程f (x) f (x)為 f(x) C1ex故 f (x) exC2eil2)曲線方程為y e令y''II2x.再由 f'(x) f (x) 2ex 得 2C1ex C?ee dt ,則 y' 1 2xe2x2ex,可知C1t22e dt , y'' 2x 2 1 2x ex20得x 0。為了說明x 0是y''

18、;0唯一的解，我們來討論y''在x 0和xx 0 時， 2x 0,2 1 2x2 ex2x2e dt 0 , 可知 y2x 0,2 1 2x2 ex2et dt 0 ,可知 y''同時，由上述討論可知曲線0?？芍獂 0是y'' 0唯一的解。2 x 2y f(x )0 f( t )dt在x 0左右兩邊的凹凸性相反，可知-2 x -2y f (x ) 0 f ( t )dt 唯一的拐點。(20)(本題滿分10分)Ji2f (x) 0的通解1,C2 0。x t2e dt00時的符號。當 x 0 時，0,0點是曲線111911TZZ(I)求 A(n)已知

19、線性方程組 Ax【解析】：(I)(n)b有無窮多解，求a ,并求Ax b的通解。JiI*4 1a ( 1)ll可知當要使得原線性方程組有無窮多解，則有1 a4此時，原線性方程組增廣矩陣為0i!可知導出組的基礎(chǔ)解系為線性方程組即:1101.,進01100 1步化為行最簡形得0 000010000二 J_. .1 i| - F,非齊次方程的特解為Ax b存在2個不同的解,有 |A| 0.1)2(1) 0,x1x1 時，10 0 - -1 10 x20 ,顯然不符,X311,故其通解為k1得 1或-1.I.JiII21Ill ITZZ(21)(本題滿分10分)三階矩陣AAT為矩陣A的轉(zhuǎn)置，已知r(A

20、TA)ItI*x A Ax。1)求a 2)求二次型對應的二次型矩陣，并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程?！窘馕觥浚?)由r(ATA) r(A) 2可得,2)f xTATAx x1,x2,x3 0 2 2x1x22 2 4 X32x； 2x22 4x32 4x1x2 4x2x3則矩陣B 0 2I i!2解得B矩陣的特征值為： 10; 22； 360,解1E B X 0得對應的特征向量為:IIlljlI.對于22,解2EB X 0得對應的特征向量為:對于336,解 3EB X 0得對應的特征向量為:Ji3單位化可得:i - '-Ll J-i- - I：!一二工一BK.fl I 11LITZZ132,(22)(本題滿分10分)2ii：iii1XY .已知隨機變量 X ,Y以及XY的分布律如下表所示,TZZ,(2) cov X Y,Y 與【解析】：X012P1/21/31/6-M 1 二 i下li 1 i w ' Itj JI p,二；Y=RI llff-,-1. -' 1B012P1/31/3- LtIb £1/3IIIXY0124P7/121 - Ji ./匚 L1/301/12I/、_111 P X 2Y P X 0,Y 0 P X 2,Y 1 - 0 -,