第七章直線與圓的方程

1、第七章直線與圓的方程§7.1  直線的方程基礎(chǔ)自測(cè)1.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，且傾斜角為,若將此直線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線的傾斜角為+45°，則（ ）A.0°180°B.0°135°C. 0°135°D. 0°135° 答案 D2.（2008·全國文）曲線y=x3-2x+4在點(diǎn)（1，3）處的切線的傾斜角為（ ）A.30°B.45°C.60°D.120°答案 B3.過點(diǎn)M（-2，m），N（m，4）的直線的斜率等

2、于1，則m的值為( )A.1B.4C.1或3D.1或4答案 A4.過點(diǎn)P（-1，2）且方向向量為a=（-1，2）的直線方程為（ ）A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0D.x+2y-5=0答案 A5.(2009·株州模擬)一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，2），并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 已知三點(diǎn)A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上.證明 方法一 A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=2,kBC=2，kAB=kBC，A、B、C三點(diǎn)共線.方法二 A

3、（1，-1），B（3，3），C（4，5），|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點(diǎn)共線.方法三 A（1，-1），B（3，3），C（4，5），=（2，4），=（1，2），=2.又與有公共點(diǎn)B，A、B、C三點(diǎn)共線.例2已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2 (-1x1).試求：的最大值與最小值.解 由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P（-2，-3）與曲線段AB上任一點(diǎn)（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值為8，最小值為.例3 求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），且在兩坐

4、標(biāo)軸上的截距相等；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-3），傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.解 （1）方法一 設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點(diǎn)（0，0）和（3，2），l的方程為y=x，即2x-3y=0.若a0，則設(shè)l的方程為，l過點(diǎn)（3，2），a=5，l的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由題意知，所求直線的斜率k存在且k0,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直線l的方程為：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-

5、3y=0.（2）由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2. tan=3,tan2=-.又直線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-3），因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例4 （12分）過點(diǎn)P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：（1）AOB面積最小時(shí)l的方程；（2）|PA|·|PB|最小時(shí)l的方程.解 方法一 設(shè)直線的方程為 (a2,b1),由已知可得.2分（1）2=1，ab8.SAOB=ab4. 4分當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=4,b=2時(shí)，SAOB取最小值4，此時(shí)直線l的方程為=1,即x+2y-4=0. 6分（2）由+=1,得ab-a-2b=0

6、,變形得(a-2)(b-1)=2,|PA|·|PB|=·=. 10分當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時(shí)，|PA|·|PB|取最小值4.此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0. 12分方法二 設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2) (k0),則l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）=×（4+4）=4.當(dāng)且僅當(dāng)-4k=-,即k=-時(shí)取最小值，此時(shí)直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.6分·（2）|PA|·|PB|=4,當(dāng)且僅當(dāng)=4k2,即k=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)直線l的

7、方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分1.設(shè)a，b，c是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明 A、B、C三點(diǎn)共線，kAB=kAC，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.2.（2009·宜昌調(diào)研）若實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為（ ）A. B.C. D.答案D3.（1）求經(jīng)過點(diǎn)A（-5，2）且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；（2）過點(diǎn)A（8，6）引

8、三條直線l1,l2,l3，它們的傾斜角之比為124，若直線l2的方程是y=x,求直線l1,l3的方程.解 （1）當(dāng)直線l在x、y軸上的截距都為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為y=kx,將（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此時(shí)，直線方程為y=-x,即2x+5y=0.當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時(shí)，設(shè)所求直線方程為=1，將（-5，2）代入所設(shè)方程，解得a=-，此時(shí)，直線方程為x+2y+1=0.綜上所述，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）設(shè)直線l2的傾斜角為,則tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直線l1的方程為y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程為y-6=(x-

9、8),即24x-7y-150=0.4.直線l經(jīng)過點(diǎn)P（3，2）且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OAB的面積為12，求直線l的方程.解 方法一 設(shè)直線l的方程為（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直線方程為=1,即2x+3y-12=0.方法二 設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0,得直線l在x軸上的截距a=3-,令x=0,得直線l在y軸上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直線方程為y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.一、選擇題1.直線xcos+y-1=0 (R)的傾斜角的范圍是（ ）A. B.C. D.答案D2.已知直線l過點(diǎn)（

