高中數(shù)學(xué)：第一章：集合（競賽精講）

1、第一章 集合集合是高中數(shù)學(xué)中最原始、最基礎(chǔ)的概念，也是高中數(shù)學(xué)的起始單元，是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在：集合思想、集合語言和集合的符號在高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、立體幾何與解析幾何中都被廣泛地使用.在高考試題和數(shù)學(xué)競賽中，很多問題可以用集合的語言加以敘述.集合不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是支撐現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的問題.1.1 集合的概念與運(yùn)算【基礎(chǔ)知識】一集合的有關(guān)概念1集合：具有某些共同屬性的對象的全體，稱為集合.組成集合的對象叫做這個集合的元素.2集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.3集合的分類：無限集、有限集、

2、空集.4. 集合間的關(guān)系：二集合的運(yùn)算1交集、并集、補(bǔ)集和差集差集：記A、B是兩個集合，則所有屬于A且不屬于B的元素構(gòu)成的集合記作.即且.2.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1),(冪等律);(2), (交換律);(3), (結(jié)合律);(4),(分配律);(5),(吸收律);(6)(對合律);(7), (摩根律)(8),.3.集合的相等(1)兩個集合中元素相同,即兩個集合中各元素對應(yīng)相等;(2)利用定義,證明兩個集合互為子集;(3)若用描述法表示集合,則兩個集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件),即等價;(4)對于有限個元素的集合,則元素個數(shù)相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集合相等的必要條件.【典例精

3、析】【例1】在集合中,任意取出一個子集,計算它的各元素之和.則所有子集的元素之和是 .分析已知的所有的子集共有個.而對于,顯然中包含的子集與集合的子集個數(shù)相等.這就說明在集合的所有子集中一共出現(xiàn)次,即對所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和為=說明本題的關(guān)鍵在于得出中包含的子集與集合的子集個數(shù)相等.這種一一對應(yīng)的方法在集合問題以及以后的組合總是中應(yīng)用非常廣泛.【例2】已知集合且,求參數(shù)的取值范圍.分析首先確定集合A、B,再利用的關(guān)系進(jìn)行分類討論.【解】由已知易求得當(dāng)時,由知無解;當(dāng)時,顯然無解; 當(dāng)時, ,由解得綜上知,參數(shù)的取值范圍是.說明本題中,集合的定義是一個二次三項式,那么尋于

4、集合B要分類討論使其取值范圍數(shù)字化,才能通過條件求出參數(shù)的取值范圍.【例3】已知,集合.若,則的值是( )A.5 B.4 C.25 D.10【解】,且及集合中元素的互異性知,即,此時應(yīng)有而,從而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也滿足(1)式.說明本題主要考查集合相等的的概念,如果兩個集合中的元素個數(shù)相等,那么兩個集合中對應(yīng)的元素應(yīng)分別相等才能保證兩個集合相等.而找到這種對應(yīng)關(guān)系往往是解決此類題目的關(guān)鍵.【例4】已知集合.若,求+的值.分析從集合A=B的關(guān)系入手,則易于解決.【解】,根據(jù)元素的互異性,由B知.且,故只有,從而又由及,得所以或,其中與元素的互異性矛盾!所以代入得

5、:+=()+2+()+2+()+2=0.說明本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的必要條件,即兩個集合相等,則兩個集合中,各元素之和、各元素之積及元素個數(shù)相等.這是解決本題的關(guān)鍵.【例5】已知A為有限集,且,滿足集合A中的所有元素之和與所有元素之積相等,寫出所有這樣的集合A. 【解】設(shè)集合A=且,由,得,即或(事實上,當(dāng)時,有.當(dāng)時,而當(dāng)時,由,解得綜上可知,說明本題根據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式,從而求得集合A.在解決問題時,應(yīng)注意分析題設(shè)條件中所給出的信息,根據(jù)條件建立方程或不等式進(jìn)行求解.【例6】已知集合,若,求實數(shù)的取值組成的集合A.【解】,設(shè).當(dāng)

