2011年高中數(shù)學(xué) 8《最小二乘估計(jì)》教案 北師大版必修3

1、最小二乘估計(jì)教學(xué)目標(biāo)：1、掌握最小二乘法的思想 2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程教學(xué)重點(diǎn)：最小二乘法的思想教學(xué)難點(diǎn)：線性回歸方程系數(shù)公式的應(yīng)用教學(xué)過程回顧：上節(jié)課我們討論了人的身高與右手一拃長之間的線性關(guān)系，用了很多種方法來刻畫這種線性關(guān)系，但是這些方法都缺少數(shù)學(xué)思想依據(jù)。問題1、用什么樣的線性關(guān)系刻畫會(huì)更好一些？想法：保證這條直線與所有點(diǎn)都近（也就是距離最小）。最小二乘法就是基于這種想法。問題2、用什么樣的方法刻畫點(diǎn)與直線的距離會(huì)方便有效？設(shè)直線方程為y=a+bx，樣本點(diǎn)A（xi，yi）方法一、點(diǎn)到直線的距離公式 方法二、顯然方法二能有效地表示點(diǎn)A與直線y=a+bx的距離

2、，而且比方法一更方便計(jì)算，所以我們用它來表示二者之間的接近程度。問題3、怎樣刻畫多個(gè)點(diǎn)與直線的接近程度？例如有5個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度： 從而我們可以推廣到n個(gè)樣本點(diǎn)：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度：使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法問題4、怎樣使達(dá)到最小值？先來討論3個(gè)樣本點(diǎn)的情況設(shè)有3個(gè)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個(gè)點(diǎn)的接近程度由下面表

3、達(dá)式刻畫：整理成為關(guān)于a的一元二次函數(shù)，如下所示： 利用配方法可得從而當(dāng)時(shí)，使得函數(shù)達(dá)到最小值。將代入式，整理成為關(guān)于b的一元二次函數(shù)， 同樣使用配方法可以得到，當(dāng)時(shí)，使得函數(shù)達(dá)到最小值。從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a，b，且稱直線y=a+bx為這3個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程。用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)的線性回歸方程的系數(shù)：其中由我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過。例題與練習(xí)例1 在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表氣溫（xi）oC261813104-1杯數(shù)（yi）杯202434385064（） 試用最小二乘法求

4、出線性回歸方程。（） 如果某天的氣溫是3 oC，請(qǐng)預(yù)測可能會(huì)賣出熱茶多少杯。解：（1）先畫出其散點(diǎn)圖ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006164164合計(jì)7023012861910可以求得 則線性回歸方程為 y =57.5571.648x（2）當(dāng)某天的氣溫是3 oC時(shí)，賣出熱茶的杯數(shù)估計(jì)為：練習(xí)1 已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過點(diǎn) ( D )x0123y1357 （A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）練習(xí)2 某連鎖經(jīng)營公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：商店名稱ABCDE銷售額（x）/千萬元35679利潤額（y）/百萬元23345（） 畫出銷售額和利潤額的散點(diǎn)圖；（） 若銷售額和利潤額具有相關(guān)關(guān)系，計(jì)算利潤額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程。解：（1）（2）數(shù)據(jù)如下表：ixiyixi2xiyi132962532515363361847449285958145合計(jì)3017200