10、a,1)，（a+1,tan +1),則（ ）A.一定是直線l的傾斜角B.一定不是直線l的傾斜角C.不一定是直線l的傾斜角D.180°-一定是直線l的傾斜角答案C3.已知直線l經(jīng)過A（2，1），B（1，m2）（mR）兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）A. B.C. D.答案 B4.過點(diǎn)（1，3）作直線l，若經(jīng)過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且aN*，bN*，則可作出的l的條數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4答案B5.經(jīng)過點(diǎn)P（1，4）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-

11、7=0答案B6.若點(diǎn)A（2，-3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是（ ）A.2x-3y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0答案A二、填空題7.（2008·浙江理，11）已知a0,若平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共線，則a= .答案 1+8.已知兩點(diǎn)A（-1，-5），B（3，-2），若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是 .答案 三、解答題9.已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m

12、=0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點(diǎn).kAP=-2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時(shí)直線x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，所求m的取值范圍是-m.方法二 過P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-.由已知-1-2, 解得-m.10.已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：（1）過定點(diǎn)A（-3，4）；（2）斜率為.解 （1）設(shè)直線l的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=

13、77;6，解得k1=-或k2=-.直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程是y=x+b,它在x軸上的截距是-6b,由已知，得|-6b·b|=6，b=±1.直線l的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.11.已知兩點(diǎn)A（-1，2），B（m，3）.（1）求直線AB的方程；（2）已知實(shí)數(shù)m，求直線AB的傾斜角的取值范圍.解 （1）當(dāng)m=-1時(shí)，直線AB的方程為x=-1,當(dāng)m-1時(shí)，直線AB的方程為y-2=(x+1).（2）當(dāng)m=-1時(shí)，=;當(dāng)m-1時(shí)，m+1，k=（-，-，.綜合知，直線AB的傾斜角.12.過點(diǎn)P

14、（3，0）作一直線，使它夾在兩直線l1：2x-y-2=0與l2:x+y+3=0之間的線段AB恰被點(diǎn)P平分，求此直線的方程.解 方法一 設(shè)點(diǎn)A（x，y）在l1上，由題意知，點(diǎn)B（6-x，-y），解方程組，得，k=.所求的直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二 設(shè)所求的直線方程為y=k(x-3),則,解得,由,解得.P(3,0)是線段AB的中點(diǎn)，yA+yB=0，即+=0，k2-8k=0，解得k=0或k=8.又當(dāng)k=0時(shí)，xA=1,xB=-3,此時(shí),k=0舍去，所求的直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.§7.2兩直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)自測(cè)1.如果直線ax+2y+

15、2=0與直線3x-y-2=0平行，那么實(shí)數(shù)a等于（ ）A.-3B.-6C.-D.答案B2.已知直線2x+y-2=0和mx-y+1=0的夾角為,那么m的值為 （ ）A.-或-3B.C.-或3D.或-3答案C3.已知過點(diǎn)A（-2，m）和B（m，4）的直線與直線2x+y=1平行，則m的值為（ ）A.0B.-8 C.2D.10答案B4.已知直線l1：y=2x+3，直線l2與l1關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線l3l2，則l3的斜率為（ ）A. B.-C.-2D.2答案C5.（2009·岳陽模擬）若直線l經(jīng)過點(diǎn)（a-2，-1）和（-a-2，1）且與經(jīng)過點(diǎn)（-2，1），斜率為-的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為

16、 .答案 -例1 已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；（2）l1l2時(shí)，求a的值.解 （1）方法一 當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí)，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a1且a0時(shí)，兩直線可化為l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 綜上可知，a=-1時(shí)，l1l2，否則l1與l2不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-1×60, l1l

17、2a=-1, 故當(dāng)a=-1時(shí)，l1l2，否則l1與l2不平行.（2）方法一 當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直，故a=1不成立.當(dāng)a1時(shí)，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由·=-1a=. 方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.例2 求過兩直線l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0的交點(diǎn)，且與直線3x+2y+1=0的夾角為的直線方程.解 設(shè)所求直線方程為x+y+1+(5x-y-1)=0,即(1+5)x+(1-)y+1-=0.因?yàn)樗笾本€與直線3x+2y+1=0的夾角為,所以tan=解得=-.所求直線方程為x+5y

18、+5=0.又直線l2:5x-y-1=0與直線3x+2y+1=0的夾角滿足tan=，故直線l2也是符合條件的一解.綜上所述，所求直線方程為x+5y+5=0或5x-y-1=0.例3 （12分）已知直線l過點(diǎn)P（3，1）且被兩平行線l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程.解 方法一 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3,此時(shí)與l1,l2的交點(diǎn)分別是A（3，-4），B（3，-9），截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.4分若直線l的斜率存在時(shí)，則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1,分別與直線l1,l2的方程聯(lián)立，由,解得A.8分由,解得B, 由

