高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)棱柱與棱錐

1、9.10 棱柱與棱錐知識梳理1.有兩個面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱.側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.2.棱柱的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是平行四邊形；長方體的對角線的平方等于由一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和.3.一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.4.棱錐中與底面平行的截面與底面平行，并且它們面積的比等于對應(yīng)高的平方比.在正棱錐中，側(cè)棱、高及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影構(gòu)成直角三角形.點(diǎn)擊雙基1.設(shè)M=正四棱柱，N

2、=直四棱柱，P=長方體，Q=直平行六面體，則四個集合的關(guān)系為A.MPNQ B.MPQNC.PMNQD.PMQN解析：理清各概念的內(nèi)涵及包含關(guān)系.答案：B2.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部解析：由ACAB，ACBC1，知AC面ABC1，從而面ABC1面ABC，因此，C1在底面ABC上的射影H必在兩面的交線AB上.答案：A3.將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD=a，則三棱錐DABC的體積為A. B. C.a3 D. a3答案：D4.（2003年春季上海）若正三

3、棱錐底面邊長為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于_.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解析：取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)SD、AD，則SDBC，ADBC.SDA為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，設(shè)為.在平面SAD中，作SOAD與AD交于O，則SO為棱錐的高.AO=2DO，OD=.又VSABC=ABBCsin60h=1，h=.tan=.=arctan.答案：arctan5.過棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比（自上而下）為_.解析：由錐體平行于底面的截面性質(zhì)知，自上而下三錐體的側(cè)面積之比，S側(cè)1S側(cè)2S側(cè)3=149，所以錐體被分成三部分的側(cè)面積之比為135.答

4、案：135典例剖析【例1】 已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF的體積.解法一：連結(jié)A1C1、B1D1交于O1，過O1作O1HB1D于H，EFA1C1，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離.平面B1D1D平面B1EDF，O1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高.B1O1HB1DD1，O1H=a，V=SO1H=EFB1DO1H=aaa=a3.解法二：連結(jié)EF，設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1+h2=B1D1=a，V=V+V=S（h1+h2）=

5、a3.解法三：V=VVV=a3.特別提示求體積常見方法有：直接法（公式法）；分割法；補(bǔ)形法.【例2】 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA底面ABCD.（1）當(dāng)a為何值時，BD平面PAC?試證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)a=4時，求D點(diǎn)到平面PBC的距離.（3）當(dāng)a=4時，求直線PD與平面PBC所成的角.剖析：本題主要考查棱錐的性質(zhì)，直線、平面所成的角的計算和點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識.同時考查空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.本題主要是在有關(guān)的計算中，推理得到所求的問題，因而盡量選擇用坐標(biāo)法計算.解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD、AB、AP所在直

6、線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)a=2時，BDAC，又PABD，故BD平面PAC.故a=2.（2）當(dāng)a=4時，D（4，0，0）、C（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2）、 =（0，2，2），=（4，0，0）.設(shè)平面PBC的法向量為n，則n=0，n=0，即（x，y，z）（0，2，2）=0，（x，y，z）（4，0，0）=0，得x=0，y=z，取y=1，故n=（0，1，1）.則D點(diǎn)到平面PBC的距離d=.（3） =（4，0，2），cos，n=0，證，n=，設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為，則sin=sin（）=cos=.所以直線PD與平面PBC所成的角為arcsin.【例3

7、】 如圖，設(shè)三棱錐SABC的三個側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60，又BAC=60，且SABC.（1）求證：SABC為正三棱錐；（2）已知SA=a，求SABC的全面積.（1）證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，兩個條件缺一不可.作三棱錐SABC的高SO，O為垂足，連結(jié)AO并延長交BC于D.因為SABC，所以ADBC.又側(cè)棱與底面所成的角都相等，從而O為ABC的外心，OD為BC的垂直平分線，所以AB=AC.又BAC=60，故ABC為正三角形，且O為其中心.所以SABC為正三棱錐.（2）解：只要求出正三棱錐SABC的側(cè)高SD與底面邊長，則問題易于解決.在RtSAO中

