解析單位1和部分的概念以及在分?jǐn)?shù)乘除法中的應(yīng)用

1、“單位1”與“相關(guān)量”山東濱州西海小學(xué)王訓(xùn)彬2013年12月16日近些年以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)相關(guān)量， 已經(jīng)不再提整 體（整體1）與部分這兩個(gè)概念了。其中整體（整體 1） 這個(gè)概念已經(jīng)被單位“ 1”這個(gè)概念所取代，而部分這個(gè)概 念則是徹底去掉了。因?yàn)檎f(shuō)到部分，人們往往就自然而然 的認(rèn)為，部分小于整體。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，恐怕更是如此。 可是當(dāng)時(shí)分?jǐn)?shù)這個(gè)地方的相關(guān)量概念，卻不是如此，比如在語(yǔ)句“甲等于乙的7 ”中，乙是單位1，甲是部分，可這5個(gè)部分則是大于單位1的。也許正是因?yàn)榕c學(xué)生的固有認(rèn) 識(shí)格格不入，這一概念被數(shù)學(xué)家拋棄了。然而，對(duì)于學(xué)過單位1與部分概念的我來(lái)說(shuō)， 卻忘不 了這兩個(gè)概念在解決分?jǐn)?shù)乘除

2、法所表現(xiàn)出的巨大靈活性 和有效性！因此在今天的教學(xué)中我還是不斷地試圖向?qū)W生 滲透這兩個(gè)概念。只不過，為了消除大家對(duì)“相關(guān)量可能 大于單位1 ”的困惑，我把“部分”改名為“相關(guān)量”一、 單位1今天教材中是這樣定義單位 1的：一個(gè)物體或多個(gè)物 體組成的一個(gè)整體，可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常把它叫 做單位1。從定義可以看出，單位 1，仍是表示一個(gè)整體，就是 以前的整體1。之所以改稱單位1，只不過是因?yàn)楝F(xiàn)在沒 有了部分的概念，單單突出一個(gè)整體（整體 1 ）的概念， 顯得太不自然！如何判斷那個(gè)量是單位 1單位1這一概念貫穿分?jǐn)?shù)教學(xué)始終，是深入理解分?jǐn)?shù) 的定義，探索分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算不可或缺的手段?？梢哉f(shuō)活不夸張

3、地說(shuō)，這一概念的重要性一點(diǎn)也不亞于分?jǐn)?shù)本身的概 念。既然這樣我們就需要知道如何判斷那個(gè)量是單位1。這還要通過分?jǐn)?shù)的定義來(lái)分析，教材是這樣定義分?jǐn)?shù) 的：把單位1等分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)叫 做分?jǐn)?shù)。從定義可以看出那個(gè)被等分的量就是單位1。根據(jù)這點(diǎn)我們不難判斷出：1、提到“誰(shuí)”的幾分之幾“誰(shuí)”就是單位I比如在語(yǔ)句“乙的1 ”中，分明說(shuō)“乙”的，所以乙是2 2單位1。下面我們?cè)敿?xì)分析一下：根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義，我們 不難看到語(yǔ)句所表達(dá)的意義是把乙等分成2份，表示其中的一份，因此被等分的對(duì)象是乙，所以乙是單位1。再比如在語(yǔ)句“乙等于丙的7 ”中，明明說(shuō)“丙”的，因55此丙是單位12、在比較語(yǔ)句中，

4、比“誰(shuí)”，“誰(shuí)”是單位比如在語(yǔ)句“甲比乙大丄”中，說(shuō)的是比“乙”因此“乙”2是單位1。而在語(yǔ)句“乙比甲小* ”中說(shuō)的是比“甲;'因此“甲”是單位1。為什么呢，我們對(duì)語(yǔ)句“甲比乙大 丄”分析一下；2不難看出這句話的完整意義是說(shuō)“甲比乙大乙的-:既然是2“乙”的，當(dāng)然乙是單位1。23、 一個(gè)帶單位的分?jǐn)?shù)量，一個(gè)單位就是它的單位1 比如：語(yǔ)句“丄千克”中，量-千克的單位是千克，因2 2此1千克就是該量的單位 1。因?yàn)?千克表示的是“ 1千克2的-；既然是“1千克”的，當(dāng)然1千克就是單位1。2一、 相天量對(duì)于相關(guān)量我一時(shí)無(wú)法給出精確的定義；但我們可以這樣理解它：如果一個(gè)量是某一個(gè)單位 1的幾分