19、兩點(diǎn)間的距離公式，得+=25，解得k=0,即所求直線方程為y=1. 10分綜上可知，直線l的方程為x=3或y=1. 12分方法二 設(shè)直線l與l1,l2分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,兩式相減，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 6分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25聯(lián)立可得或, 10分由上可知，直線l的傾斜角分別為0°和90°，故所求的直線方程為x=3或y=1. 12分例4 求直線l1:y=2x+3關(guān)于直線l:y=x+1對(duì)稱的直線l2的方程.解 方法一 由知直線l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），設(shè)直線l2的

20、方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線l上任取一點(diǎn)（1，2），由題設(shè)知點(diǎn)（1，2）到直線l1、l2的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得=，解得k=(k=2舍去)，直線l2的方程為x-2y=0.方法二 設(shè)所求直線上一點(diǎn)P（x,y）,則在直線l1上必存在一點(diǎn)P1（x0,y0）與點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱.由題設(shè)：直線PP1與直線l垂直，且線段PP1的中點(diǎn)P2在直線l上.，變形得,代入直線l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直線方程為x-2y=0.1.已知兩條直線l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.當(dāng)m分別

21、為何值時(shí)，l1與l2:（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 當(dāng)m=-5時(shí)，顯然，l1與l2相交；當(dāng)m-5時(shí)，易得兩直線l1和l2的斜率分別為k1=-，k2=-，它們?cè)趛軸上的截距分別為b1=，b2=.（1）由k1k2,得-，m-7且m-1.當(dāng)m-7且m-1時(shí)，l1與l2相交.（2）由,得，m=-7.當(dāng)m=-7時(shí)，l1與l2平行.（3）由k1k2=-1,得-·=-1，m=-.當(dāng)m=-時(shí)，l1與l2垂直.2.某人在一山坡P處觀看對(duì)面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點(diǎn)P在直線l上，l與水

22、平地面的夾角為,tan=.試問，此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角BPC最大（不計(jì)此人的身高）？解 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直線l的方程為y=(x-200)tan,則y=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則P（x, ）(x200).由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得tanBPC= (x200).要使tanBPC達(dá)到最大，只需x+-288達(dá)到最小，由均值不等式x+-2882-288,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)上式取得等號(hào).故當(dāng)x=320時(shí)，tanBPC最大.這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為y=60.由此實(shí)際問題知0BP

23、C,所以tanBPC最大時(shí)，BPC最大.故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角BPC最大.3.已知三條直線l1：2x-y+a=0（a0）,直線l2:4x-2y-1=0和直線l3:x+y-1=0,且l1與l2的距離是.(1)求a的值；(2)能否找到一點(diǎn)P,使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:P是第一象限的點(diǎn);P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的;P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是.若能,求P點(diǎn)坐標(biāo);若不能,說明理由.解 (1)l2即為2x-y-=0,l1與l2的距離d=,=,=,a0,a=3.(2)假設(shè)存在這樣的P點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),若P點(diǎn)滿足條件,則P點(diǎn)在與l1、l2平行的直線l：

24、2x-y+C=0上，且=，即C=或C=，2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P點(diǎn)滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式=×，即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P點(diǎn)在第一象限，3x0+2=0不滿足題意.聯(lián)立方程，解得 (舍去).由解得假設(shè)成立，點(diǎn)P即為同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn).4.光線沿直線l1:x-2y+5=0射入，遇直線l:3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.解 方法一 由得反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1,2）.又取直線x-2y+5=0上一點(diǎn)P（-5，0），設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，由Pl可知,kPP=-=.而PP的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

25、,Q點(diǎn)在l上，3·-2·+7=0.由得根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得l的方程為29x-2y+33=0.方法二 設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點(diǎn)P（x0,y0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x,y),則,又PP的中點(diǎn)Q在l上，3×-2×+7=0,由可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化簡得29x-2y+33=0,即為所求反射光線所在的直線方程.一、 選擇題1.（2008·全國文）原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為（ ）A.1B.C.2D.答案 D2.A、B是x軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|=|PB|，若直線PA的方程為x-y+

