概率論-1事件與概率課件

1、概率論-1事件與概率 手機手機 關了嗎？關了嗎？概率論-1事件與概率教材：教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計宗序平等編宗序平等編機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社參考書：參考書：1. 1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習指導概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習指導 2. 2.概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習卷概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習卷概率論-1事件與概率序序 言言概率統(tǒng)計是研究什么的？概率統(tǒng)計是研究什么的？與數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)理統(tǒng)計概率論-1事件與概率驗時，有時出現(xiàn)有時不出現(xiàn)的現(xiàn)驗時，有時出現(xiàn)有時不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為象，稱之為或或。概率論-1事件與概率( )dS tdt 隨機現(xiàn)象在大量重復試驗或觀察中呈現(xiàn)出隨機現(xiàn)象在大量重復試驗或觀察中呈現(xiàn)出固

2、有規(guī)律性，稱為固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。 概率論-1事件與概率作業(yè)作業(yè): :作業(yè)紙對折、抄題、過程、題間空行、上交時間作業(yè)紙對折、抄題、過程、題間空行、上交時間. .輔導答疑時間輔導答疑時間: : 聯(lián)系電話聯(lián)系電話:7877254概率論-1事件與概率第第1章章 隨機事件與概率隨機事件與概率 隨機事件隨機事件 事件的概率事件的概率 概率的一般定義與性質概率的一般定義與性質 條件概率與事件的獨立性條件概率與事件的獨立性 全概率公式與貝葉斯全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式公式概率論-1事件與概率一、幾個概念一、幾個概念1.1 隨機事件隨機事件1.隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象:

3、 : 個體上表現(xiàn)為不確定性個體上表現(xiàn)為不確定性, ,而大量觀而大量觀察中呈現(xiàn)出察中呈現(xiàn)出統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象的現(xiàn)象. .2.(隨機隨機)試驗試驗: :對隨機現(xiàn)象進行的觀察或試驗對隨機現(xiàn)象進行的觀察或試驗. .表表:T 滿足滿足: :重復性重復性明確性明確性(所有結果所有結果)隨機性隨機性(不可預言不可預言)3.(隨機隨機)事件事件: :隨機試驗的結果隨機試驗的結果. .用用A、B、C 表示表示4.樣本點與樣本空間樣本點與樣本空間: : 隨機試驗的每一個可能的基隨機試驗的每一個可能的基本結果稱為這個試驗的樣本點本結果稱為這個試驗的樣本點, ,記作記作; ; 全體樣本全體樣本點的集合稱為樣本

4、空間點的集合稱為樣本空間, ,記作記作概率論-1事件與概率T1: 將一枚硬幣連拋三次將一枚硬幣連拋三次,考慮正反面出現(xiàn)的情況；考慮正反面出現(xiàn)的情況；壽命試驗壽命試驗 測試在同一工藝條件下生測試在同一工藝條件下生產出的燈泡的壽命。產出的燈泡的壽命。HHTT2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);T3:擲一顆骰子擲一顆骰子,考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；T4: 記錄某網站一分鐘內受到的點擊次數(shù)；記錄某網站一分鐘內受到的點擊次數(shù)；T5:在一批燈泡中任取一只，測其壽命在一批燈泡中任取一只，測其壽命.隨機實驗的例隨機實驗的例概率論-1事件與概率5.隨機

5、事件隨機事件基本事件基本事件復合事件復合事件注注:將隨機事件用集合將隨機事件用集合A、B 即樣本空間即樣本空間的子集表示的子集表示;由一個樣本點組成由一個樣本點組成由多個樣本點組成由多個樣本點組成基本事件即由一個樣本點組成的集合基本事件即由一個樣本點組成的集合.必然事件必然事件:不可能事件不可能事件:由全體樣本點組成的集合由全體樣本點組成的集合,仍記仍記 不包含任何樣本點的集合不包含任何樣本點的集合, ,記空集記空集B=擲出奇數(shù)點擲出奇數(shù)點是復合事件是復合事件對試驗對試驗T3 ,Ai = =擲出擲出i點點(i= =1,2,3,4,5,6)都是基本事件都是基本事件. .注注:基本事件基本事件(從

