十年高考高考數學真題分類匯三角函數

1、2004-2013年高考數學真題分類匯：三角函數一、選擇填空題1.（江蘇2004年5分）函數y=2cos2x+1(xR)的最小正周期為【】(A) (B) (C) (D)【答案】B。【考點】三角函數的周期性及其求法?！痉治觥堪押瘮祔=2cos2x+1（xR）化為一個角的一次三角函數的形式，求出周期即可：函數y=2cos2x+1=cos2x+2，它的最小正周期為：。故選B。2（江蘇2005年5分）中，BC=3，則的周長為【】A BC D【答案】D?！究键c】正弦定理?！痉治觥扛鶕叶ɡ矸謩e求得AC和AB，最后三邊相加整理即可得到答案：根據正弦定理，。ABC的周長為=。故選D。3.（江蘇2005年5

2、分）若，則=【】A B C D【答案】A。【考點】運用誘導公式化簡求值，二倍角的余弦?！痉治觥坑煽傻?，即。由二倍角的余弦公式，得。故選A。4.（江蘇2006年5分）已知，函數為奇函數，則a【】（A）0（B）1（C）1（D）±1【答案】A?！究键c】函數的奇偶性，三角函數的奇偶性的判斷?！痉治觥?且函數為奇函數，即。a0。故選A。5.（江蘇2006年5分）為了得到函數的圖像，只需把函數的圖像上所有的點【】（A）向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）（B）向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）（C）向左平移個單位長度，再把所得各點

3、的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）（D）向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）【答案】C。【考點】函數y=Asin（x+）的圖象變換。【分析】先將的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）得到函數的圖像。故選C。7.（江蘇2006年5分）在ABC中，已知BC12，A60°，B45°，則AC【答案】?！究键c】正弦定理?！痉治觥拷馊切危阎獌山羌叭我贿呥\用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理。因此，由正弦定理得，解得。8.（江蘇2006年5分）【答案】2?！究键c】弦切互化，同角三角函

4、數基本關系的運用，兩角和與差的正弦函數。【分析】在求三角的問題中，要注意這樣的口決“三看”即（1）看角，把角盡量向特殊角或可計算角轉化；（2）看名稱，把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉化為相應的弦，或把所有的弦轉化為相應的切；（3）看式子，看式子是否滿足三角函數的公式，如果滿足直接使用，如果不滿足轉化一下角或轉換一下名稱，就可以使用。9.（江蘇2007年5分）下列函數中，周期為的是【】A B C D【答案】D。【考點】三角函數的周期性及其求法?！痉治觥扛鶕綄x項進行逐一分析即可得到答案：的周期為：T=4，排除A；的周期為：T=，排除B；的周期為：T=8，排除C；的周

5、期為：T=。故選D。10.（江蘇2007年5分）函數的單調遞增區(qū)間是【】A B C D【答案】D?！究键c】正弦函數的單調性，兩角差的正弦公式?！痉治觥坷脙山遣畹恼夜綄瘮到馕鍪交喺恚瑥亩鶕液瘮档膯握{性求得答案：，。根據正弦函數的單調性，即時，函數單調遞增。故選D。11.（江蘇2007年5分）若，.則.【答案】?！究键c】兩角和與差的余弦函數，弦切互化?！痉治觥肯扔蓛山呛团c差的公式展開，得到，的正余弦的方程組，兩者聯(lián)立解出兩角正弦的積與兩角余弦的積，再由商數關系求出兩角正切的乘積：，。二式聯(lián)立，得，。12.（江蘇2007年5分）某時鐘的秒針端點到中心點O的距離為，秒針均勻地繞點O旋