26、1=0，則直線PB的方程為（ ）A.2x-y-1=0 B.x+y-5=0C.2x+y-7=0 D.2y-x-4=0答案 B3.已知直線l1的方向向量a=(1,3),直線l2的方向向量b=(-1,k),若直線l2經(jīng)過點(diǎn)（0，5），且l1l2，則直線l2的方程為（ ）A.x+3y-5=0 B.x+3y-15=0C.x-3y+5=0 D.x-3y+15=0答案 B4.已知三條直線l1:y=x-1,l2:y=1,l3:x+y+1=0,l1與l2的夾角為,l2與l3的夾角為，則+的值為（ ）A.75°B.105° C.165°D.195°答案B5.曲線f（x，y）

27、=0關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的曲線方程是（ ）A.f(y+2,x)=0 B.f(x-2,y)=0C.f(y+2,x-2)=0 D.f(y-2,x+2)=0答案C6.設(shè)ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A（3，-1），B，C的平分線方程分別為x=0，y=x，則直線BC的方程是（ ）A.y=2x+5 B.y=2x+3C.y=3x+5 D.y=-x+答案A二、填空題7.設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1），則當(dāng)點(diǎn)B（2，-1）與直線l的距離最遠(yuǎn)時(shí)，直線l的方程為 .答案 3x-2y+5=08.直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M（1，-1）對(duì)稱的直線方程是 .答案 2x+3y+8=0三、解答題9.已知直線l1:x+my+6=0

28、,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得：（1）l1與l2相交；（2）l1l2;(3)l1l2;(4)l1,l2重合.解（1）由已知1×3m(m-2),即m2-2m-30,解得m-1且m3.故當(dāng)m-1且m3時(shí)，l1與l2相交.（2）當(dāng)1·（m-2）+m·3=0，即m=時(shí)，l1l2.（3）當(dāng)=,即m=-1時(shí)，l1l2.（4）當(dāng)=，即m=3時(shí)，l1與l2重合. 10.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形ABCD為直角梯形（A、B、C、D按逆時(shí)針方向排列）.解 設(shè)所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），如圖所示，由于kAB=3，kBC=

29、0，kAB·kBC=0-1，即AB與BC不垂直，故AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊.（1）若CD是直角梯形的直角邊，則BCCD，ADCD，kBC=0，CD的斜率不存在，從而有x=3.又kAD=kBC，=0，即y=3.此時(shí)AB與CD不平行.故所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，3）.（2）若AD是直角梯形的直角邊，則ADAB，ADCD，kAD=，kCD=.由于ADAB，·3=-1.又ABCD，=3.解上述兩式可得此時(shí)AD與BC不平行.故所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為,綜上可知，使ABCD為直角梯形的點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為（3，3）或.11.一條光線經(jīng)過P（2，3）點(diǎn)，射在直線l:x+y+1=0上，反射后穿

30、過Q（1，1）.（1）求光線的入射方程；（2）求這條光線從P到Q的長度.解 （1）設(shè)點(diǎn)為關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)且交l于M點(diǎn)，kl=-1，kQQ=1.所在直線方程為y-1=1·（x-1）即x-y=0.由解得l與QQ的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為.又M為QQ的中點(diǎn)，由此得.解之得（-2，-2）.設(shè)入射線與l交點(diǎn)N，且P，N，共線.則P（2，3），（-2，-2），得入射線方程為，即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分線，因而|NQ|=.|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=,即這條光線從P到Q的長度是.12.已知直線l經(jīng)過兩條直線l1:x+2y=0與l2:3x-4y-10=0的交點(diǎn)，且與直線l3:

31、5x-2y+3=0的夾角為,求直線l的方程.解 由解得l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）.設(shè)所求直線l的方程為y+1=k(x-2).又,由l與l3的夾角為得tan=,即1=或k=.故所求的直線l的方程為y+1=-(x-2)或y+1=(x-2),即7x+3y-11=0或3x-7y-13=0.§7.3 簡單的線性規(guī)劃基礎(chǔ)自測(cè)1.已知點(diǎn)A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），則表示ABC的邊界及其內(nèi)部的約束條件是 .答案 2.（2008·天津理，2）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=5x+y的最大值為（ ） A.2 B.3C.4D.5答案D3.若點(diǎn)（1，3）和（-4，

