力學中的守恒定律

1、第2章力學中的守恒定律關于物體運動規(guī)律的表述,除了牛頓運動定律之外,還有能量、動量和角動量三個定理和三個守恒定律.表面上看來,這三個定理僅是牛頓運動方程的數(shù)學變形,但物理學的發(fā)展表明,能量、動量和角動量是更為基本的物理量,它們的守恒定律具有更廣泛、更深刻的意義.能量、動量和角動量及其各自的守恒定律是既適用于宏觀世界,又適用于微觀領域;既適用于實物,又適用于場的物理量和運動規(guī)律.§2.1 功和能 機械能守恒定律一 、 功及功率1. 功 由前面的討論可知,力可以使物體的運動狀態(tài)發(fā)生變化,那么力對空間的累積會產(chǎn)生什么效應呢?在力學中,力對空間的積累效應表現(xiàn)為功,受力情況不同,功的表達方式也

2、就不同.恒力的功F的作用下,由a沿直線運動到b,其位移為. 由中學物理知道,力在位移上的投影與位移大小的乘積為力的功,以A表示，即 (2.1)式中為F與位移的夾角.由矢量代數(shù)知,兩矢量的大小與它們之間夾角余弦的積為一標量, 稱為標積.因此,功可用力與位移的標積表示,即 (2.2) 功是標量,其正負由和的夾角決定.由式(2.1)知,當,即時,功為正,說明力對物體做正功(如物體下落時重力作的功);當,即時,功為負,說明力對物體做負功(如物體上升時重力作的功);當,即時,功為零,說明力與位移垂直時該力對物體不做功(如物體作曲線運動時的法向力作的功為零).從功的定義可知,功是一個標量,若n個外力同時對

3、某一物體作功時,則合外力所作的功等于每個力對物體所作的功的代數(shù)和.即 在國際單位制中,力的單位為牛頓,位移的單位為米,則功的單位為焦耳(J),即.功的量綱為MLT.變力的功,它所對應的元位移為.而在元位移的范圍內(nèi)可認為力是恒力.力在元位移中對物體所作的元功以表示.由式(2.2)知: (2.3)把a到b的總路程分為 N個位移元,并考慮N，求和變?yōu)榉e分，則沿此曲線力所作的總功為 (2.4)式中 a、b表示曲線運動的起點和終點.(2.4)式即為計算變力作功的一般公式,在數(shù)學上稱為F的曲線積分.其在直角坐標系中可表示為 (2.5)例 2.1 如圖2.3所示,水平外力P 把單擺從鉛直位置(平衡位置)O點

4、拉到與鉛直線成角的位置.試計算力對擺球所作的功(擺球的質(zhì)量 m與擺線的長度l為已知,且在拉小球的過程中每一位置都處于準平衡態(tài)).解 由題意知小球在任一位置都處于準平衡態(tài),其平衡方程可表示為水平方向 豎直方向 可得 當小球在位置處沿圓弧作微位移時,力 P 所作的元功為 單擺在從0到的過程中拉力P所作的功為 同樣可討論重力對小球所作功。例 2.2 一質(zhì)量為的卡車啟動時在牽引力的作用下,自原點處從靜止開始沿x軸作直線運動.求在前10s內(nèi)牽引力所作的功.解 已知力與時間的關系,但不知道力與質(zhì)點坐標的函數(shù)關系,因此不能直接應用公式來計算功,應先求出的表達式才能計算力的功.故牽引力在前10s內(nèi)作的功2.

5、功率 在實際問題中,不僅需要知道力所作的功,而且還需要知道作功的快慢.力在單位時間內(nèi)所作的功稱為功率,用P表示.設在時間內(nèi)所作的功為,則在這段時間內(nèi)的平均功率為 (2.6) （2.7）可見,瞬時功率等于力與速度的標積.在國際單位制中,功率的單位是 (J·s-1)稱為瓦特(W).其量綱為 .功率還常用千瓦(KW)、馬力(HP)作單位,其換算關系為 二、動能和動能定理 累積 (功)與狀態(tài)變化的關系.1. 質(zhì)點的動能定理首先討論物體在恒合外力的作用下作勻加速直線運動的情況.如圖所示,物體的質(zhì)量為m,初速度為,所受合外力為F,加速度為a,經(jīng)過位移s后的速度為,按直線運動的規(guī)律及牛頓第二定理有

