八年級數(shù)學上冊 勾股定理的證明方法課件 華東師大版

1、勾股定理及其逆定理全章的復習一、 本周的重點是：勾股定理及其逆定理的應用本周的難點是：勾股定理及其逆定理的應用1. 勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長：a、b、c有關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。2. 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如：C，但不要認為最大邊一定是C）（2）驗證c2與a2

2、+b2是否具有相等關系，若c2=a2+b2，則ABC是以C為直角的三角形。（若c2>a2+b2則ABC是以C為鈍角的三角形，若c2<a2+b2則ABC是以C為銳角三角形）二、例題分析例1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。解：設此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得：（3x）2+（4x）2=202化簡得x2=16；直角三角形的面積=×3x×4x=6x2=96注：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。例2、等邊三角形的邊長為2，求它的面積。解：如圖，等邊ABC，作ADBC于D則：BD

3、=BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）AB=AC=BC=2（等邊三角形各邊都相等）BD=1在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2BD2=41=3AD=SABC=BC·AD=注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a例3、直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。解：設此直角三角形兩直角邊分別是x，y，根據(jù)題意得：由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49 (3)(3)(2)，得：xy=12直角三角形的面積是xy=×12=6（cm2）例4、在銳角ABC中，已知其兩邊a=1，b=

4、3，求第三邊的變化范圍。分析：顯然第三邊ba<c<b+a，但這只是能保證三條邊能組成一個三角形，卻不能保證它一定是一個銳角三角形，為此，先求ABC為直角三角形時第三邊的值。解：設第三邊為c，并設ABC是直角三角形 當?shù)谌吺切边厱r，c2=b2+a2，c= 當?shù)谌叢皇切边厱r，則斜邊一定是b，b2=a2+c2，c=2（即）ABC為銳角三角形所以點A應當繞著點B旋轉(zhuǎn)，使ABC成為銳角（如圖），但當移動到點A2位置時ACB成為直角。故點A應當在A1和A2間移動，此時2<AC<注：此題易忽視或中一種情況，因為假設中并沒有明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要考慮。例5、以下列各

5、組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，對數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2a2=（ca）（c+a）來判斷。例如：對于選擇支D，82（40+39）×（4039），以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。答案：A例6、四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。解：連結(jié)ACB=90°，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2

6、+CD2=AD2ACD=90°（勾股定理逆定理）S四邊形ABCD=SABC+SACD=AB·BC+AC·CD=36本題是一個典型的勾股定理及其逆定理的應用題。例7、若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。分析：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2化簡得：n2=4n=±2，但當n=2時，n+1=1<0，n=2三、練習題1、等腰三角形的兩邊長為4和2，則底邊上的高是_，面積是_。2、一個直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則它

7、的各邊長為_。3、一個直角三角形一條直角邊為16cm，它所對的角為60°，則斜邊上的高為_。4、四個三角形的邊長分別是3，4，5 4，7，87,24,253,4,5其中是直角三角形的是（ ）A、B、C、D、5、如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是（ ）A、1：2：4B、！：3：5C、3：4：7D、5：12：136、已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90°，求證：A+C=180°。7、已知直角三角形中，兩邊的長為3、4，求第三邊長。8、ABC中，C=90°，a=5，cb=1，求b，c的長。9、如圖：ABC中，AD是角平分線，AD=BD，AB=2AC。求證：ACB是直角三角形。三、練習題解答1、，2、6，8，103、8cm4、D5、D6、本題類似于例6，需連結(jié)AC證出ACD也是直角三角形，從而1+2=90°，3+4=90°，DAB+DCB=180°7、解：設第三邊長為x, 當?shù)谌吺切边厱r：x2=32+42=25，即x=5 當?shù)谌叢皇切边厱r，則斜邊長為4：x2=4232，即x=8、此題類似于例3解：根據(jù)題意得：9、證明：作DEAB于EAD=BD,DEAB2AE=A