32、-2）在直線2x+y+m=0的兩側(cè)，則m的取值范圍是 （ ） A.m<-5或m10B.m=-5或m=10 C.-5m10D.-5m10答案C4.（2008·北京理，5）若實(shí)數(shù)x，y滿足則z=3x+2y的最小值是（ ）A.0B.1C.D.9答案B5.（2008·福建理，8）若實(shí)數(shù)x、y滿足則的取值范圍是（ ）A.（0，1）B.（0，1C.（1，+）D.1，+）答案C例1 畫出不等式組表示的平面區(qū)域,并回答下列問題:(1)指出x,y的取值范圍;(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)?解 (1)不等式x-y+50表示直線x-y+5=0上及右下方的點(diǎn)的集合.x+y0表示直線x+y=0上

33、及右上方的點(diǎn)的集合, x3表示直線x=3上及左方的點(diǎn)的集合.則U. 所以,不等式組.表示的平面區(qū)域如圖所示.結(jié)合圖中可行域得x,y-3,8.(2)由圖形及不等式組知當(dāng)x=3時(shí),-3y8,有12個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=2時(shí),-2y7,有10個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=1時(shí),-1y6,有8個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=0時(shí)，0y5，有6個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x=-1時(shí),1y4,有4個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=-2時(shí),2y3,有2個(gè)整點(diǎn);平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2+4+6+8+10+12=42(個(gè)).例2 （2008·湖南理，3）已知變量x、y滿足條件則x+y的最大值是（ ）A.2B.5C.6D.8答案C例3 （12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃每天每種

34、產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時(shí)，勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦時(shí)，勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元；但每天用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時(shí)，勞力只有300個(gè).問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使利潤總額達(dá)到最大？解 設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元，1分則線性約束條件為4分目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y, 6分作出可行域如圖， 8分作出一組平行直線7x+12y=t,當(dāng)直線經(jīng)過直線4x+5y=200和直線3x+10y=300的交點(diǎn)A（20，24）時(shí)，利潤最大. 10分即生產(chǎn)甲

35、、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時(shí)，利潤總額最大，zmax=7×20+12×24=428（萬元）.答 每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸、乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達(dá)到最大. 12分1.（2008·浙江理，17）若a0，b0，且當(dāng)時(shí)，恒有ax+by1，則以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于 .答案 12.（2008·全國理，13）若x，y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為 .答案 93.某家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子兩種家具，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個(gè)小時(shí)做一把椅子，八個(gè)小時(shí)做一張書桌，該公司每星期木工最多有8 000個(gè)工作時(shí)；漆

36、工平均兩小時(shí)漆一把椅子，一個(gè)小時(shí)漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1 300個(gè)工作時(shí).又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，根據(jù)以上條件，怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤？解 依題意設(shè)每星期生產(chǎn)x把椅子，y張書桌，那么利潤p=15x+20y.其中x,y滿足限制條件.即點(diǎn)（x,y）的允許區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它們的邊界分別為4x+8y=8 000 (即AB)，2x+y=1 300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）.對(duì)于某一個(gè)確定的=滿足=15x+20y,且點(diǎn)（x,y)屬于解x,y就是一個(gè)能獲得元利潤的生產(chǎn)方案.對(duì)于不同的p,p=15x+20y表示一組斜率為-的平行線，且p越

37、大，相應(yīng)的直線位置越高；p越小，相應(yīng)的直線位置越低.按題意，要求p的最大值，需把直線p=15x20y盡量地往上平移，又考慮到x，y的允許范圍，當(dāng)直線通過B點(diǎn)時(shí)，處在這組平行線的最高位置，此時(shí)p取最大值.由,得B（200，900），當(dāng)x=200,y=900時(shí)，p取最大值，即pmax=15×200+20×900=21 000,即生產(chǎn)200把椅子、900張書桌可獲得最大利潤21 000元. 一、選擇題1.（2008·全國理，5）設(shè)變量x,y滿足約束條件:則z=x-3y的最小值為 （ ）A.-2 B.-4C.-6D.-8答案D2.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a

38、的取值范圍是 ( )A.a B.0a1C.1a D.0a1或a答案D3.已知平面區(qū)域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m等于（ ）A.-2B.-1C.1D.4答案C4.（2008·山東理，12）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸,使函數(shù)y=ax（a0,a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（ ）A.1,3B.2,C.2,9D.,9答案C5.（2009·武漢模擬）如果實(shí)數(shù)x，y滿足目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為12，最小值為3，那么實(shí)數(shù)k的值為（ ）A.2 B.