6、得合外力對物體所作的功為 即： （2.8）上式中出現(xiàn)了一個其值取決于質(zhì)點的質(zhì)量和速率的物理量,它是質(zhì)點運動狀態(tài)的函數(shù),我們將定義為質(zhì)點的動能,并用來表示: (2.8)式亦可寫成 (2.9)上式表明:恒合外力對物體所作的功等于物體動能的增量,此即動能定理.因動能的變化用功來量度,故動能與功的單位相同,在國際單位制中,動能的單位也為焦耳(J)。當合外力是變力,物體作曲線運動的情況下,仍可以得到(2.9)式的結(jié)果.如圖所示,根據(jù)牛頓第二定理,在位移元內(nèi)的元功可表示為 式中為元弧長.設物體在a點的速率為在b點的速率為,則在ab路徑上作的功為 即： 可見,物體無論是受恒力還是變力作用,沿直線還是曲線運動

7、都滿足(2.9)式,即合外力對物體所作的總功等于物體動能的增量.所以(2.9)式是動能定理的普遍表達式.由式(2.9)可知,當外力對物體作正功時(A>0),物體的動能增加;當外力對物體作負功時(A<0),物體的動能減少,亦即物體反抗外力作功,此時物體依靠動能的減少來作功;若(A=0),則外力不作功,物體的動能不變.例題2.3 對例題2.1采用動能定理求解.解 由于小球在任一時刻都處于平衡態(tài),其動能的增量,由動能定理得所以： 所得結(jié)果與例題2.1的結(jié)果相同,但用動能定理求解要簡單的多.例題2.4 一物體由斜面底部以初速度向斜面上方?jīng)_去,又回到斜面底部時的速度為,設物體與斜面間有滑動摩

8、擦.求物體上沖的最大高度.解 m,斜面夾角為,物體與斜面間的摩擦系數(shù)為,物體上沖的最大高度h。對于物體的上沖過程,重力和摩擦力對物體作負功,使物體上沖到最高點時,.在垂直于斜面的方向上,則其滑動摩擦力.上沖過程中,外力所作的總功為 由動能定理有同理,對于下滑過程外力所作的總功為 由動能定理得 通過以上討論,應該注意兩點:(1)功和能的概念不能混淆,動能是物體運動狀態(tài)的單值函數(shù),是反映質(zhì)點運動狀態(tài)的物理量,即是一個狀態(tài)量.而功是與質(zhì)點受力并經(jīng)歷位移這個過程相聯(lián)系的."過程"意味著"狀態(tài)的變化",所以功不是描述狀態(tài)的物理量,而是過程的函數(shù),即為過程量.我們可

9、以說處于一定運動狀態(tài)的質(zhì)點有多少動能,但說質(zhì)點有多少功就毫無意義,這是功和能的根本區(qū)別.動能定理建立了功這個過程量與動能這個狀態(tài)量之間的關系,說明了做功是動能發(fā)生變化的手段,而動能的改變又是對功的度量.(2)質(zhì)點的動能定理是根據(jù)牛頓第二定律推導出來的,所以也只能適用于慣性系中.2. 質(zhì)點組的動能定理下面我們把由若干質(zhì)點組成的質(zhì)點組作為研究對象,討論內(nèi)、外力對質(zhì)點組作功與質(zhì)點組動能變化之間的關系.設質(zhì)點組由n個質(zhì)量分別為, 的質(zhì)點組成.其中每個質(zhì)點在內(nèi)、外力作用的過程中都滿足動能定理.對第i個質(zhì)點應用動能定理有 對質(zhì)點組中的所有質(zhì)點都寫出類似的表達式,求和得 即 (2.10)(2.10)式表明:

10、質(zhì)點組的動能的增量,等于所有內(nèi)力作功和所有外力作功的代數(shù)和,這稱做質(zhì)點組動能定理.值得注意的是,由于作用力和反作用力總是大小相等、方向相反,故質(zhì)點組內(nèi)力的矢量和為零,但作用力的功與反作用力的功卻不一定等值反號,所以對質(zhì)點組來說,內(nèi)力作功的代數(shù)和不一定為零.如對兩個質(zhì)點(如圖2.6)而言,內(nèi)力的總元功為 其中是質(zhì)點1對質(zhì)點2的作用力,是質(zhì)點2對質(zhì)點1的相對位移.上式表明,一對內(nèi)力的元功和等于一質(zhì)點對另一質(zhì)點作用力與另一質(zhì)點對施力質(zhì)點相對位移的點積.因此,只要二質(zhì)點相對位移不等于零,也不與相互作用力垂直,內(nèi)力功就不等于零;一對內(nèi)力的功與參考系的選取無關.一質(zhì)點組所有內(nèi)力的總功也與參考系的選取無關,