5、之幾；這個(gè)量就是這個(gè)單位1的一個(gè)相關(guān)量?；蛘哒f(shuō)；如果一個(gè)量 與某一個(gè)單位1，有某種明確的關(guān)聯(lián)性， 這個(gè)單位1的一 個(gè)相關(guān)量。比如在語(yǔ)句“乙的？”中，我們已經(jīng)知道乙是單5位1，那么量“乙的7 ”就可以理解為“單位1的1 ”所以量“乙5的7 ”就是單位1-乙的一個(gè)相關(guān)量，而且還是一個(gè)大于5單位1的一個(gè)相關(guān)量！另外任何單位1也可以看做他自身的一個(gè)相關(guān)量，比如上面的乙這個(gè)量，就可以看做乙的一分之一，所以此時(shí)的乙既是單位1，又是相關(guān)量！因此從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，單 位1也是一個(gè)特殊的相關(guān)量。因此相關(guān)量可以小于， 也可大于，甚至可以等于單位 1。另外，同一個(gè)單位1的兩個(gè)相關(guān)量的和，仍是這個(gè)單 位1的相關(guān)量！比如

6、乙是甲的-，丙是甲的-，貝y易知乙23與丙的和就是甲的6，所以從我們上面對(duì)相關(guān)量的理解就 可以看出乙與丙的和還是甲的一個(gè)相關(guān)量。類似的還有，同一個(gè)單位1的兩個(gè)相關(guān)量的差，仍是 這個(gè)單位1的相關(guān)量。這里就不在詳細(xì)討論這一結(jié)論了。 感興趣的朋友可以仿照對(duì)“同一個(gè)單位1的兩個(gè)相關(guān)量的 和，仍是這個(gè)單位1的相關(guān)量”的分析，自己來(lái)分析。三、單位1與相關(guān)量的兩個(gè)屬性這兩個(gè)量可能與其他量不同，因?yàn)樗鼈冇袃蓚€(gè)屬性1、他們都有自己的實(shí)際大小，比如在語(yǔ)句“乙是 6，甲是8,則乙是甲的號(hào)”中“乙”這個(gè)量是相關(guān)量，它的實(shí)際4大小是6，甲是單位1，它的實(shí)際大小是 8。2、 它們都有自己的相對(duì)大?。ㄕ紗挝?的幾分之 幾）

7、比如上例中甲是單位 1，它占自身的是1，乙是相關(guān)1量，占單位1的3。4四、 單位1以及相關(guān)量與分?jǐn)?shù)乘除法的關(guān)系也許正是這兩個(gè)概念的兩個(gè)屬性，才使得它們?cè)诜謹(jǐn)?shù) 乘除法中有著極其靈活的應(yīng)用。為此我們首先看這樣一個(gè) 例子：第二小組有6人，是第一小組的-，第一小組有多少4人？這是青島版六年級(jí)上冊(cè) P28頁(yè)的一個(gè)例子，也是分 數(shù)除法的一種典型例題。解：設(shè)第一小組有x人。X宀6X=6 +對(duì)應(yīng)的意義對(duì)應(yīng)寫在 X=6 -的下面，看看 X=6 -到底 44是什么意義。X=6+-4單位1的實(shí)際大小 =相關(guān)量的實(shí)際大小 - 該 相關(guān)量占單位1的分?jǐn)?shù)由此，我們看到了單位1實(shí)際大小的算法：只要知道 該單位1某個(gè)相關(guān)量的