6、轉，當時間時，點A與鐘面上標的點B重合，將A，B兩點的距離表示成的函數，則，其中?！敬鸢浮??！究键c】在實際問題中建立三角函數模型?！痉治觥坑深}意知可以先寫出秒針轉過的角度，整個圓周對應的圓心角是360°，可以算出一秒轉過的角度，再乘以時間，連接AB，過圓心向它做垂線，把要求的線段分成兩部分，用直角三角形得到結果：AOB=，根據直角三角形的邊長求法得到。13.（江蘇2008年5分）若函數最小正周期為，則.【答案】。【考點】三角函數的周期公式。【分析】由三角函數的周期公式，得。14.（江蘇2008年5分）滿足條件的三角形ABC的面積的最大值【答案】。【考點】三角形的計算。【分析】設BC，

7、則AC，根據面積公式得=，根據余弦定理得，代入上式得=。由三角形三邊關系有，解得。當時取最大值。15.（江蘇2009年5分）函數（為常數，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則= .【答案】3?！究键c】三角函數的周期?！痉治觥扛鶕瘮祱D象求出函數的周期T，然后求出：由圖中可以看出：，。16.（江蘇2010年5分）定義在區(qū)間上的函數的圖像與的圖像的交點為P，過點P作PP1軸于點P1，直線PP1與的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為?！敬鸢浮?。【考點】余弦函數的圖象，正切函數的圖象。【分析】先將求P1P2的長轉化為求的值，再由滿足=可求出的值，從而得到答案：由三角函數的圖象，運用數形結合思想，知線段P1

8、P2的長即為的值，且其中的滿足=，解得=。線段P1P2的長為。17.（江蘇2010年5分）在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，則=_。【答案】4?！究键c】正、余弦定理，同角三角函數基本關系的運用?！痉治觥?，。18.（江蘇2011年5分）已知則的值為【答案】?！究键c】三角函數的和差倍計算?！痉治觥浚?。19.（江蘇2011年5分）函數是常數，的部分圖象如圖所示，則【答案】。【考點】三角函數的圖象和性質的應用。【分析】由函數圖象得，,再結合三角函數圖象和性質知，。20. （2012年江蘇省5分）設是定義在上且周期為2的函數，在區(qū)間上，其中若，則的值為 【答案】?！究键c】周期函數的性

9、質。【解析】是定義在上且周期為2的函數，即。又，。聯(lián)立，解得，。11（2012年江蘇省5分）設為銳角，若，則的值為 【答案】。【考點】同角三角函數，倍角三角函數，和角三角函數。【解析】為銳角，即，。，。7（2013江蘇卷1）函數的最小正周期為。答案：18（2013江蘇卷11） 設為銳角，若，則的值為【解析】根據，因為，所以 ，因為.【點評】重點考查兩角和與差的三角公式、角的靈活拆分、二倍角公式的運用.在求解三角函數值時，要注意角的取值情況，切勿出現增根情況.本題屬于中檔題，運算量較大，難度稍高.二、解答題1.（江蘇2004年12分）已知0<<，tan+cot=，求sin()的值.【

10、答案】解：由已知?！究键c】弦切互化，兩角差的正弦函數?！痉治觥扛鶕蟮玫闹?，從而根據的范圍求得的值，最后根據兩角和公式求得答案。3.（江蘇2008年14分）如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別交單位圓于A，B兩點已知A，B兩點的橫坐標分別是，BAxyO（1）求的值；（2）求的值【答案】解：（1）由已知條件即三角函數的定義可知，為銳角故，。同理可得。=。（2）,由，得?！究键c】兩角和與差的正切函數?！痉治觥浚?）先由已知條件得；再求、，從而求出、；最后利用=解之。BCDAOP（2）利用（1）把轉化為求之，再根據的范圍確定角的值。4.（江蘇2008年14分）如圖，某地有三

11、家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處AB20km，BC10km為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO記鋪設管道的總長度為ykm（1）按下列要求建立函數關系式：（）設（rad），將表示成的函數；（）設（km），將表示成的函數；（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短?！敬鸢浮拷猓海?）（）延長PO交AB于點Q，由條件知PQ垂直平分AB，若BAO=(rad) ，則, 。又OP，。所求函數關系式為。（）若OP=(km) ，則OQ10，O