11、只取決于內(nèi)力和相對位移.三、保守力 勢能1. 保守力重力的功 質(zhì)量為mmg對質(zhì)點所作的功,建立平面直角坐標系,則AB兩點的坐標分別為,重力的表達式為 而位移元的表達式為 根據(jù)功的定義式,從A點到B點的過程中重力所的功為 (2.11)如果質(zhì)點不是沿ACB路徑從A點到B點,而是沿其它任意路徑由A點到達B點,則可以證明重力作功仍為(2.11)式.由此可見,重力作功具有一個重要特點:重力對質(zhì)點所作的功由質(zhì)點相對于地面的始末位置決定,而與所通過的具體的路徑無關.彈性力的功物體在點附近移動無限小位移dxi時,彈性力所作的元功,于是物體由點移動到點的過程中,彈性力所作的總功為 (2.12)如果質(zhì)點先由點到點

12、,再由點到點,最后由點再返回到點,在整個過程中彈性力的功由三部分組成,即由以上計算可知,質(zhì)點經(jīng)、點再回到點后彈性力所作的功與質(zhì)點直接由點到點過程彈性力作的功完全相同.由此可見,彈性力做功也具有同樣的特點:只由質(zhì)點的始末位置決定而與通過的具體路徑無關.萬有引力的功 設質(zhì)量為m的質(zhì)點處于質(zhì)量為M的靜止質(zhì)點的引力場中,并從a點沿任一曲線路徑移至b點,同重力與彈性力的討論相同,萬有引力作功也只由質(zhì)點m的始末位置決定,而與質(zhì)點所通過的具體路徑無關. 上述結(jié)果可歸納如下： (2.13)保守力與非保守力 綜合以上幾種力的作功,都有一個共同的特點,即該力所作的功僅與受力質(zhì)點的始末位置有關,而與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑

13、無關.把具有這種性質(zhì)的力稱為保守力.若讓質(zhì)點僅在保守力作用下沿一閉合路徑運動, 所做的總功顯然為 上式即為保守力的判別條件.與此相對應,把作功不僅與始末位置有關,而且與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑有關的力稱為非保守力.如摩擦力等.2. 勢能勢能 由于保守力做功與路徑無關,只與始末位置有關,由此可知,必然存在一個由相對位置決定的函數(shù),把這個函數(shù)定義為勢能,而且質(zhì)點由始位置移到末位置時刻函數(shù)的增量與保守力作功相聯(lián)系,從而規(guī)定:勢能的增量等于保守力作功的負值,用和分別表示質(zhì)點在始、末位置的勢能,用表示保守力由初始位置到末位置作的功,則有 (2.14)由上式可見, 將 (2.13)代入(2.14)式得重力勢能,彈

14、性勢能,萬有引力勢能改變量的一般式分別為: (2.15) (2.16) (2.17)說明：由上述可知,勢能是與質(zhì)點間相互作用的保守力相聯(lián)系的,因此勢能屬于以保守力相互作用的質(zhì)點組成的質(zhì)點系統(tǒng).(對于單個質(zhì)點來說,可以具有動能卻不能具有勢能).例如:重力勢能屬于以重力相互作用的地球以及質(zhì)點m所組成的系統(tǒng)共有;彈性勢能屬于以彈性力相互作用的彈簧以及所連質(zhì)點組成的系統(tǒng)共有;引力勢能屬于以萬有引力相互作用的質(zhì)點系統(tǒng)共有.也就是說,用來決定勢能大小的質(zhì)點位置(x,y,z),實際上應是質(zhì)點系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間的相對位置,即質(zhì)點系的勢能是質(zhì)點相對位置的函數(shù).四、功能原理 機械能守恒定律前面分別討論了有關動能和勢能的

15、概念及其變化規(guī)律.質(zhì)點系的動能和勢能之和稱為質(zhì)點系的機械能.顯然,機械能的變化規(guī)律應與外力和內(nèi)力的功有關,而體現(xiàn)這一規(guī)律的是功能原理和機械能守恒定律.1系統(tǒng)的功能原理設一質(zhì)點系統(tǒng),其狀態(tài)由組成它的各質(zhì)點的速度和質(zhì)點間的相對位置確定.當系統(tǒng)由一個狀態(tài)過渡到另一狀態(tài)時,作用于系統(tǒng)的力將要作功.質(zhì)點系動能定理可表示為: 保守力的功等于勢能增量的負值,即 將此式代入前式移項后變?yōu)?(2.18)式中E、E0分別表示質(zhì)點系在始、末位置的機械能.(2.18)式表明:外力和非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機械能的增量.這一結(jié)論稱為系統(tǒng)的功能原理它反映了力學系統(tǒng)在機械運動中的功能關系.在質(zhì)點系功能原理的理解上應指出以