39、-2C.D.不存在答案A6.（2007·江蘇，10）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A=(x,y)|x+y1,且x0,y0,則平面區(qū)域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面積為（ ）A.2B.1C. D.答案B二、填空題7.（2008·安徽理，15）若A為不等式組，表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 .答案 8.設(shè)集合A=(x,y)|y|x-2|,x0,B=(x,y)|y-x+b,AB.(1)b的取值范圍是 ；（2）若(x,y)AB,且x+2y的最大值為9,則b的值是 .答案 （1）2,+) （2）三、解答題9.

40、已知實(shí)數(shù)x、y滿足，試求z=的最大值和最小值.解 由于z=，所以z的幾何意義是點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)M（-1，-1）連線的斜率，因此的最值就是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)M（-1，-1）連線的斜率的最值，結(jié)合圖可知：直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此時(shí)x=0，y=2；zmin=kMC=，此時(shí)x=1，y=0.10.已知變量x,y滿足的約束條件為若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a0)僅在點(diǎn)（3，0）處取得最大值，求a的取值范圍.解 依據(jù)約束條件，畫出可行域.直線x+2y-3=0的斜率k1=-,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y (a0)對(duì)應(yīng)直線的斜率k2=-a,若符合題意，則須k1k2,即-a,得a.

41、11.兩種大小不同的鋼板可按下表截成A,B,C三種規(guī)格成品:規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123某建筑工地需A，B，C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問怎樣截這兩種鋼板，可得所需三種規(guī)格成品，且所用鋼板張數(shù)最小.解 設(shè)需要第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)為z張，z=x+y,約束條件為：作出可行域如圖所示：令z=0，作出基準(zhǔn)直線l:y=-x,平行移動(dòng)直線l發(fā)現(xiàn)在可行域內(nèi)，經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點(diǎn)A可使z取最小，由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x,y）中，x,y必須都是整數(shù)，可行域內(nèi)點(diǎn)A不是最優(yōu)解；通過在可行域內(nèi)畫網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過可行域

42、內(nèi)的整點(diǎn)且與A點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C（4，8），它們都是最優(yōu)解.答 要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種：第一種截法是截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張，第二種鋼板8張；兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.12.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)=x3+ax2+2bx+c,當(dāng)x(0,1)時(shí)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí)取得極小值,求點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積以及的取值范圍.解 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=x2+ax+2b,當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)取得極小值,則方程x2+

43、ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),由二次函數(shù)f(x)=x2+ax+2b的圖象與方程x2+ax+2b=0根的分布之間的關(guān)系可以得到在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BD(不包括邊界),如圖陰影部分,其中點(diǎn)A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),ABD的面積為SABD=|BD|×h=(h為點(diǎn)A到a軸的距離).點(diǎn)C(1,2)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率為,顯然(kCA,kCB),即§7.4 曲線與方程基礎(chǔ)自測(cè)1.已知坐標(biāo)滿足方程F(x，y)=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么（ ）A.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程F（x

44、，y）=0B.凡坐標(biāo)不適合F（x，y）=0的點(diǎn)都不在C上C.不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合F（x，y）=0，有些不適合F（x，y）=0D.不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合F（x，y）=0答案D2.到兩定點(diǎn)A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.橢圓 B.AB所在的直線C.線段AB D.無軌跡答案C3.動(dòng)點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于2，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形面積是（ ）A.2 B.4 C.8D.不存在答案C4.（2008·北京理，4）若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比它到點(diǎn)（2，0）的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為（ ）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案D5.已知直線l的方程是f（

45、x，y）=0，點(diǎn)M（x0，y0）不在l上，則方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲線是 （ ）A.直線l B.與l垂直的一條直線C.與l平行的一條直線D.與l平行的兩條直線答案C例1 如圖所示，過點(diǎn)P（2，4）作互相垂直的直線l1、l2.若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,M是線段AB的中點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x,0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2y）.=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.例2（5分）在ABC

46、中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B,C且滿足條件sinC-sinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是（ ）A.=1 (y0)B.=1 (x0)C.=1（y0）的左支D.=1（y0)的右支答案D例3 如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解 設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為（x1，y1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則在RtABP中，|AR|=|PR|，又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理有RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-

47、4x1-10=0.因?yàn)镽為PQ的中點(diǎn)，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+y2=56.這就是Q點(diǎn)的軌跡方程.1.已知兩點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|+ ·=0，求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.解 由題意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,|+·=0，·+（x-2）·4+y·0=0，兩邊平方，化簡得y2=-8x.2.已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x-3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解 如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因?yàn)閨MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為x2-=1 (x-1).3.（