6、而樣本空間從而樣本空間)由試驗目的而確定由試驗目的而確定.概率論-1事件與概率 現(xiàn)在讓我們重溫那個現(xiàn)在讓我們重溫那個從死亡線上生還從死亡線上生還的故事的故事: : 本來，這位犯臣抽到本來，這位犯臣抽到“生生”還是還是“死死”是一個隨機事件，且抽到是一個隨機事件，且抽到“生生”和和“死死”的的可能性各占一半，也就是各有可能性各占一半，也就是各有1/21/2概率概率. . 但但由于國王一伙由于國王一伙“機關算盡機關算盡”，通過偷換試驗，通過偷換試驗條件，想把這種概率只有條件，想把這種概率只有1/2 1/2 的的“抽到死簽抽到死簽”的隨機事件，變?yōu)楦怕蕿榈碾S機事件，變?yōu)楦怕蕿? 1的必然事件，終于的

7、必然事件，終于搬起石頭砸了自己的腳，反使犯臣得以死里搬起石頭砸了自己的腳，反使犯臣得以死里逃生。逃生。概率論-1事件與概率對試驗對試驗T1 ,HTT,THT,TTH, HHT, HTH,THH, HHH;C=“恰好出現(xiàn)一次正面恰好出現(xiàn)一次正面” =HTT,THT,TTH.試驗試驗T5中中,C“燈泡壽命超過燈泡壽命超過1000小時小時”x: x1000(小時小時)。A“至少出一個正面至少出一個正面”B=“三三次次出現(xiàn)同一出現(xiàn)同一面面”=HHH,TTT;用樣本空間的子集表示事件能反映事件的實用樣本空間的子集表示事件能反映事件的實質質, ,且比用文字表示簡單且比用文字表示簡單, ,還便于今后計算概率

8、還便于今后計算概率當試驗當試驗T1的結果是的結果是HHH時時,可以說事件可以說事件A和和B同時發(fā)生了同時發(fā)生了;但事件但事件B和和C不可能同時發(fā)生不可能同時發(fā)生.易見易見,事件間的關系是由他們所包含的樣本點事件間的關系是由他們所包含的樣本點決定的決定的,這種關系可以用集合間的關系來描述。這種關系可以用集合間的關系來描述。概率論-1事件與概率二、事件之間的關系和運算二、事件之間的關系和運算AB A B且且B A.1.包含關系包含關系: : A發(fā)生必導致發(fā)生必導致B發(fā)生發(fā)生, 記記A B2.相等關系相等關系: :(1) A (2)若若A B, B C, 則則A CBA概率論-1事件與概率n個事件個

9、事件A1, A2, , An至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生:11nniiiiAA 或或3.事件的和事件的和: : ABABA B 或或A B概率論-1事件與概率n個事件個事件A1, A2, , An同時發(fā)生同時發(fā)生:4.事件的積事件的積: :ABABA B 或或AB11nniiiiAA 或或ABAB概率論-1事件與概率5.互不相容互不相容(互斥互斥)關系關系: :ABABn個事件個事件A1, A2, , An或可列個事件或可列個事件A1, A2, ,An,互不相容互不相容: AiAj( ij )基本事件是互不相容的基本事件是互不相容的. 概率論-1事件與概率BA6.對立對立(互逆互逆)關系關系:

10、 :ABBABA B .稱稱ABBAAA概率論-1事件與概率思考：何時思考：何時A- -B= ? ? 何時何時A- -B=A？SABA- -BSABA- -B7.事件的差事件的差: :ABABA- -B(1) A- -B =ABA A(2)概率論-1事件與概率1(2).niiA 8.完備完備事件組事件組A1, A2, An:(1)AiAj(ij, i, j=1,2, ,n);A1A2A3An注注:(1)一試驗的一試驗的基本事件構成完備事件組基本事件構成完備事件組.(2)A與與 構成完備事件組構成完備事件組.A(3)概念推廣概念推廣:可列個事件可列個事件A1, A2, ,An ,構成完備事件組構