16、下幾點:(1)只有外力作功、非保守內(nèi)力作功才會引起質(zhì)點機械能的改變,前者引起的是質(zhì)點系機械能能與外界的交換,并以功值量度這種交換;后者引起的是系統(tǒng)內(nèi)部機械能與其它形式能量的轉(zhuǎn)化,也以功值量度這種轉(zhuǎn)化；(2) 注意功能原理與動能定理的對比,動能定理給出了質(zhì)點系動能的改變與功的關系,應把所有力的功計算在內(nèi);功能原理則給出了質(zhì)點系機械能的改變與功的關系,由于勢能的改變已經(jīng)反映了保守內(nèi)力作功的效應,故不可再計入保守內(nèi)力的功以免造成重復計算；(3)從功能原理的推導可以看出,功能原理與動能定理并無本質(zhì)區(qū)別,其外在區(qū)別僅僅在于功能原理中引入了勢能概念而不需要計算保守內(nèi)力的功.其實這正是功能原理的優(yōu)點,因為計

17、算質(zhì)點系勢能的增量往往比直接計算作功更為方便.2機械能守恒定律如果外力和非保守內(nèi)力不對系統(tǒng)作功,由(2.18)式可得 或 (2.19)(2.19)式表明:在系統(tǒng)外力、非保守內(nèi)力不做功,亦即只有系統(tǒng)保守內(nèi)力做功的條件下,質(zhì)點系的機械能守恒.這一結(jié)論叫機械能守恒定律.的木塊開始位于傾角的斜面底端,現(xiàn)用一平行斜面的合恒力拉它,使木塊自靜止開始沿斜面移動.如果,木塊與斜面間的摩擦系數(shù),問當木塊移動后,木塊的速度是多大?解（解法一用動能定理求解）: 木塊沿斜面向上運動時,受到四個力的作用:拉力 、重力 、摩擦力和斜面對木塊的正壓力,其中拉力作正功,重力和摩擦力作負功,而正壓力不作功.木塊在移動s的過程中

18、,合力對木塊所作的功為根據(jù)動能定理有 可見,拉力所作的功一部分與重力和摩擦力的功相抵消,其余部分使木塊獲得動能,由上式得 解法二（用功能原理求解）: 把木塊、斜面和地球視為質(zhì)點組,則對木塊做功的三個力中,摩擦力為質(zhì)點組的非保守內(nèi)力.故在木塊移動過程中,外力和非保守內(nèi)力對質(zhì)點組作的總功為 因為斜面始終靜止,對系統(tǒng)機械能無影響,所以只需考慮木塊機械能的變化.設木塊在斜面底端時重力勢能為零,則初態(tài)機械能,終態(tài)機械能, 根據(jù)質(zhì)點組功能原理有 整理可得 本題亦可用牛頓第二定律求解(留作練習).比較以上兩種解法可以看出,動能定理和功能原理都是牛頓第二定律的推論,其本質(zhì)是一致的,只是出發(fā)點不同.應用質(zhì)點動能

19、定理時,是以質(zhì)點為研究對象,著眼于動能變化,要計算質(zhì)點受的所有力的功.應用功能原理時,是以質(zhì)點組(物體系)為研究對象,著眼于機械能的變化,計算功時不再計入保守內(nèi)力的功.在許多情況下,用功能原理或動能定理比直接用牛頓第二定律要簡便得多,因為它可辟開時間,直接尋找位置與速率的關系.例題2.6 一根均勻鏈條,質(zhì)量為m,總長為L,一部分放在光滑桌面上,另一部分從桌面邊緣下垂,長為b解（解法一：用牛頓運動定律求解）設任一時刻t,垂下部分長為x,此時分別以桌面上的部分鏈條和垂下部分鏈條為研究對象,其受力情況如圖所示.設加速度為a,由牛頓運動定律得對桌面上鏈條有對下垂部分鏈條有 且 將以上三式聯(lián)立求解,得

20、又因 所以 分離變量積分得 解法二（用機械能守恒定律求解）以鏈條和地球為系統(tǒng).在下滑過程中桌面上部分鏈條受的重力和支承力N都不作功,T與為內(nèi)力,且作功的代數(shù)和為零.下垂部分受的重力為保守力,無其它外力和非保守內(nèi)力作功,故機械能守恒.取桌面為零勢面,由機械能守恒得 由上式可求出鏈條全部離開桌面瞬間的速率 本題還可用動能定理求解,比較以上兩種解法可看出,用機械能守恒定律求解最為簡便.但注意明確所研究的系統(tǒng),判定守恒條件,并選擇好零勢點(或面),正確確定始末狀態(tài)的機械能.作業(yè)（P56)9，10，11§2.2 動量 動量守恒定律本節(jié)從沖量作用和質(zhì)點(系)動量變化的因果關系出發(fā)，把牛頓運動定律

