九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形

1、28.2解直角三角形及其應(yīng)用28. 2.1 解直角三角形A. 3.5sin29。米 B . 3.5cos29。米解的是（）A.已知a= 3,ZC= 90 B .已知/ B= 36,/C= 90C.已知a= 3,/B= 36 D .已知/B=36,/A= 543.在 RtABC中,/C= 90,a,b,c分別是/A, /B,/C所對的邊，已知a= 5,b= 5 .3，墓礎(chǔ)自我診斷1Bll關(guān)鍵問答在直角三角形中，邊和角之間有什么數(shù)量關(guān)系？形中，邊和角之吐卜 缶 ncoo-iQnjI_ _ _i :乖的直角三角形是一個什么樣的特殊直角三角形?？ 步璋8叢2-1:所示，已呷飛BC的長約為3.5、米癱

2、約為 29，則該樓梯的咼度AB可表示為（ ）2可解的直角三角形有什么特點？代*3兩直角邊長的比為 i:1.2017 綏化某樓梯的側(cè)面如圖1BCAC.2.o,3.5,3. 5tan29。米 D.米cos29在 RtABC中,a,b,c分別為/A,ZB,ZC所對的邊，下列情況中 RtABC可圖 28 - 2 - 12求c的長和/A/B的度數(shù).3考向提升訓(xùn)練命題點 1 解直角三角形熱度：89%4.2018 宜昌如圖 28- 2 2，要測量小河兩岸相對的兩點P, A之間的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C,測得PC= 100 米，/PCA=35,則小河寬PA等于（）A. 100sin35 米

3、 B . 100sin55 米C. 100tan35。米 D . 100tan55。米易錯警示用三角函數(shù)求邊長時，要分清已知邊、未知邊、已知角之間的關(guān)系，分清所用的三角函數(shù).5.在 Rt ABC中，/C= 90,a,b,c分別是/A/B,ZC所對的邊，分別根據(jù)下 列條件解直角三角形.（1）a= 3,c= 3 2; （2）a= 3,b= 3 3; （3）c= 4 3, /B= 30; （4）b= 4, /B取常三角Z本爲數(shù)有斜）.（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜用切（正切），寧乘如圖 28- 2- 3,已知/ B= 37,AB=20,C是射線BM上一點.（1）在下列條件中，可以唯一確定BC長的是

4、_ （填寫所有符合條件的序號）AC12=13 :上玄門/ACB;連接ACABC的面積為 126.5（2）在（1）的答案中，選擇一個作為條件，畫出草圖，求BC的長.（參考數(shù)據(jù)：sin370.6 , cos37 0.8 , tan37 0.75）易錯警示6已知兩邊及一邊的對角，不能確定唯一的三角形，所以這樣的三角形不可解. 命題點 2 以其他常見幾何圖形為背景解直角三角形乘勿除，6.A同4熱度：95%47.如圖 28-2-4，在菱形ABCDK AE! BC于點E, EC=4, sinB= 5,則菱形ABC的周長是（）5A. 10 B . 20 C . 40 D . 28方法點撥7利用菱形的性質(zhì)和銳

5、角三角函數(shù)把已知條件轉(zhuǎn)化到直角三角形ABE中,將分散的條件集中到一起，使直角三角形ABE可解.3&如圖 28-2 5，在矩形ABC中,DEL AC于點E,設(shè)/ADE=a,且 cosa= 5,AB=4，貝U AD的長為()解題突破8當/OPA取最大值時，點O到AP的距離最大10.如圖 28 2 7,在？ABCDK DEL AB于點E, DF丄BC于點F, /EDF=60,AE=2,CF=3,則？ABCD勺面積為_ .圖 28 2 711.如圖 28 2 8，在平面直角坐標系中，四邊形OABC1正方形，點A的坐標是(4 ,0)，點C的坐標是(0 , 4),P為邊AB上一點，/CPB=60,沿CP折

6、疊正方形，折疊后，點B落在平面內(nèi)點B處，則點B的坐標為_ .圖 28 - 2 -4A. 3 B.16C.3203D.1659.如圖 28 2 6,點A在半徑為 最大值時，PA的長為()3 的OO內(nèi)，OA=3,P為OO上一點，當/OPA取A.3B. 6 C.-26圖 28 - 2 -812.如圖 28- 2-9,把兩幅完全相同的長方形圖片粘貼在一矩形宣傳板EFGHt，除點D外，其他頂點均在矩形EFGH勺邊上.AB=50 cm,BC=40 cm,/BAE=55，求EF的長.（參考數(shù)據(jù)：sin55 0.82 , cos55 0.57 , tan55 1.43）方法點撥9解直角三角形的方法是有斜（斜邊

7、）用弦（正弦、余弦），無斜（斜邊）用切（正切），寧乘 勿除，取原fpx/ /04請關(guān)注微信號：全品初中優(yōu)秀教師mnpoint-yxjs（原始數(shù)據(jù)）避中（中間數(shù)據(jù)），直接求不行，分著求.i_空三呂午n1-亠召-nI看摩豈刈丿卿苗圖 28 - 2 -97命題點 3 解銳角三角形或鈍角三角形熱度：93%13.在ABC中,AB=12 2,AC=13, cosBf，貝 UBC邊的長為()A. 7 B . 8 C . 8 或 17 D . 7 或 17 易錯警示10分ABC是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論14.在ABC中，/A=120AB=4,AC=2,貝 U sinB的值是（）A 務(wù)B愛 C辛 D.