11、成完備事件組.概率論-1事件與概率1.交換律交換律：,ABABABAB 三、事件的運算法則三、事件的運算法則(運算律運算律)A BB A，A BB A2.結合律結合律： (A B) CA (B C)， (A B) CA (B C)3.分配律分配律： (A B) C(A C) (B C)，(A B) C(A C) (B C)4.摩根律摩根律： 5.重疊律重疊律：A A ， A A A A對立律對立律:,AAAA 吸收律吸收律:A = , A = , A= , A = A A 蘊含律蘊含律:A B A, A B B, A B A, A B B.概率論-1事件與概率例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)

12、子彈，例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試分別表示甲、乙、丙命中目標，試用用A、B、C的運算關系表示下列事件：的運算關系表示下列事件：ABCABCABCA BCABCABCABCBCACA BABCA BCA3:“至少有一人命中目標至少有一人命中目標” A4 :“恰有一人命中目標恰有一人命中目標” A6 :“恰有兩人命中目標恰有兩人命中目標”A7:“至多有一人命中目標至多有一人命中目標”A1:“三人均命中目標三人均命中目標”A8:“三人均未命中目標三人均未命中目標”AB CA2:“只有第一人命中目標只有第一人命中目標”ABBCAC A5 :“至少

13、有兩人命中目標至少有兩人命中目標”ABC( )ABCABCABCABC AB CABCA BCA B C 概率論-1事件與概率作業(yè)：作業(yè)：P62；3.概率論-1事件與概率拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)擲一顆骰子，出現(xiàn)6 6點的概率為多少？點的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？1.2 事件的概率事件的概率 隨機事件隨機事件A發(fā)生的可能性大小的度量發(fā)生的可能性大小的度量(數(shù)值數(shù)值)稱為稱為事件事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率，記作，記作P(A) 對于一個隨機事件來說對于一個隨機事件來說, ,它發(fā)生的可能性大小它發(fā)生的可

14、能性大小,應該是事件本身所具有的屬性應該是事件本身所具有的屬性, ,不能帶有主觀性不能帶有主觀性. .就好比一根木棒的長度就好比一根木棒的長度, ,一塊土地的面積一樣一塊土地的面積一樣. 如何測量概率如何測量概率? 概率論-1事件與概率一、概率的統(tǒng)計定義一、概率的統(tǒng)計定義1.頻率頻率定義定義: 事件事件A在在n次重復試驗中出現(xiàn)次重復試驗中出現(xiàn)nA次次,則比則比值值nA/n稱為事件稱為事件A在在n次重復試驗中出現(xiàn)的次重復試驗中出現(xiàn)的頻率頻率，記記 fn(A)=nA/n.2.頻率性質頻率性質: (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()=1； fn( )=0 (3) 可加性：若可加性：若AB

15、，則則 fn(A B)= fn(A)fn(B).概率論-1事件與概率 頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小大小. .盡管每進行一連串盡管每進行一連串(n次次)試驗試驗, ,所得頻率可能所得頻率可能各不相同各不相同, ,但只要但只要n相當大相當大, ,頻率與概率會非常接近頻率與概率會非常接近. . 頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性頻率頻率概率概率歷史上多人做過拋擲質地均勻硬幣的試驗歷史上多人做過拋擲質地均勻硬幣的試驗: 實驗者實驗者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pea

16、rson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005概率論-1事件與概率概率可通過頻率來概率可通過頻率來“測量測量”, ,頻率是概率的一個近頻率是概率的一個近似似. .在相同條件下進行在相同條件下進行S 輪試驗輪試驗第二輪試驗試驗次數(shù)試驗次數(shù)n2事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m2次次第S輪試驗試驗次數(shù)試驗次數(shù)ns事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)ms 次次試驗次數(shù)試驗次數(shù)n1事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m1次次第一輪試驗11mnssmn22mn頻率頻率穩(wěn)定在概率穩(wěn)定在概率p附近附近概率論-1事件與概率 頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的典型是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的典型表現(xiàn)