21、所揭示的力的瞬時效應延長為力對時間的累積效應，導出反映沖量與動量之間聯(lián)系的動量定理，將動量定理應用于質(zhì)點系統(tǒng)，可導出力學中又一守恒定律動量守恒定律。動量定理和動量守恒定律，為我們求解動力學問題開辟了又一條不同于動能角度的新途徑。一、沖量 動量及動量定理1. 沖量力學中的沖量概念,也是從實踐中概括出來的.大量事實表明,一個物體的運動速度的變化,決定了兩個因素:第一是作用力的大小;第二是力的作用時間長短.例如:當火車啟動時,要達到一定的速度,必須是機車的作用力作用一段時間,如果機車的牽引力很大,在較短的時間內(nèi)就可以達到這個速度;若機車的牽引力較小,那么就需要較長的時間才能達到這個速度.由此可見,物

22、體運動狀態(tài)的改變,不僅與作用力有關,還與力的作用時間有關.為此,我們研究力對時間的累積作用,這種累積作用可用沖量來表示.恒力的沖量 設從到t的這段時間內(nèi),有一恒力F作用在物體上,我們把力與力所作用時間的乘積稱為力的沖量,用I表示,即 (2.20)變力的沖量 對于變力,不能用式(2.20)計算沖量.但在極短時間間隔內(nèi),可認為力的大小和方向都恒定,若F表示極短時間內(nèi)的作用力,則叫力F在時間內(nèi)的元沖量.對于較長的時間,可將其分割為許多很小的時間間隔,在任意中力都可以視為恒定并用表示,將力在各的元沖量求矢量和并取極限,即可得到力在 時間內(nèi)的總沖量,即 (2.21)這就是說,定義變力F在一段時間內(nèi)對時間

23、t的積分為該力在該段時間內(nèi)的沖量.顯然,由于力是矢量,力的沖量也是矢量.在研究變力對時間累積作用時,還常用到平均力(力對時間的平均值)概念,于是變力的沖量又可表示為 (2.22)亦即變力的沖量等于的平均力與力作用時間的乘積。在國際單位制中,沖量的單位是牛頓秒( NS ) .量綱為.當力的方向沿某一直線時,變力的沖量也可用圖線進行直觀的討論:如圖2.12所示,變力的沖量其大小可用圖中力曲線之下從到t的曲邊梯形面積表示;若取寬為t-的矩形并使其面積與力曲線之下的曲邊梯形面積相等,則此矩形的高即等于平均力的大小.2. 動量早在牛頓定律建立之前,人們在研究物體的碰撞和打擊等現(xiàn)象時,就萌發(fā)了運動量的概念

24、.例如,17世紀惠更斯就曾經(jīng)指出:質(zhì)量相等的兩個物體正碰后交換速度;用錘擊釘,錘子的運動就傳給了釘子,使釘子獲得"運動"并鉆進木頭或墻壁.總之,在碰撞、打擊等現(xiàn)象中,均發(fā)生著"運動量"的傳遞.這種在機械運動中被傳遞的"運動量"如何量度?人們在實踐中總結(jié)出這種"運動量"與物體的質(zhì)量、速度均有關系.牛頓在1687年發(fā)表的自然哲學的數(shù)學原理中,已明確了動量的定義:"運動的量是用它的速度和質(zhì)量一起來量度的".也就是把物體(即質(zhì)點)的質(zhì)量與速度的乘積定義為質(zhì)點的運動量.用P表示,即 (2.23)在國際單位

25、制中,動量的單位為千克米秒(kg·m/s)。 由動量定義可知,動量是矢量,其方向與速度方向相同;且它是比速度更具有普遍意義的狀態(tài)量,它反映運動物體所具有的機械作用能力的大小.如高速飛行的質(zhì)量很小的子彈,命中敵人時可給敵人以致命的打擊;低速行駛但質(zhì)量很大的汽車也會給予不慎相撞的行人可怕的傷害,都是由于運動物體動量大,而具有很大機械作用能力的結(jié)果.3. 動量定理牛頓第二定律可寫為 積分可得 (2.24)上式表明:物體(即質(zhì)點)所受的合外力的沖量(過程量)等于物體動量(狀態(tài)量)的增量(即末動量與初動量的矢量差),此即為動量定理.動量定理在直角坐標系中的分量式為 對動量定理的理解應注意以下幾

26、點:(1) 質(zhì)點的動量定理是從牛頓定律導出的,它們都是說明物體運動狀態(tài)與外力作用的關系.所不同的是,牛頓第二定律說明任意時刻質(zhì)點動量的變化率與該時刻外力之間的關系,而動量定理則說明任意時間間隔內(nèi)質(zhì)點動量的變化量與該時間間隔內(nèi)外力沖量之間的關系.(2) 質(zhì)點的動量定理表明合外力的沖量方向與受力質(zhì)點的動量的增量方向一致,而不是與質(zhì)點某時刻的動量方向相同.例如:在質(zhì)點作斜上拋運動并達到最高點的過程中,質(zhì)點所受合外力為重力(不計空氣阻力),故合力的沖量方向鉛直向下,質(zhì)點在這段時間內(nèi)動量的增量也同樣鉛直向下.(3) 質(zhì)點動量定理應用于碰撞、打擊問題時十分方便.因為這類問題的特點是力的作用時間僅為百分之幾