8、兩個(gè)屬性，就可以利用這相關(guān)量的 實(shí)際大小屬性-該相關(guān)量的相對(duì)大小屬性（即該相關(guān)量占 單位1的分?jǐn)?shù)）計(jì)算出來(lái)！由此我們得到了第一個(gè)公式：4且慢，我們不要急著做下去， 我們用上面的知識(shí)分析一下。問法：第一小組有多少人？顯然是要計(jì)算第一小組的人數(shù)，我們找到與第一小組的人數(shù)有關(guān)的條件，那就是“第二小組有6人，是第一小組的| ”可以看到第一小組的人 數(shù)是單位1，因此本題就是一個(gè)求單位 1的實(shí)際大小的問 題。第二小組顯然是相關(guān)量，它的實(shí)際大小是6人，而-4則是這個(gè)相關(guān)量的相對(duì)大小，即該相關(guān)量占單位1的分?jǐn)?shù)。而X=6 就揭示了單位1的算法，下面我們把x ,6,41、單位1的實(shí)際大小 = 相關(guān)量的實(shí)際大小 -

9、 該相關(guān)量占單位1的分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)述為：算單位1用除法！將公式1變形一下，就可以得出相關(guān)量的求法：2、相關(guān)量的實(shí)際大小=單位1的實(shí)際大小x該該 相關(guān)量占單位1的分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)述為：算相關(guān)量用乘法！將公式變形一下，也可以得出該相關(guān)量占單位 1的分 數(shù)的算法：3、相關(guān)量占單位1的分?jǐn)?shù)=相關(guān)量的實(shí)際大小 - 單位1的實(shí)際大小從公式3可以看出算一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的幾分之幾， 也用除法！至此，我們已經(jīng)可以來(lái)解決分?jǐn)?shù)乘除法的大相關(guān)量問 題了，下面我們就通過幾個(gè)具體的實(shí)例來(lái)看一下如何用這 些知識(shí)來(lái)解決問題。例1、 實(shí)驗(yàn)小學(xué)有1200名學(xué)生，六年級(jí)人數(shù)占全校的1，六年級(jí)一班人數(shù)占六年級(jí)的 1，六年級(jí)一班有多少5 6人？分析：看

10、問法，“六年級(jí)一班有多少人？”尋找與六年 級(jí)一班人數(shù)有關(guān)的條件，顯然是“六年級(jí)一班人數(shù)占六年級(jí)的1,可以看到在這個(gè)條件中，六年級(jí)人數(shù)是單位1,6六年級(jí)一班人數(shù)是相關(guān)量，這相關(guān)量占單位1的1。求相6關(guān)量用乘法，有公式 2知：六年級(jí)一班人數(shù)=六年級(jí)人數(shù) X1，所以還需要計(jì)算六年級(jí)的人數(shù)。與六年級(jí)的人數(shù)有6關(guān)的條件是“六年級(jí)人數(shù)占全校的1，在這個(gè)條件中全校人5數(shù)是單位1，六年級(jí)人數(shù)是相關(guān)量，所以還得用乘法：六年級(jí)人數(shù)=全校人數(shù)X 1=1200 xX，把算式1200 X1代入六555年級(jí)一班人數(shù)=六年級(jí)人數(shù)X 1中，且發(fā)現(xiàn)1200 X1可以先6 5算，不用加括號(hào)：1200 X1 X156例2 :光明小