8、，由于SA=a，SAO=60，所以SO=a，AO=a.因O為重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60=a，OD=AD=a.在RtSOD中，SD2=SO2OD2=（a）2（a）2=，則SD=a.于是，（SSABC）全=（a）2sin603aa=a2.深化拓展（1）求正棱錐的側(cè)面積或全面積還可以利用公式S正棱錐底=cosS正棱錐側(cè)（為側(cè)面與底面所成的二面角）.就本題cos=，S=a2，所以（SSABC）側(cè)=a2=a2.于是也可求出全面積.（2）注意到高SO=a，底面邊長BC=a是相等的，因此這類正三棱錐還有高與底面邊長相等的性質(zhì)，反之亦真.（3）正三棱錐中，若側(cè)棱與底面邊長相等，則

9、變成四個面都是正三角形的三棱錐，這時可稱為正四面體，因此正四面體是特殊的正三棱錐，但正三棱錐不一定是正四面體.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（2004年全國，10）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于A.B.C.D.解析：如圖所示，正四面體ABCD四個面的中心分別為E、F、G、H，四面體EFGH也是正四面體.連結(jié)AE并延長與CD交于點(diǎn)M，連結(jié)AG并延長與BC交于點(diǎn)N.E、G分別為面的中心，=.=.又MN=BD，=.面積比是相似比的平方，=.答案：A2.P是長方體AC1上底面A1C1內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)AP與三條棱AA1、AB、AD所成的角為、

10、，則cos2+cos2+cos2的值是A.1B.2C.D.不確定正解析：以AP為一條對角線截得小長方體AP，由長方體的對角線長定理可得cos2+cos2+cos2=1.答案：A3.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH的邊及其內(nèi)部運(yùn)動，則M只需滿足條件_時，就有MNAC.答案：點(diǎn)M與F重合說明：本題答案不唯一，當(dāng)點(diǎn)M在線段FH上時均有MNAC.4.在三棱錐SABC中，ASB=ASC=BSC=60，則側(cè)棱SA與側(cè)面SBC所成的角的大小是_.答案：arccos5.三棱錐一條側(cè)棱長是16 cm，和這條棱相

11、對的棱長是18 cm，其余四條棱長都是17 cm，求棱錐的體積.解：如圖，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、BE，AC=CD=17，DE=8，CE2=17282=225，BE=CE，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，EF為BC邊上的高，EF=12.S=108.AC=CD=17cm，E為AD的中點(diǎn)，CEAD，同理BEAD，DA平面BCE.三棱錐可分為以底面BCE為底，以AE、DE為高的兩個三棱錐.VABCD=VABCE+VDBCE=2SAE=21088=576（cm3）.6.（2003年春季北京）如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，EFBD=G.（

12、1）求證：平面B1EF平面BDD1B1；（2）求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d.（1）證法一：連結(jié)AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACD1D，AC平面BDD1B1.E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，故EFAC.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.證法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.又EFD1D，EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.（2）在對角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足為H.平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足為H.點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d=D1

13、H.解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H.D1B1=A1B1=2=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4=.解法二：D1HB1B1BG，=.d=D1H=.解法三：連結(jié)D1G，則D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半，即B1GD1H=B1B2，d=D1H=. 培養(yǎng)能力7.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1=BB1，（1）求證：AB1BC1；（2）求二面角ABC1C的正切值.（1）證法一：如圖，取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)B1M、BC1交于N，則AM面BC1.下證BC1B1M.設(shè)BB1=1，則AB1=，AB=BC=，tanB1MB=tanB1BC1.得

14、B1MBB1BN.B1BM=90=B1NB，即BC1B1M.BC1斜線AB1.證法二：如圖，取B1C1和B1B的中點(diǎn)E與D，連結(jié)ED，則DEBC1.再取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，則DGAB1，GDE為異面直線AB1、BC1所成的角.下用勾股定理證明GDE為直角.取A1B1的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、EG、FG，則EG=且DE、DG均可表示出.故可知EG2=DE2DG2，GDE=90.（2）解：連結(jié)AN，則ANM為所求二面角的平面角，tanANM=3.評述：本題（1）證法一中可把面BB1C1C單獨(dú)拿出作成平面圖形，則易于觀察B1MB與B1NB的相似關(guān)系.證法二的特點(diǎn)是思路較好.因為所證為兩異面直線，作出其