27、秒,甚至千分之幾秒,而在這極短的時間內(nèi)力急劇地上升至很大數(shù)值,然后又急劇地減小為零,這種力稱為沖力.沖力的方向一般是不變的,但大小不易測定.然而物體的動量變化比較容易確定,因此可以根據(jù)動量定理來計算力的沖量大小,而無需考慮運動過程中沖量變化的細節(jié).(4) 同牛頓第二定律一樣,質(zhì)點的動量定理僅適用于慣性系.而且在一切慣性系中形式都相同.例題2.7 質(zhì)量為的重錘,從高度為h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上,使工件發(fā)生形變,如果作用時間,試求錘對工件的平均沖力.假設錘不反彈.解：取重錘為研究對象,在錘與工件相互作用前,錘是一個自由落體,在與工件剛接觸時,錘的速度為時間后,錘靜止在工件上.在這段時間

28、內(nèi),錘除了受向下的重力P以外,還受到工件對它的向上的沖力N作用.用平均沖力代替N.由動量定理得取鉛直向下為坐標軸的正向，有 則錘對工件的平均沖力方向向下,大小與相等.由于,表示若將錘靜止放在工件上,工件所受壓力等于重力,而打擊時,卻能產(chǎn)生比錘所受重力大560倍的沖力,此即為鍛壓的基本原理.由此例可見:(1)當沖力很大時( 很小時),一些常見的力(如重力)與它比較,可忽略;(2)動量定理是矢量關系,解題時一定要把各力和速度的方向弄清楚,列出矢量式,選好坐標系,再用分量式進行計算.例題2.8：人從多高處跳落到地面上會發(fā)生骨折？解：若人從高為h處落到地面而又不反彈,人體的質(zhì)量為m,則作用于人體的平均

29、沖力為： 若人雙足著地,借助腳腕腳掌及雙膝來控制碰撞時間,對的估算:設人從落地速度 減到 0 時,身體的重心移動了一段距離,假設彎膝期間重心作勻減速運動，則有 將此式代入上式得 這表明,地面對人的沖擊力等于人所受重力乘以跳落高度與人體重心移動距離之比.對一質(zhì)量為60kg的人來說, ,人足的骨骼最小處的截面積為,則作用于單位面積上的力為(雙足同時落地). 單位面積上的力超過時,就會發(fā)生骨折.容易算出,即使落下1.72.0m,直腿下跳也會骨折.二、質(zhì)點系動量定理和質(zhì)心運動定理1.質(zhì)點系的動量定理設質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成,其中第i個質(zhì)點受到系統(tǒng)外物體作用的合力為,受到系統(tǒng)內(nèi)其它質(zhì)點作用的合力為.將質(zhì)點

30、動量定理分別應用于系統(tǒng)中的每一個質(zhì)點,并左、右兩邊分別相加得 由于內(nèi)力是成對出現(xiàn)的作用力和反作用力,二者大小相等,方向相反,所以作用于系統(tǒng)的內(nèi)力的矢量和為零.于是上式又可寫為 (2.25)式(2.25)表明:在一段時間內(nèi)質(zhì)點系所受合外力的沖量等于在該段時間內(nèi)質(zhì)點系總動量的增量.此即為質(zhì)點系的動量定理.2.質(zhì)心運動定理質(zhì)心：由于質(zhì)心就是質(zhì)點系質(zhì)量分布的中心,它的位置與各質(zhì)點質(zhì)量大小和分布有關.設一個質(zhì)點系由N個質(zhì)點組成,若用表示質(zhì)點組中第i個質(zhì)點的質(zhì)量和位矢,用表示質(zhì)心的位矢.則質(zhì)心位置的三個直角坐標為 (2.26a)以上三式為計算質(zhì)心位置的普遍公式,也可以寫成矢量式 (2.26b) 如果把質(zhì)量

31、連續(xù)分布的物體當作質(zhì)點系,求質(zhì)心時就要將求和改為積分,即 (2.26c)例題2.9地球質(zhì)量為,月球質(zhì)量為,它們的中心的距離.求地月系統(tǒng)的質(zhì)心位置.解：地球和月球都可看作均勻球體,它們的質(zhì)心都在各自的球心處.這樣就可以把地月系統(tǒng)看作地球與月球質(zhì)量分別集中在各自的球心的兩個質(zhì)點.選擇地球中心為原點,x軸沿著地球中心與月球中心的連線，則系統(tǒng)的質(zhì)心坐標為 這就是地月系統(tǒng)的質(zhì)心到地球中心的距離.這一距離約為地球半徑()的70%, 約為地球到月球距離的1.2%.質(zhì)心運動定理：若對質(zhì)心位矢求導數(shù),則得到質(zhì)心的運動速度: 亦即 即質(zhì)點系的總動量等于它的總質(zhì)量與它的質(zhì)心的運動速度的乘積.總動量對時間的變化率為