11、學(xué)綠化面積為 960平方米，是向陽(yáng)小學(xué) 的2倍，而南山小學(xué)的綠化面積相當(dāng)于向陽(yáng)小學(xué)的 7，南 山小學(xué)的綠化面積是多少？分析：看問法，“南山小學(xué)的綠化面積是多少？”，查找 與南山小學(xué)有關(guān)的條件“南山小學(xué)的綠化面積相當(dāng)于向陽(yáng) 小學(xué)的7,知向陽(yáng)小學(xué)為單位1，要計(jì)算的南山小學(xué)是相8關(guān)量，所以用乘法：南山小學(xué)的綠地面積=向陽(yáng)小學(xué)的綠化面積X 8但向陽(yáng)小學(xué)的綠化面積未知， 所以接下來(lái)考慮向陽(yáng)小 學(xué)的綠化面積的條件“光明小學(xué)綠化面積為 960平方米， 是向陽(yáng)小學(xué)的2倍”知向陽(yáng)小學(xué)的綠化面積為單位1，光明小學(xué)的綠化面積為相關(guān)量，算單位1用除法，所以有：向陽(yáng)小學(xué)的綠化面積=光明小學(xué)的綠化面積+ 2=960吃，代

12、 入上式得到：960吃X78注意：這里我們把倍數(shù)問題與“單位1和相關(guān)量”統(tǒng)一 了起來(lái)，“是向陽(yáng)小學(xué)的2倍”完全就是“向陽(yáng)小學(xué)的Z ”的1意思。當(dāng)然你也完全可以用倍數(shù)的知識(shí)來(lái)解決這一步。從根本上來(lái)說(shuō)，倍數(shù)問題和分?jǐn)?shù)問題是一回事。如甲是乙的1.5倍，從分?jǐn)?shù)的角度來(lái)說(shuō)就是甲是乙的？。 似乎有2這樣一個(gè)不成文的規(guī)定，小數(shù)或整數(shù)倍數(shù)，人們習(xí)慣用倍數(shù)來(lái)稱呼它，而對(duì)于分?jǐn)?shù)倍數(shù)，人們則習(xí)慣于稱呼它為幾 分之幾。但這只是一種習(xí)慣， 改變不了兩者是一回事的本 質(zhì)。因此分?jǐn)?shù)問題亦可以轉(zhuǎn)化為倍數(shù)來(lái)考慮。倍數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題來(lái)考慮。例：學(xué)校對(duì)一塊空地進(jìn)行綠化， 把它設(shè)計(jì)為3相關(guān)量， 草地，花壇，小路。其中小路面

13、積與草地面積的比為 1:7 , 小路面積又是花壇面積的 1，已知草地面積比花壇面積大 36平方米，求小路的面積。分析：小路面積與草地面積的比為 1:7 ,理解為“草地 面積是小路的7倍”進(jìn)一步理解為“草地面積是小路的Z ”1小路面積又是花壇面積的 1，理解為“小路面積又是花4壇面積的1倍”進(jìn)而“花壇面積是小路的4倍；再進(jìn)一步“花4壇面積是小路的4 ”i所以，小路面積是單位 1，花壇，草地是相關(guān)量，因 而草地與花壇的差（36平方米）也是相關(guān)量：36 + 7-4 ） 就是小路的面積。本例放在這里可能不是太合適，不過我就是想告訴大 家，倍數(shù)問題和分?jǐn)?shù)問題是一回事， 他們是一個(gè)事物的兩 個(gè)不同的名字，

14、明白之后，完全可以互化。下面看一個(gè)難一點(diǎn)的。例3:學(xué)校組織學(xué)生郊游， 中午吃飯時(shí)用了 55個(gè)碗， 其中一人一個(gè)飯碗，兩人一個(gè)湯碗， 3人一個(gè)菜碗，問你 能算出共有多少學(xué)生嗎？分析：?jiǎn)柗ā澳隳芩愠龉灿卸嗌賹W(xué)生嗎？”，考慮與學(xué) 生人數(shù)有關(guān)的條件：“其中一人一個(gè)飯碗，兩人一個(gè)湯碗， 3人一個(gè)菜碗”。這里換個(gè)角度來(lái)理解，一人一個(gè)飯碗理解 為飯碗是人數(shù)的1 ,兩人一個(gè)湯碗理解為湯碗是人數(shù)的?,3人一個(gè)菜碗理解為菜碗是人數(shù)的 1。方法一：要求的人數(shù)在條件中是單位1，用除法，但飯碗，湯碗，菜碗這三個(gè)相關(guān)量的實(shí)際大小都不知道，怎 么辦？還記得嗎“同一個(gè)單位1的兩個(gè)相關(guān)量的和，仍是 這個(gè)單位1的相關(guān)量”所以飯碗