6、,即時,滿足;當(dāng),即或時, 若,則,不滿足,故舍去; 若時,則,滿足.當(dāng)時,滿足等價于方程的根介于1和2之間.即.綜合得,即所求集合A.說明先討論特殊情形(S=),再討論一般情形.解決本題的關(guān)鍵在于對分類討論,確定的取值范圍.本題可以利用數(shù)形結(jié)合的方法討論【例7】(2005年江蘇預(yù)賽)已知平面上兩個點集 R, R. 若 , 則 的取值范圍是【解】由題意知 是以原點為焦點、直線 為準(zhǔn)線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點集， 是以 為中心的正方形及其內(nèi)部的點集(如圖)考察 時, 的取值范圍:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 所以，當(dāng) 時, 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，當(dāng) 時, 因此, 綜合 與

7、 可知，當(dāng) ，即 時, 故填 .【例8】已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和為124,求集合A、B.【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時有若,即,此時應(yīng)有,則中的所有元素之和為100124.不合題意.綜上可得, 說明本題的難點在于依據(jù)已知條件推斷集合A、B中元素的特征.同時上述解答中使用發(fā)分類討論的思想.分類討論是我們解決問題的基本手段之一,將問題分為多個部分,每一部分的難度比整體都要低,這樣就使問題變得簡單明了.【例9】滿足條件的函數(shù)形成了一個集合M,其中,并且,求函數(shù)與集合M的關(guān)系.分析求函數(shù)集合M的關(guān)系,即求該函數(shù)是否屬于集合M,也就是判斷該函數(shù)是否滿足

8、集合M的屬性.【解】取時, 由此可見,說明本題中M是一個關(guān)于函數(shù)的集合.判斷一個函數(shù)是否屬于M,只要找至一個或幾個特殊的使得不符合M中的條件即可證明【例10】對集合及每一個非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按遞減順序排列,然后從最大數(shù)開始,交替地加減相繼各數(shù),如的“交替和”是,集合的“交替和”是107=3,集合的“交替和”是5等等.試求A的所有的“交替和”的總和.并針對于集合求出所有的“交替和”.分析集合A的非空子集共有個,顯然,要想逐個計算“交替和”然后相加是不可能的.必須分析“交替和”的特點,故可采用從一般到特殊的方法.如1,2,3,4的非空子集共有15個,共“交替和”分別為:1

9、 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 2-1; 1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.從以上寫出的“交替和”可以發(fā)現(xiàn),除4以外,可以把1,2,3,4的子集分為兩類:一類中包含4,另一類不包含4,并且構(gòu)成這樣的對應(yīng):設(shè)是1,2,3,4中一個不含有的子集,令與相對應(yīng),顯然這兩個集合的“交替和”的和為4,由于這樣的對應(yīng)應(yīng)有7對,再加上4的“交替和”為4,即1,2,3.4的所有子集的“交替和”為32.【解】集合的子集中,除了集合,還

10、有個非空子集.將其分為兩類:第一類是含2008的子集,第二類是不含2008的子集,這兩類所含的子集個數(shù)相同.因為如果是第二類的,則必有是第一類的集合;如果是第一類中的集合,則中除2008外,還應(yīng)用1,2,2007中的數(shù)做其元素,即中去掉2008后不是空集,且是第二類中的.于是把“成對的”集合的“交替和”求出來,都有2008,從而可得A的所有子集的“交替和”為同樣可以分析,因為個元素集合的子集總數(shù)為個(含,定義其“交替和”為0),其中包括最大元素的子集有個,不包括的子集的個數(shù)也是個,將兩類子集一一對應(yīng)(相對應(yīng)的子集只差一個元素),設(shè)不含的子集“交替和”為S,則對應(yīng)的含子集的“交替和”為,兩者相加

11、和為.故所有子集的“交替和”為說明本題中退到最簡,從特殊到一般的思想及分類討論思想、對應(yīng)思想都有所體現(xiàn),這種方法在數(shù)學(xué)競賽中是常用的方法,在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)注意強(qiáng)化.【例11】一支人數(shù)是5的倍數(shù)的且不少于1000人的游行隊伍，若按每橫排4人編隊，最后差3人；若按每橫排3人編隊，最后差2人；若按每橫排2人編隊，最后差1人，求這支游行隊伍的人數(shù)最少是多少？分析已知游行隊伍的總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)，那么可設(shè)總?cè)藬?shù)為.“按每橫排4人編隊，最后差3人”，從它的反面去考慮，可理解為多1人，同樣按3人、2人編隊都可理解為“多1人”，顯然問題轉(zhuǎn)化為同余問題.被4、3、2除時都余地，即是12的倍數(shù)，再由總?cè)藬?shù)不少于10