17、表現(xiàn), ,它為用統(tǒng)計方法求概率值開拓了道路它為用統(tǒng)計方法求概率值開拓了道路. .3.概率定義概率定義: 事件事件A在在n次重復試驗中出現(xiàn)次重復試驗中出現(xiàn)nA次次, 頻率頻率fn(A)= nA/n隨著隨著n的增大總在某一固定的數(shù)值的增大總在某一固定的數(shù)值p附近擺動附近擺動, 稱稱p為事件為事件A發(fā)生的發(fā)生的概率概率, 記為記為P(A)p. 可以進行大量重復試驗可以進行大量重復試驗, ,如果事件如果事件A=“=“取到白球取到白球”的頻率逐漸穩(wěn)定到的頻率逐漸穩(wěn)定到1/2附近附近, ,可以得到可以得到P(A)= =1/2, , 并且可以斷定盒中白球數(shù)與黑球數(shù)相等并且可以斷定盒中白球數(shù)與黑球數(shù)相等. .

18、注注: :P(A)fn(A), 正如正如木棒長度客觀存在木棒長度客觀存在, ,但無論測但無論測量儀器多么精確量儀器多么精確, ,將測量值當作真值總是一種近似將測量值當作真值總是一種近似. .概率論-1事件與概率 由概率的統(tǒng)計定義與頻率的由概率的統(tǒng)計定義與頻率的性質，易見性質，易見概率具有以下性質概率具有以下性質:(1) 0 P(A) 1;(2) P( ) =1;P( ) =0;(3)若若A1, A2, , Ak為兩兩互為兩兩互不相容事件即不相容事件即AiAj=(ij),則則1211()()()()()kkikiiiPAP AP AP AP A 推論推論: :P(A)=1- -P( A )概率論

19、-1事件與概率1.定義定義: 若某實驗若某實驗T滿足滿足二、古典概型二、古典概型概率論發(fā)展初期的概率論發(fā)展初期的主要主要研究對象研究對象簡單、直觀、易理解；在實際問題中應用廣泛簡單、直觀、易理解；在實際問題中應用廣泛. .1.有限性有限性:樣本空間樣本空間=1,2 ,n;2.等可能性等可能性:(公認公認)P(1)=P(2)=P(n). P(1)+ +P(2) + + +P(n)=1P(i)=1/n (i =1,2,n)則稱則稱T為古典概型也叫為古典概型也叫等可能等可能概型。概型。若事件若事件A中含中含m個樣本點個樣本點,則則P(A)=mn 事件事件A包含的樣本點數(shù)包含的樣本點數(shù)樣本點總數(shù)樣本點

20、總數(shù)概率論-1事件與概率例例:有三個子女的家庭有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的設每個孩子是男是女的概率相等概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少則至少有一個男孩的概率是多少?= HHH, HHT, HTH, THH, HTT, TTH, THT, TTT 7( )8P A 解解:設設A=“至少有一個男孩至少有一個男孩”, 以以H表示某個孩子表示某個孩子是男孩是男孩. 則則概率論-1事件與概率乘法原理乘法原理:設完成某事需分兩步設完成某事需分兩步,第一步有第一步有n1種方法種方法,第二步有第二步有n2種方法種方法,則完成這件事共有則完成這件事共有n1n2種方法種方法2.排列、組合復習排列、

21、組合復習加法原理：設完成某事可有兩種途徑加法原理：設完成某事可有兩種途徑,第一種途徑第一種途徑有有n1種方法種方法,第二種途徑有第二種途徑有n2種方法種方法,則完成這件事則完成這件事共有共有n1+n2種方法。種方法。概率論-1事件與概率有重復有重復排列排列:從含有從含有n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k 次次,每次取一個每次取一個,記錄其結果后記錄其結果后放回放回,將記錄結果排成一將記錄結果排成一列，列，n n nn共有共有nk種排列方式種排列方式.無重復無重復排列排列:從含有從含有n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k次次,每次取一個每次取一個,取后不放回取后不放回,

