北京四中高中數(shù)學(xué) 函數(shù)及其表示方法基礎(chǔ)知識講解 新人教A版必修1

1、函數(shù)及其表示方法 【學(xué)習(xí)目標】(1)會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法了解每種方法的優(yōu)點在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).(3)求簡單分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用【要點梳理】要點一、函數(shù)的概念1函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

2、；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.要點詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性。2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))；兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).3區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示區(qū)間表示： x

3、|axb=a，b； ；.要點二、函數(shù)的表示法1函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值.2分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況要點三、映射與函數(shù)1.映射定義：設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的映射；記

4、為f：AB.象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要點詮釋：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為f(a).2.如何確定象與原象對于給出原象要求象的問題，只需將原象代入對應(yīng)關(guān)系中，即可求出象.對于給出象，要求原象的問題，可先假設(shè)原象，再代入對應(yīng)關(guān)系中得已知的象，從而求出原象；也可根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，由象逆推出原象.3.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系：設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，若f：AB是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).要點詮釋：(1

5、)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定義域，值域=象集合.4.函數(shù)定義域的求法(1)當函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義.(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表

6、示.5.函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為

7、幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.【典型例題】類型一、函數(shù)的概念例1：下列式子是否能確定是的函數(shù)？（1）（2）（3）.【答案】（1）不能 （2）能（3）不能【解析】（1）由得，因此由它不能確定是的函數(shù)，如當時，由它所確定的值有兩個，即y=.（2）由得，當在中任取一個值時，由它可以確定唯一的值與之對應(yīng)，故由它可以確定是的函數(shù).（3）由得，故由它不能確定是的函數(shù).【總結(jié)升華】判斷由一個式子是否能確定是的函數(shù)的程序是

8、：對于由式子有意義所確定的的取值的集合中任意一個的值，由式子是否可確定唯一的一個的值與之對應(yīng)，也可以看由式子解出的的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自變量在定義域內(nèi)取任意一個值，其函數(shù)值必須對應(yīng)著唯一的值.【高清課程：函數(shù)的概念與定義域 356673 例2】例2下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個函數(shù)，為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；【思路點撥】對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立.【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1) 的定義域不同，前者是，后者是，因此是不同的函數(shù)；(2)，因此的對應(yīng)關(guān)系

9、不同，是不同的函數(shù)；(3) 的對應(yīng)關(guān)系不同，因此是不相同的函數(shù)；(4) 的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù).【總結(jié)升華】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應(yīng)法則，其中核心是對應(yīng)法則，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征.只有當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：(1)定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；(2)對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.舉一反三：【變式1】判斷下列命題的真假(1)y=x-1與是同一函數(shù)；(2)與y=|x|是同一函數(shù)；(3)是

10、同一函數(shù)；(4)與g(x)=x2-|x|是同一函數(shù).【答案】(1)、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題【解析】從函數(shù)的定義及三要素入手判斷是否是同一函數(shù)，有(1)、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.類型二、函數(shù)定義域的求法例3.求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).(1)； (2)；(3).【思路點撥】由定義域概念可知定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍. (1)是分式，只要分母不為0即可；(2)是二次根式，需根式有意義；(3)只要使得根式和分式都有意義即可【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)的定義域為x2-30，；(2)；(3).【總結(jié)升華】使解析式有意義的常見形式有分式分母不為

11、零；偶次根式中，被開方數(shù)非負.當函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）：(1)；(2)；（3）.【答案】（1）(-，-1)(-1，3)(3，+)；（2）；（3）【解析】(1)當|x-1|-2=0，即x=-1或x=3時，無意義，當|x-1|-20，即x-1且x3時，分式有意義，所以函數(shù)的定義域是(-，-1)(-1，3)(3，+)；(2)要使函數(shù)有意義，須使，所以函數(shù)的定義域是；(3)要使函數(shù)有意義，須使，所以函數(shù)的定義域為.【總結(jié)升華】小結(jié)幾類函

12、數(shù)的定義域：(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合；(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；(即求各集合的交集)(5)滿足實際問題有意義.類型三、求函數(shù)的值及值域例4. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)；(3)f(g(x)，g(f(x)【思路點撥】根據(jù)函數(shù)符號的意義，可以知道f(g(