12、00人的條件，即可求得問題的解.【解】設(shè)游行隊伍的總?cè)藬?shù)為，則由題意知分別被4、3、2除時均余1，即是4、3、2的公倍數(shù)，于是可令，由此可得： 要使游行隊伍人數(shù)最少，則式中的應(yīng)為最少正整數(shù)且為5的倍數(shù)，應(yīng)為2.于是可令，由此可得：， 所以，.取代入式，得故游行隊伍的人數(shù)最少是1045人.說明本題利用了補(bǔ)集思想進(jìn)行求解，對于題目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等詞語，可以根據(jù)補(bǔ)集思想方法，從詞義氣反面（反義詞）考慮，對原命題做部分或全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化命題，常常能起到化繁為簡、化難為易的作用，使之尋求到解題思想或方法，實現(xiàn)解題的目的.【例12】設(shè)且15，都是1，2，3，

13、真子集，且=1，2，3，.證明：或者中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù).【證明】由題設(shè)，1，2，3，的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一. 假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的1，2，3，的真子集，使得無論是還是中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù). 不妨設(shè)1，則3，否則1+3=，與假設(shè)矛盾，所以3.同樣6，所以6，這時10，即10.因15，而15或者在中，或者在中，但當(dāng)15時，因1，1+15=，矛盾；當(dāng)15時，因10，于是有10+15=，仍然矛盾.因此假設(shè)不真,即結(jié)論成立.【賽向點撥】1.高中數(shù)學(xué)的第一個內(nèi)容就是集合，而集合又是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因此，深刻理解集合的概念,熟練地進(jìn)行集合運(yùn)算是非常重要的.

14、由于本節(jié)中涉及的內(nèi)容較多,所以抓好概念的理解和應(yīng)用尤其重要.2.集合內(nèi)容幾乎是每年的高考與競賽的必考內(nèi)容.一般而言,一是考查集合本身的知識;二是考查集合語言和集合思想的應(yīng)用.3.對于給定的集合,要正確理解其含義,弄清元素是什么,具有怎樣的性質(zhì)?這是解決集合問題的前提.4.集合語言涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域,所以在競賽中,集合題是普遍而又基本的題型之一.【針對練習(xí)】(A 組)1.(2006年江蘇預(yù)賽) 設(shè)在平面上，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為( ) A. B. C. D.2. (2006年陜西預(yù)賽)為實數(shù),集合M=表示把集合M中的元素映射到集合P中仍為,則的值等于( ) A. B.

15、0 C.1 D.3. (2004年全國聯(lián)賽)已知M=，N=，若對于所有的，均有則的取值范圍是A B.（）C.（） D.4. (2005年全國聯(lián)賽) 記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數(shù)是（）A B C D5. 集合A,B的并集AB=a1,a2,a3，當(dāng)且僅當(dāng)AB時，(A,B)與(B,A)視為不同的對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)有( )A.27 B.28. C.26 D.256.設(shè)A=n|100n600,nN，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為_.7. 已知,.若,則實數(shù)的取值范圍是 .8. 設(shè)M=1,2,3,1995，A是M的子集且滿足條件: 當(dāng)xA時,15x

16、A，則A中元素的個數(shù)最多是_.9. (2006年集訓(xùn)試題)設(shè)n是正整數(shù)，集合M=1，2，2n求最小的正整數(shù)k，使得對于M的任何一個k元子集，其中必有4個互不相同的元素之和等于 10. 設(shè)|,，求證：()；.11.（2006年江蘇）設(shè)集合，若，求實數(shù)的取值范圍12. 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；1；若，,則試判斷實數(shù)0和2與集合的關(guān)系. (B 組)1. 設(shè)為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：若，則+，；對任一個有理數(shù)，三個關(guān)系，0有且僅有一個成立.證明：是由全體正有理數(shù)組成的集合.2為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則（1） 證明：三