32、式中ac是質(zhì)心運動的加速度.由前面討論可知: 即 (2.27)這一公式叫做質(zhì)心運動定理.它表明一個質(zhì)點系的質(zhì)心的運動,就如同這樣一個質(zhì)點的運動,該質(zhì)點質(zhì)量等于整個質(zhì)點系的質(zhì)量并且集中在質(zhì)心,而此質(zhì)點所受的力是質(zhì)點系所受的所有外力之和.需要指出的是,在這以前我們常常用"質(zhì)點"一詞來代替"物體",在某些問題中,物體并不太小,因而不能當成質(zhì)點看待,但我們還是用了牛頓定律來分析研究它們的運動.嚴格地說,我們是對物體用了式(2.27)那樣的質(zhì)心運動定理,而所分析的運動實際上是物體的質(zhì)心運動.在物體作平動的條件下,因為物體中各質(zhì)點的運動相同,所以可以用質(zhì)心的運動來代

33、表整個物體的運動而加以研究.三、動量守恒定律對于單個質(zhì)點,若F=0,則由質(zhì)點動量定理知, 這就是慣性定律.對于質(zhì)點系來說, 若,則由質(zhì)點系動量定理知 (2.28a)上式表明:對于質(zhì)點系來說.若外力矢量和為零,雖然質(zhì)點系內(nèi)每個質(zhì)點的動量可以變化,可以相互交換,但質(zhì)點系的總動量不變.這一規(guī)律稱為動量守恒定律.應用動量守恒定律分析解決問題時,應注意以下幾點:(1) 系統(tǒng)動量守恒的條件是合外力為零,即F=0.但在外力比內(nèi)力小得多的情況下,外力對質(zhì)點系的總動量變化影響甚小,這時可以認為近似滿足動量守恒定律條件,也就可以近似地應用動量守恒定律.例如兩物體的碰撞過程,由于相互撞擊的內(nèi)力往往很大,所以此時即使

34、有摩擦力或重力等外力,也常可忽略它們,而認為系統(tǒng)的動量守恒.(2) 動量守恒表示式(2.28)是矢量式,在實際問題中,常應用其沿坐標軸的分量式,如直角坐標系下，當 (2.28b)由此式可見,如果系統(tǒng)所受外力在某個方向上的分量代數(shù)和為零,那么系統(tǒng)的總動量在該方向上的分量保持不變.(3) 動量守恒定律不僅適用于一般物體,而且也適用于分子、原子等微觀粒子,是物理學中最普遍的定律之一.實踐表明,在牛頓定律一般不適用的領域,如研究微觀粒子問題中,動量守恒定律仍然是適用的.(4) 由于我們是用牛頓定律導出動量守恒定律的,所以它只適用于慣性系.例題2.10 （P47）作業(yè)(P56):13、17、19、25四

35、、碰撞把兩個相互作用時間很短(10-2s以下)的過程稱為碰撞.如宏觀意義上的撞擊、打樁、鍛鐵等,微觀領域中的分子、原子、原子核等的散射,在此僅討論宏觀領域的碰撞問題.對于碰撞問題,由于相互作用的物體的作用時間極短,相互作用力即沖力又非常的大,系統(tǒng)所受外力一般遠小于沖力,可忽略不計,因此,對于碰撞問題,系統(tǒng)的動量守恒.根據(jù)相互作用前后各物體的速度的方向,可以把碰撞分為正碰(對心碰撞)和斜碰.如果兩球相碰前后的速度均在兩球中心的連線上,則稱為正碰或?qū)π呐鲎?否則稱為斜碰.兩球的碰撞過程可分為兩個階段,第一階段為壓縮變形階段,從接觸、擠壓變形到相對速度為0;第二階段為彈性恢復階段,根據(jù)碰撞后的恢復情

36、況,把碰撞分為:(1) 兩球完全恢復原來的形狀,稱為彈性碰撞.碰撞過程中動能和勢能相互轉(zhuǎn)化,最終使碰撞前后動能守恒.(2) 兩球變形后沒有恢復原來形狀,即碰撞后連成一體,以同一速度運動,其動能不守恒,此種碰撞稱為完全非彈性碰撞.(3) 若兩球只部分恢復原狀,為非彈性碰撞.碰撞前后動能不守恒.1. 彈性碰撞（正碰）設兩物體發(fā)生彈性正碰,碰撞前的速度分別為,質(zhì)量分別為,碰撞后的速度為.由于為正碰,速度都在一條直線上,由動量守恒定律和碰撞前后動能守恒有 (2.29) (2.30)由上兩式可得 (2.31)這表明在彈性正碰中,碰后兩物體相互分離的速度等于碰前兩物體相互趨近的速度，求解式(2.29)及(