8、甲14145715.?如圖 28- 2- 10,在厶ABC中,ZB=60/C= 75方法點撥?在解銳角三角形或鈍角三角形時，常過非特殊角的頂點作三角形的高，通過高將兩個直角三角形聯(lián)系起來.命題點 4 解直角三角形的綜合應(yīng)用熱度：91%16. 2017 齊齊哈爾如圖 28 2- 11,菱形OABC勺一邊OA在x軸的負半軸上，O是坐4k標原點，tan /AOC=3,反比例函數(shù)y= -的圖象經(jīng)過點C,與AB交于點。，若厶COD勺面積3X為 20,則k的值等于_ .17.?閱讀下面的材料：小紅遇到這樣一個問題：如圖 28-2- 12，在四邊形ABCDKZA=ZC= 90,/D=60,AB=43,BC=

9、3，求AD的長.小紅發(fā)現(xiàn)，延長AB與DCt目交于點E,通過構(gòu)造 Rt ADE經(jīng)過推理和計算能夠使問題 得到解決(如圖).(1) 請回答：AD的長為_ .(2) 參考小紅思考問題的方法，解決下列問題：1AC=32，求AB的長.8如圖，在四邊形ABCD中,tanA=q,/B=ZC= 135,AB=9,CD=3，求BC和AD的長.9圖 28 - 2- 12A方法點撥?對于不規(guī)則圖形的求解，常通過補形或分割的方法將其轉(zhuǎn)化成直角三角形再進行求 形ABC.和四邊形DEFG為正方形汙方形訃在線段DC上, 點A D, G在同一直線上，且AD=3,DE=1,連接AC CG AE并延長AE交CG于點H058848

10、07G請關(guān)注歸聶：全品初中優(yōu)秀教師c日npoint-yxjsDI i-l18.如圖 28- 2- 13,已知四邊求 sin /EAC的值；(2)求線段AH的長.思維拓展培優(yōu)B圖 28 - 2- 1319.-我們知道，直角三角形的邊角關(guān)系可用三角函數(shù)來描述，那么在任意三角形中， 邊和角之間是否也存在某種關(guān)系呢？如圖28-2 14,在銳角三角形ABC中, /A/B,/ACB所對的邊分別為a,b,c,過點C作CDL AB于點D,在Rt ADC中,CD= bsi nA,AD= bcosA,BD= cbcosA.1011在 RtBDC中，由勾股定理，得BD+CD=BC,即卩(cbcosA)2+ (bsi

11、nA)2=a2,整理, 得a2=b2+c2 2bccosA同理可得：b=a+c 2accosB,c=a+b 2abcos C.利用上述結(jié)論解答下列問題： 在銳角三角形ABC中，/A= 45,b= 2 護，c= 2，求a的長和/C的度數(shù)；(2)在厶ABC中,a= 3,b= 2,ZB= 45,且cab,求c的長.圖 28 2 14模型建立?已知任意三角形的兩邊及夾角可求第三邊，或已知任意三角形的三邊可求某個角的余弦值，進而求這個角.12詳解詳析1. A 解析在 Rt ABC中，已知斜邊BC和銳角/BCA求銳角/BCA勺對邊，用正AB弦，即 =sin29 ，所以AB=3.5sin29。米.故選 A.

12、BC2.C3.解：C= 90,.a2+b2=c2.a= 5,b= 53,.c= 10.TtanA=u=,./ A= 30,ZB=60.b34.C 解析/ PAI PB PC= 100 米，/PCA=35,.小河寬PA= PCan /PCA=100ta n35。米./ B= 90/A= 45.T/A=/B= 45,.b=a= 3.T/C= 90,a= 3,b= 33,c=a2+b2= 32+( 33)2= 6.(4)T/C= 90,/B= 30,./A= 90/B= 60.6 解：（1）5解:(1)TasinA= 一 =c_3_ = ,3 .2=2，/ B= 90/A= 60.T/C= 90,/