22、將所取元素排成一列將所取元素排成一列,共有共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)種排列方式種排列方式.n n-1n-2n-k+1概率論-1事件與概率組合：從含有組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k 個，個，共有共有種取法種取法.!()!kknnPnCkknk Pnk=n(n-1)(n-k+1)!()!nnk 理解理解:特例特例全排列全排列(n=k):Pnk=Cnk k!(Pnn=)Pn=n!當當k較接近較接近n時利用公式時利用公式: Cnk=Cnn-k進行計算進行計算規(guī)定規(guī)定: 0!=1; Cn0=1=Cnn(由乘法原理由乘法原理)概率論-1事件與概率(1)抽球問題抽球

23、問題1132253( )5C CP AC答答:取到一紅一白的概率為取到一紅一白的概率為3/53.古典概型的幾類基本問題古典概型的幾類基本問題解解:設設A=“取到一紅一白取到一紅一白”, 則則例例1: 設盒中設盒中有有3個白球個白球,2個紅球個紅球,現(xiàn)從中任現(xiàn)從中任抽抽2個個球球,求取到一紅一白的概率求取到一紅一白的概率.一般地一般地,盒中有盒中有N個球個球,其中其中M個白個白,任任抽抽n個個,恰有恰有k個白球的概率是個白球的概率是kn kMNMnNC CPC 注注:產品檢驗產品檢驗、疾病抽查疾病抽查、作物選種等多問題可化為該模型作物選種等多問題可化為該模型概率論-1事件與概率(2)分球入盒問題

24、分球入盒問題解解: :設設A=“每盒恰有一球每盒恰有一球”, , B=“空一盒空一盒”, ,則則33!2()39P A 3313 例例2：將將3個球隨機的放入個球隨機的放入3個盒子中去，求：個盒子中去，求：每盒恰有一球的概率每盒恰有一球的概率及及空一盒的概率空一盒的概率.P(B)=1-P空兩盒空兩盒-P全有球全有球2293 注：把注：把n個個球隨機地分配到球隨機地分配到m個盒子中去個盒子中去(n m),則則每盒至多每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nmnPPm 133323C 概率論-1事件與概率某班級有某班級有n 個人個人(n 365), 問至少有兩個人問至少有兩個人的生日在同一天的概

25、率有多大？的生日在同一天的概率有多大？解解: :設設A=“n 個人個人中中至少兩個人生日在同一天至少兩個人生日在同一天”()1()1P AP A 則則 A=“n 個人個人的的生日生日全不相同全不相同”365365nnP 365!1365(365)!nn nP(A) 100.12200.41230.51300.71400.89500.97當班級人數(shù)達到當班級人數(shù)達到2323且且班級數(shù)目很多班級數(shù)目很多時時, ,一般一般會會有一半的班級至少有一半的班級至少兩個人生日在同一天兩個人生日在同一天.概率論-1事件與概率(3)分組問題分組問題999271891010103020103!()CCCP ACC

26、C 1710103272010101010302010( )CCCCP BCCC 例例3：30名學生中有名學生中有3名運動員名運動員,將將30名學生平均分名學生平均分到到3組組,求求:(1)每組有一名運動員的概率；每組有一名運動員的概率； (2)3名運動員集中在一個組的概率名運動員集中在一個組的概率.解解: 設設A=“每組有一名運動員每組有一名運動員”; B=“3名運動員在名運動員在同同一組一組”3!30!2710!9!9!10! !9!10 27!37!(277)!30!10!(3010)! 50203 18203 概率論-1事件與概率(4) 隨機取數(shù)問題隨機取數(shù)問題例例4: 從從1到到20

27、0這這200個自然數(shù)中任取一個個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被6整除的概率整除的概率;(2)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被8整除的概率整除的概率;(3)求取到的數(shù)既能被求取到的數(shù)既能被6整除也能被整除也能被8整除的概率整除的概率.解解: 設設200/6( )200P A 33200 200/8( )200P B 25200 18 200/24( )200P C 8200 125 概率論-1事件與概率4.幾何概率幾何概率 早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不夠的。夠的。 在古典概型中在古典概型中, ,把試驗個數(shù)有限改為無限，把試驗個數(shù)有限改為無限，等可能性不變。人們引入了幾何概型。由此形等可能性不變。人們引入了幾何概型。由此形成了確定概率的另一方法成