15、，湯碗，菜碗這三個(gè)相關(guān)量的和仍是相關(guān)量，而這個(gè)相關(guān)量的實(shí)際大小我們是已知的55 !所以有：55 -(1 + 1 + 1)23這種特殊的相關(guān)量，使我們用算術(shù)法求解一些難題時(shí) 常用到的！方法2 :有條件易得相等關(guān)系飯碗+菜碗+湯碗=55 ,而飯碗，湯碗，菜碗是三個(gè)相關(guān)量，求相關(guān)量用乘法，因此設(shè)共x人，則飯碗=x，湯碗=2x，菜碗=x，代入相等關(guān)23系中得到：1 1x+ x x = 5 523例4 :第28屆奧運(yùn)會(huì)上中國(guó)健兒獲得了 32枚金牌， 比第27屆多1，第27屆中國(guó)獲得了多少塊金牌？分析：從問法知，要考慮第27屆的情況，“比第27屆 多7 ,所以第27屆的金牌數(shù)是單位1用除法，而第二十八屆的

16、是相關(guān)量，其實(shí)際大小是32,占單位1的（1 +弓）（此處可以這樣理解，既然第 27屆的金牌數(shù)是單位 1，比第27屆多-就可以理解為“比單位1多當(dāng)然占單位7 71 的 1+1 了）。所以：32珥1+1）自己考慮為何要加括號(hào)？例5、小明下載了 30首古詩(shī)，小紅下載的比小明的-3多3首，小紅下載了多少首？分析：?jiǎn)柗ā靶〖t下載了多少首”,考慮與小紅有關(guān)的條件“小紅下載的比小明的2多3首”小明下載的是單位1 ,3小紅下載的是相關(guān)量。但這個(gè)相關(guān)量占單位 1的分 數(shù)不知道，再看多3首這個(gè)差額，顯然也是相關(guān)量，可這 個(gè)相關(guān)量占單位1的分?jǐn)?shù)也不知道！用這個(gè)方法似乎無(wú)解 了！且慢，同一個(gè)單位1的兩個(gè)相關(guān)量的和，仍

17、是這個(gè)單位1的相關(guān)量”！“小紅下載的比小明的-多3首”這句話我3們換個(gè)角度來(lái)理解：小紅下載的去掉三首后是小明的-!3而“小紅下載的去掉三首后”這個(gè)相關(guān)量，恰恰是以上兩個(gè)相關(guān)量的差！而這個(gè)相關(guān)量的占單位1的分?jǐn)?shù)為：|所以“小紅下載的去掉三首后”這個(gè)相關(guān)量的實(shí)際大 小為：30 X23小紅下載的這一相關(guān)量就應(yīng)為：30 x2+33關(guān)于這種題型的分?jǐn)?shù)除法見下例：例5、小紅下載了 30首古詩(shī)，小紅下載的比小明的-3多3首，小明下載了多少首？列式為：（30-3 ）+23簡(jiǎn)析如下：“小紅下載的比小明的3多3首”這句話我們換個(gè)角度來(lái)理解：小紅下載的去掉三首后是小明的2 !3例6 :已知甲是8，乙是6，求甲是乙的幾分之幾？分析：有公式3知，這種題用除法?？磫柗资且业?幾分之幾，乙是單位1 ,是除數(shù)，甲是相關(guān)量，是被除數(shù)， 所以8弋例7:已知甲是8，乙是6，求甲比乙大幾分之幾？ 乙比甲小幾分之幾？分析：“求甲比乙大幾分之幾？”實(shí)際上是說(shuō)，甲比乙大的相關(guān)量（即差）是乙的幾分之幾，由于問法中的乙是單位1,所以是除數(shù)，差