13、2)表示的是函數(shù)f(x)在x=g(2)處的函數(shù)值，其它同理可得【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55【解析】(1)f(2)=222-32-25=-23；g(2)=22-5=-1；(2)f(g(2)=f(-1)=2(-1)2-3(-1)-25=-20；g(f(2)=g(-23)=2(-23)-5=-51；(3)f(g(x)=f(2x-5)=2(2x-5)2-3(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.【總結(jié)升華】求函數(shù)值時，遇到本例題中(2)(3)(

14、這種類型的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f(g(x)，里層函數(shù)就是g(x)，外層函數(shù)就是f(x)，其對應(yīng)關(guān)系可以理解為，類似的g(f(x)為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果.例5. 求值域(用區(qū)間表示)：(1)y=x2-2x+4，；.【答案】（1）7，28 3，12；（2）；（3）(-，1)(1，+)【解析】(1)法一：配方法求值域，當時，值域為7，28；當時，值域為3，12法二：圖象法求值域二次函數(shù)圖象（如下圖）的開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以當時，值域為7，28；當時，值域為3，12(2)

15、；(3)，函數(shù)的值域為(-，1)(1，+).【總結(jié)升華】（1）求函數(shù)的值域問題關(guān)鍵是將解析式作變形，通過觀察或利用熟知的基本函數(shù)的值域，逐步推出函數(shù)的值域（2）求函數(shù)的值域沒有固定的方法和模式，要靠自己經(jīng)驗的積累，掌握規(guī)律求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系（解析式）的作用，而且要注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用別忘了，函數(shù)的圖象在求函數(shù)的值域中也起著十分重要的作用舉一反三：【變式1】 求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1），即所求函數(shù)的值域為；（2），即函數(shù)的值域為；（3）函數(shù)的定義域為，即函數(shù)的值域為（4）所求函數(shù)的值域為類型四、映射與函數(shù)

16、【高清課程：函數(shù)的概念與定義域 例1】例6. 判斷下列對應(yīng)哪些是從集合A到集合B的映射，哪些是從集合A到集合B的函數(shù)？（1）A=直角坐標平面上的點，B=（x，y）|，對應(yīng)法則是：A中的點與B中的（x，y）對應(yīng)（2）A=平面內(nèi)的三角形，B=平面內(nèi)的圓，對應(yīng)法則是：作三角形的外接圓；（3）A=N，B=0，1，對應(yīng)法則是：除以2的余數(shù)；（4）A=0，1，2，B=4，1，0，對應(yīng)法則是f：（5）A=0，1，2，B=0，1， ，對應(yīng)法則是f：【思路點撥】根據(jù)映射定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一”【解析】(1)是映射，不是函數(shù)，因為集合A、B不是數(shù)集，是點集；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(

17、三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與之對應(yīng)，這是因為不共線的三點可以確定一個圓；不是函數(shù)(3)是映射，也是函數(shù)，函數(shù)解析式為（4）是映射，也是函數(shù)（5）對于集合A中的元素“0”，由對應(yīng)法則“取倒數(shù)”后，在集合B中沒有元素與它對應(yīng)，所以不是映射，也不是函數(shù) 【總結(jié)升華】判斷一個對應(yīng)是不是映射和函數(shù)，要根據(jù)映射和函數(shù)的定義去判斷，函數(shù)一定是映射，反過來，映射不一定是函數(shù)，從數(shù)集到數(shù)集的映射才是函數(shù)舉一反三：【變式1】下列對應(yīng)哪些是從A到B的映射？是從A到B的一一映射嗎？是從A到B的函數(shù)嗎？(1)A=N，B=1，-1，f：xy=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：xy=|x-

18、3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是從A到B的映射也是從A到B的函數(shù)，但只有(6)是從A到B的一一映射；(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A到B的函數(shù).類型五、函數(shù)解析式的求法例7. 求函數(shù)的解析式(1)若，求；(2)若，求；(3)已知，求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】求函數(shù)的表達式可由兩種途徑.(1)用代入法， (2)法一：換元法令，則，所以即：.法二：湊配法=，所以(3) ，用代替上式中的，得 由聯(lián)立，消去，得故所求的函數(shù)為【

19、總結(jié)升華】（1）由求，一般使用代入法；（2）湊配法和換元法有時可以并用，而換元法更具有一般性，同時，在使用換元法時一定要注意新元的取值范圍；（3）若解析式中的兩個變量具有互為倒數(shù)或互為相反數(shù)的特征，可聯(lián)立方程組用消元法解出的解析式舉一反三：【變式1】已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)【答案】f(x)=x2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，x=t-1，f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x2+2x-1；(法3)設(shè)f(x)=ax2+bx+c則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+ca(x+1)2+b(x+1)+