17、個集合中至少有兩個相等.（2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？3已知集合：問（1） 當(dāng)取何值時，為含有兩個元素的集合？（2） 當(dāng)取何值時，為含有三個元素的集合？4已知,.請根據(jù)自己對點到直線的距離,兩條異面直線的距離中 “距離”的認(rèn)識,給集合A與B的距離定義;依據(jù)中的定義求出與的距離.5.設(shè)集合不小于的正整數(shù)，定義上的函數(shù)如下：若，定義為不是的約數(shù)的最小正整數(shù)，例如.記函數(shù)的值域為.證明：6為了搞好學(xué)校的工作，全校各班級一共提了P條建議.已知有些班級提出了相同的建議，且任何兩個班級都至少有一條建議相同，但沒有兩個班提出全部相同的建議.求證該校的班級數(shù)不多于個.【參考答案】A組1.解：

18、在xOy平面上的圖形關(guān)于x軸與y軸均對稱，由此的圖形面積只要算出在第一象限的圖形面積乘以4即得.為此，只要考慮在第一象限的面積就可以了.由題意可得，的圖形在第一象限的面積為A.因此的圖形面積為. 所以選B.2.解:由M=P,從而,即,故從而選C.3. 解：相當(dāng)于點（0，b）在橢圓上或它的內(nèi)部.故選A.4.解: 用表示k位p進(jìn)制數(shù)，將集合M中的每個數(shù)乘以，得中的最大數(shù)為.在十進(jìn)制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第2005個數(shù)是24002004=396.而將此數(shù)除以，便得M中的數(shù)故選C.5.解：A=時，有1種可能；A為一元集時，B必須含有其余2元，共有6種可能；A為二元集時，B必須含有另一元.

19、共有12種可能；A為三元集時，B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個.從而選A.6解：被7除余2的數(shù)可寫為7k+2. 由1007k+2600.知14k85. 又若某個k使7k+2能被57整除，則可設(shè)7k+2=57n. 即. 即n2應(yīng)為7的倍數(shù). 設(shè)n=7m+2代入，得k=57m+16. 1457m+1685. m=0,1.于是所求的個數(shù)為85(141)2=70解：依題意可得,設(shè),要使,只需,在(1,3)上的圖象均在軸的下方,則,由此可解得結(jié)果.8解：由于1995=15133，所以，只要n133，就有15n1995.故取出所有大于133而不超過1995的整數(shù). 由于這時己取

20、出了159=135, 15133=1995. 故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個數(shù)，即共取出1995133+8=1870個數(shù), 這說明所求數(shù)1870.另一方面，把k與15k配對，（k不是15的倍數(shù)，且1k133）共得1338=125對，每對數(shù)中至多能取1個數(shù)為A的元素，這說明所求數(shù)1870，綜上可知應(yīng)填1870.9.解：考慮M的n+2元子集P=nl，n，n+1，2nP中任何4個不同元素之和不小于(n1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以kn +3將M的元配為n對，Bi=(i，2 n +1i)，1in 對M的任一n+3元子集A，必有三對同屬于A(i1、I 2、

21、I 3兩兩不同)又將M的元配為n1對，C I (i，2ni)，1in1對M的任一n+3元子集A，必有一對同屬于A，這一對必與中至少一個無公共元素，這4個元素互不相同，且和為2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整數(shù)k= n +31010.解: ,且,；假設(shè),則存在,使即 (*)由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*）式不能成立.由此，.11.解：，當(dāng)時，由得；當(dāng)時，由得；當(dāng)時，與不符綜上所述，12解：由若，,則可知，若，則（1） 由可設(shè)，且0，0，則| (|)故,由,0()+.（2）2.若2，則中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)（）（）時，1（），與矛盾.于是，由知中必有正奇數(shù).設(shè)，我們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)，使，則負(fù)奇數(shù).前后矛盾B組1證明：設(shè)任意的，0,由知，或之一成立.再由，若，則；若，則.總之，.取=1