15、所成角為一般方法.8.（2005年春季北京，文16）如圖，正三棱錐SABC中，底面的邊長是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點(diǎn).求：（1）的值；（2）二面角SBCA的大??；（3）正三棱錐SABC的體積.解：（1）SB=SC，AB=AC，M為BC的中點(diǎn)，SMBC，AMBC.由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，即3BCSM=2BCAM，得=.（2）作正三棱錐的高SG，則G為正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=AM.SMBC，AMBC，SMA是二面角SBCA的平面角.在RtSGM中，SM=AM=3GM=2GM，SMA=SMG=60，即二面角SBCA的大小為60.（3）ABC的邊長是3，A

16、M=，GM=，SG=GMtan60=.VSABC= SSG=.（2005年春季北京，理16）如圖，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于B1、C1.將AB1C1沿B1C1折起到A1B1C1的位置，使點(diǎn)A1在平面BB1C1C上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M.求：（1）二面角A1B1C1M的大??；（2）異面直線A1B1與CC1所成角的大小.（用反三角函數(shù)表示）解：（1）連結(jié)AM、A1G.G是正三角形ABC的中心，且M為BC的中點(diǎn)，A、G、M三點(diǎn)共線，AMBC.B1C1BC，B1C1AM于點(diǎn)G，即GMB1C1，GA1B1C1.A1GM是二面角A1B1C1M的平面角.點(diǎn)A

17、1在平面BB1C1C上的射影為M，A1MMG，A1MG=90.在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM，得A1GM=60，即二面角A1B1C1M的大小是60.（2）過B1作C1C的平行線交BC于點(diǎn)P，則A1B1P等于異面直線A1B1與CC1所成的角.由PB1C1C是平行四邊形得B1P=C1C=1=BP，PM=BMBP=，A1B1=AB1=2.A1M面BB1C1C于點(diǎn)M，A1MBC，A1MP=90.在RtA1GM中，A1M=A1Gsin60=.在RtA1MP中，A1P2=A1M2+PM2=（）2+（）2=.在A1B1P中，由余弦定理得cosA1B1P=，異面直線A1B1與CC1所成角的大小為ar

18、ccos.探究創(chuàng)新9.（2004年天津，理19）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F.（1）證明：PA平面EDB；（2）證明：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小.解法一：（1）證明：連結(jié)AC交BD于O.連結(jié)EO.底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).在PAC中，EO是中位線，PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.（2）證明：PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC.PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形.而DE是斜邊PC的中線，DEPC.同樣由PD底面ABCD，得PDBC

19、.底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC.而DE平面PDC，BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB.又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD.（3）解：由（2）知PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角.由（2）知，DEEF，PDDB.設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=a，DE=PC=a.在RtPDB中，DF=a.在RtEFD中，sinEFD=，EFD=.二面角CPBD的大小為.解法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)DC=a.（1）證明：連結(jié)AC交BD于G.連結(jié)EG.依題意得A（a，0，0），P（0，0，

20、a），E（0，）.底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）且=（a，0，a）， =（，0，）.=2.這表明PAEG.而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.（2）證明：依題意得B（a，a，0），=（a，a，a）.又=（0，），故=0+=0.PBDE.由已知EFPB，且EFDE=E，PB平面EFD.（3）解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x0，y0，z0）， =，則（x0，y0，z0a）=（a，a，a）.從而x0=a，y0=a，z0=（1）a. =（x0，y0，z0）=a，（）a，（）a.由條件EFPB知=0，即a2+（）a2（）a2=0，解得=.點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），且=（，）， =（，）.=+=0，即PBFD.故EFD是二面角CPBD的平面角.=+=，且|=a，|=a，cosEFD=.EFD=.二面角CPBD為.思悟小結(jié)1.棱柱是第一章有關(guān)線面關(guān)系的載體，棱柱的計算證明問題常借助于前面的內(nèi)容來解決.因此要牢固掌握線面間的位置關(guān)系的性質(zhì)、判定.2.三棱錐的等（體）積變換是解決點(diǎn)到面的距離的常見方法之一，同時也是使計算簡化的靈活手法；“割”“補(bǔ)”是解決體積問題的常用技巧.正棱錐的四個“特征”直角三角形，是將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面