13、B= 30,./ A= 90/B= 60bTsin B=c請關(guān)注微信號：全品初中優(yōu)秀教師mnpoint-yxjs.b=csinB=43xsin30 =43X2=23.acosB=cosB=43xcos30=6.bTta n B=abTsin B= 一,ca=tanBtan30bc= siB=4sin30=8.33 . 33aTtanA=b=13方案一：選，如圖，過點A作ADLBC于點D,則/ADB=/ADC=90在 RtABD中,T/ADB=90,14方案二：選，如圖，過點C作CELAB于點E,則/BEC=901由SAABC=AB- CE=126,AB20,得CE=12.6.在 RtBEC中，

14、/BEC=90,BC=憲 21.sinB4AE4jC解析由sinB=5 可得AB=5,設(shè)AE=4a,AB-5a，所以BE=3a.由四邊形ABCD是菱形，可得A BC=5a,所以BC- BE=5a-3a= 4,所以a= 2,所以AB10,所以菱形ABC啲周長為 40.& B 解析由已知可知：AB= CD=4,ZADEFZDAE=90,/BAOZDAE=90,OP 勺長恒為 3,當OM最大時，sin /OPAt大，即/OPA取最大值. 當點M與點A重合時，OM最大，為3,此時PA=,32( ;3)2= .6.10.123 解析在四邊形DEBF中,其內(nèi)角和為 360,ZEDF= 60,DEL AB

15、DFLBCZB= 120,.ZA=ZC= 60.AE=2 ,AD=4.又CF=3, DF=3 3 ,-S?ABC=AD DF=4X3 ：3=12 ;3.11.(2, 4 23)解析過點B分別作B D丄y軸于點D, B ELx軸于點E,四邊形OAB(是正方形，點A的坐標是(4, 0),點C的坐標是(0 , 4), BC=OC=4 ,AD= AB-sin12,在 RtACD中,/AD= 90,CD=ADBD= AB-cos16.二BC= BD C併 21.:丄ADE=/BACcosaAB3=cosZBAC= AC=5,20AC=亍根據(jù)勾股定理，得BC=7ACAB=163，AD=BC=16亍.9.

16、B解析過點O作OML PA于點M則 sinOM/op=OPA15/BPC=60,.由折疊的性質(zhì)求得B C= BC=4,/B CP=ZBCP=30,/DCB= 90-/B CP-/BCP=30,1B D=2CB= 2,CD= B Ccos30= 2護,OD= OC- CD=4 -23,點 B的坐標為(2 , 4-23).12.解：在 RtABE中，AB=50 cm, /BAE=55,BE= AB-sin/BAE=50sin5550 x0.82=41(cm).四邊形ABCD!矩形，/ABC=90, /CBF=/BAE=55.在 RtBCF中，BC= 40 cm , /CBF= 55,BF=BC-c

17、os/CBF=40cos5540 x0.57=22.8(cm),EF=BE+ BF41 + 22.8 = 63.8(cm),EF的長約為 63.8 cm.:AC=BLc由勾股囂 7 得C5王鮎 E 珈當AABC為銳角三角形時，如圖，BC=BM CD=12+ 5= 17.14. B 解析如圖，過點C作CDL BA交BA的延長線于點/BAC=120, /DAC=60,/AC= 30, 2AD= AC= 2, AD=1,CD=3,15 解：過點C作CDL AB于點D.當，/B=4當厶ABC為鈍角三角形時， 如圖， AB=12辰/B=45，M,13. D 解析/ cos/ AB=12AD= BD=12

18、.BD=5,BC= 2 7,CD問sinB=BC=荷圖16A/B=60,/ACB=75 /A= 45,二AD= CD在 Rt ADC中,AC=32,-CD=sin45 x32=3, AD=3.CD在 RtBDC中,/DB= 60, tanB= 16. 24 解析COD勺面積為 20,菱形OABC勺面積為 40.過點C作CE丄x軸于點ECE4 tanZAO=OE=3，設(shè)CE=4a(a 0),則OE=3a,OA= OC=5a,. 5a4a= 40,解得a= . 2(a=2 舍去)，CE=4 2 ,OE= 3 -2,點C的坐標為(3 ,2, 42).k反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C,xk=xy=32x

19、42=24.17. 解：在厶ADE中,/A= 90,/D= 60, /E= 30.在 Rt BEC中,/ BCE=90,/E= 30,BC= . 3,BE=2BC= 23,- AE= AB+ BE= 63.在 RtADE中,T/A=90,/E= 30,AE= 63,AD= AE tanE=6 , 3x3=6.3故答案為 6.如圖，延長AB與DC相交于點E.17/ABC=ZBCD135,/EBC=ZECD45, BE= CE/E= 90.設(shè)BE= CE= x,貝 UBCD 2x,AE=9+x,DE=3 +x. 在 RtADE中，/E= 90,12,解得x= 3.經(jīng)檢驗，x= 3 是所列方程的解且符合題意,BCD32,AE=12