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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第1節(jié) 數(shù)學(xué)期望 第2節(jié) 方差 綜合講練l 要覽題型一 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差l 提示熟記有關(guān)定義、性質(zhì)、常用結(jié)論l 辨析設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 ( 或 )連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 ( )1、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義 P87定義1、P88定義2隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值) Mathematical Expectation ( Mean Value )假設(shè) 級數(shù)收斂 (即) 積分收斂 (即)l 典型模式表示連續(xù)型隨機(jī)變量在點(diǎn)處長度為的區(qū)間內(nèi)取值的概率l 歸納隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)表示隨機(jī)變量取值的平均值(實(shí)測值)的穩(wěn)定值,是一個理論值
2、(期望值)2、隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義 P94定義1(1)隨機(jī)變量的方差(Variance) 隨機(jī)變量的離差平方的數(shù)學(xué)期望(均值)l 假設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在,且,l 典型模式表示連續(xù)型隨機(jī)變量在點(diǎn)處長度為的區(qū)間內(nèi)取值的概率(2)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差(或均方差)Standard Variance稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差(或均方差),即3、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(1) 一維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值) P89定理1l 假設(shè),l 注意隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值)即為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)l 典型模式離散求和連續(xù)累加注: (i)定理的重要性在于:求時, 不必知道的分布, 只需知道的分布即
3、可. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來很大方便.(2) 二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值) P89定理2設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為 ( )二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ( )則定義,二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值)l 假設(shè),l 注意二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值)即為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)4、數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)設(shè)、為隨機(jī)變量,、為常數(shù),由定義可證(1) 如果(又稱服從退化分布),則又記為 (常數(shù)的數(shù)學(xué)期望為其本身) (常數(shù)的方差為零)(2)如果,均存在,則 (常數(shù)因子可以從數(shù)學(xué)期望記號中提出) (常數(shù)因子從方差記號中提出后變?yōu)槠椒剑?) 如果,均存在,則
4、(4) 對任一隨機(jī)變量,如果,均存在,則的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量滿足(5) 如果,均存在,則 (為正整數(shù))(6)如果隨機(jī)變量、相互獨(dú)立(即,對任意實(shí)數(shù),有 ) ,且,均存在,則 (乘積的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望的乘積) (和的方差等于方差的和)如果隨機(jī)變量(為正整數(shù))相互獨(dú)立,則(7)如果、均存在,則 (方差的簡算公式)其中,( 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 ( 或 )連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為( ) )(8)切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ,方差均存在,則對任一正數(shù),有或(9)柯西-施瓦茲()不等式如果、均存在,則存在,且5、常用結(jié)論(常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差)參見第2章第2,3,4節(jié)
5、 - 常見隨機(jī)變量的概率分布數(shù)字特征典型模式表【引例】觀察一名射手20次射擊的成績?nèi)缦拢喝藗兂3J褂谩捌骄邪协h(huán)數(shù)” (記為)來對射手進(jìn)行綜合評價,易求出 即,“平均中靶環(huán)數(shù)”為 ( 次試驗(yàn)中,中靶環(huán)數(shù)的頻率為 )當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時,中靶環(huán)數(shù)的頻率將趨于一個穩(wěn)定值- 中靶環(huán)數(shù)的概率: ()故當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時,“平均中靶環(huán)數(shù)” 將趨于一個穩(wěn)定值- ( 稱為中靶環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望)l 歸納離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例1】【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例2】【辨析】利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例3】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利
6、用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例4】(教材P88例3)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例5】(教材P88例4)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例6】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用密度函數(shù)的性質(zhì)、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例7】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例8】(教材P90例5)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定義二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值)【§4.1例9】(教材P90例6)【辨析】利用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定義二維隨機(jī)
7、變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值)【§4.1例10】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定義【§4.1例11】(教材P90例7)【辨析】利用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定義二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值)【§4.1例12】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(5)如果,均存在,則 (為正整數(shù))(7)如果、均存在,則 (方差的簡算公式)其中,( 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 ( 或 )連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為( ) )【§4.1例13】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)(5)如果,均存在,則 (為正整數(shù))【
8、7;4.1例14】(教材P92例8)【辨析】利用數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)【§4.1課堂練習(xí)1】【§4.1課堂練習(xí)2】【§4.1課堂練習(xí)3】【習(xí)題4-1 EX1】【習(xí)題4-1 EX2】【習(xí)題4-1 EX3】【習(xí)題4-1 EX4】【習(xí)題4-1 EX5】【習(xí)題4-1 EX6】【習(xí)題4-1 EX7】【習(xí)題4-1 EX8】【習(xí)題4-1 EX9】【習(xí)題4-1 EX10】【習(xí)題4-1 EX11】【§4.2 例1】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)(5) 如果,均存在,則 (為正整數(shù))(6)如果隨機(jī)變量、相互獨(dú)立(即,對任意實(shí)數(shù),有 ) ,且,均存
9、在,則 (乘積的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望的乘積) (和的方差等于方差的和)如果隨機(jī)變量(為正整數(shù))相互獨(dú)立,則(7)如果、均存在,則 (方差的簡算公式)其中,( 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 ( 或 )連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為( ) )【§4.2 例2】(教材P94例1)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)(7)如果、均存在,則 (方差的簡算公式)其中,( 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為 ( 或 )連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為( ) )【§4.2 例3】(教材P95例2)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例4】(教材P96例
10、3)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例5】(教材P96例4)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例6】(第2版課件補(bǔ)充)【§4.2 例7】(教材P96例5)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例8】(教材P97例6)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例9】(教材P98例7)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例10】(教材P98例8)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例11】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例12】(第2版課件補(bǔ)充)【辨析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 課堂練習(xí)1】【§4.2 課堂練習(xí)2】【習(xí)題4-2 EX1】【習(xí)題4-2 EX2】【習(xí)題4-2 EX3】【習(xí)題4-2 EX4】【習(xí)題4-2 EX5】【習(xí)題4-2 EX6】【習(xí)題4-2 EX7】【總習(xí)題四 EX1】【總習(xí)題四 EX2】【總習(xí)題四 EX3】【總習(xí)題四 EX4】【總習(xí)題四 EX5】【總習(xí)題四 EX6】【總習(xí)題四 EX7】【總習(xí)
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