37、2.31)得出碰撞后的速度 (2.32)由(2.32)式結(jié)果,討論以下幾種特殊情形:(1)當時, ,表明在彈性正碰中,兩質(zhì)量相等的物體碰撞后彼此對換速度.(2)若碰前靜止,即,則： 進一步分別討論m1=m2, m1>>m2和 m1<<m2。表明一個質(zhì)量很小的物體碰撞一質(zhì)量很大且靜止的大物體時,小物體幾乎以原速率反彈回來,而質(zhì)量大的物體幾乎保持不動，質(zhì)量很大的物體與質(zhì)量很小的且靜止的物體碰撞后,質(zhì)量大的物體速度不變,質(zhì)量小的物體卻以幾乎兩倍與大質(zhì)量物體的速度運動.上述現(xiàn)象在核反應堆中得到了應用.在核反應堆中,基本的核反應是鈾（）俘獲中子后發(fā)生裂變,裂變時放出更多的中子,如

38、再被鈾俘獲造成鏈式反應就能放出大量的能量,裂變時放出的中子(快中子)速度較高(約為106m/s),而鈾只能俘獲慢中子(約為103m/s).因此必須在核反應堆中放置"減速劑",使快中子跟減速劑中的原子核不斷碰撞以減緩速度.從上面的討論可見,選用質(zhì)量與中子質(zhì)量差不多的靶核,其減緩效果最好,通常在核反應堆中的減速劑為氘核(在重水中的重氫核)和碳核(在石墨中).2. 完全非彈性碰撞在完全非彈性碰撞中,碰撞后兩物體速度相同,即 根據(jù)碰撞前后動量守恒,得 (2.33)在碰撞過程中機械能損失為 完全非彈性碰撞的機械能損失最大,其損失的機械能變?yōu)槠渌问降哪芰?如熱能等).3.非彈性碰撞把

39、介于彈性碰撞和完全非彈性碰撞之間的碰撞稱為非彈性碰撞,其機械能的損失量取決于恢復系數(shù),用e表示.由(2.31)式可定義為 (2.34) 恢復系數(shù)e由碰撞物體的材料決定,只要能知道e的值就可以求出碰撞后物體的狀態(tài).彈性碰撞相當于e=1;完全非彈性碰撞,相當于e=0,而彈性碰撞的恢復系數(shù)為0<e<1,這種碰撞中兩物體的形變不能完全恢復,部分動能變成熱能或其它形式的能量,根據(jù)(2.29)和(2.34)式,求得碰后的速度為 (2.35)最后應注意牛頓定律與守恒定律的適用范圍,牛頓定律只適用于宏觀低速的運動物體(即速度遠小于光速),對于高速的運動物體要用相對論求解,微觀粒子用量子力學求解.但

40、能量守恒與動量守恒對微觀粒子仍然適用,即能量守恒和動量守恒比牛頓定律具有更大的普遍性.例題2.11 如圖2.17所示,兩小球吊在兩根細線上,線長都是,小球的質(zhì)量分別為吊著不動,把的線拉成水平,然后放開讓其下落與作彈性碰撞,求第一次碰撞后各自上升的高度.解：碰撞前靜止,自由下落滿足機械能守恒,由此得 由于為彈性碰撞,碰撞前后動量守恒,動能也守恒.即有 解之得 式中負號表示與碰撞前的速度方向相反.碰撞后,設小球各自上升的高度分別為h1和h2,由各自機械能守恒得 §2.3 角動量守恒定律角動量也稱為動量矩,它是描寫旋轉(zhuǎn)運動的物理量.對于質(zhì)點在中心力場中的運動,例如天體的運動、原子中電子的運動等,角動量是非常重要的物理量.一、質(zhì)點的角動量守恒定律力矩 在中學物理中,我們知道當物體轉(zhuǎn)動時,運動狀態(tài)的變化與外力的力矩有關.力矩的大小為力與力臂的乘積,即 r,質(zhì)點所受的外力為F，則定義F對參考點O的力矩為質(zhì)點對參考點的位置矢量與所受力的矢積.即 (2.36)(這里用到矢積的概念,這種乘法也叫叉乘.矢量A與B的矢積還是一個矢量,其大小為,是A與B所夾小于的角,方向滿足右手螺旋法則,即:右手四指與拇指垂直,四指從矢量A經(jīng)小于角轉(zhuǎn)向矢量B,這時拇指所指的方向即為的方向).按照矢積的定義,力矩大小為 為r與F小于的夾角.顯然,O點