12、A =OB=。所求函數關系式為。（2）選擇函數模型（），令0 得sin 。，=。當時，是的減函數；當時，是的增函數當=時，。這時點P 位于線段AB 的中垂線上，在矩形區(qū)域內且距離AB 邊km處?！究键c】在實際問題中建立三角函數模型?！痉治觥浚?）（）根據題意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函數的關系可推得OP，從而得出y的函數關系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍。（）已知OP，可得出OQ的表達式，由勾股定理推出OA，易得y的函數關系式。（2）欲確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數關系式，故可以利用導數求解最值，注意結果應與實際

13、情況相符合。5.（江蘇2009年14分）科網設向量（1）若與垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求證：.網【答案】解：（1）與垂直，即，即。（2）當時，取最大值，且最大值為。（3），即，即與共線。【考點】向量的基本概念，同角三角函數的基本關系式，二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式。【分析】（1）先根據向量的線性運算求出，可求出的正余弦之間的關系，最后可求正切值。（2）根據向量的求模運算得到的關系，然后根據正弦函數的性質可確定答案。（3）將化成弦的關系整理即可得到，正是的充要條件，從而得證。6.（江蘇2010年14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿

14、BC的高度=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 該小組已經測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據此算出H的值；(2) 該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？【答案】解：（1）由得，同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設知，得，。，（當且僅當時，取等號），當時，最大。，則，當時，最大。故所求的是m。【考點】解三角形的實際應用，兩角差的正切及不等式的應用?！痉治觥浚?）在RtABE中可得，在RtADE中

15、可得，在RtBCD中可得，再根據ADAB=DB即可得到H。（2）先用分別表示出和，再根據兩角和公式，求得，再根據均值不等式可知當時，有最大值即有最大值，得到答案。7.（江蘇2010年附加10分）已知ABC的三邊長都是有理數。（1） 求證是有理數；（2）求證：對任意正整數，cosA是有理數?！敬鸢浮孔C明：（1）設三邊長分別為，是有理數，是有理數，為正有理數。又有理數集對于除法的具有封閉性，必為有理數，cosA是有理數。（2）當時，顯然cosA是有理數，當時，且cosA是有理數，也是有理數。假設當時，結論成立，即cosA、均是有理數。當時，。cosA，均是有理數，是有理數。是有理數。即當時，結論成

16、立。綜上所述，對于任意正整數，cosA也是有理數?！究键c】余弦定理的應用，余弦的兩角和公式，數學歸納法。【分析】（1）設出三邊為，根據三者為有理數可推斷出是有理數，是有理數，從而根據有理數集對于除法的具有封閉性推斷出也為有理數，根據余弦定理可知=cosA，因此cosA是有理數。（2）先看當n=1時，根據（1）中的結論可知cosA是有理數，當n=2時，根據余弦的二倍角推斷出cos2A也是有理數。再假設時，結論成立，從而可知，均是有理數，用余弦的兩角和公式分別求得，根據cosA，均是有理數推斷出是有理數是有理數，即是有理數。從而時成立最后綜合原式得證。8.（江蘇2011年14分）在ABC中，角A、

17、B、C所對應的邊為（1）若求A的值；（2）若，求的值.【答案】解：（1）由題意知，從而，。，。（2）由，及，得，是直角三角形，且?！究键c】同角三角函數基本關系式、和差角公式、正余弦定理?！痉治觥浚?）利用兩角和的正弦函數化簡，求出tanA，然后求出A的值即可。（2）利用余弦定理以及，求出是直角三角形，即可得出的值。也可以由正弦定理得：，而。9.（2012年江蘇省14分）在中，已知（1）求證：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。由正弦定理，得，。又，。即。（2），。，即。由（1），得，解得。，?！究键c】平面微量的數量積，三角函數的基本關系式，兩角和的正切公式，解三角形?！窘馕觥浚?）先將表

18、示成數量積，再根據正弦定理和同角三角函數關系式證明。（2）由可求，由三角形三角關系，得到，從而根據兩角和的正切公式和（1）的結論即可求得A的值。7、（2013江蘇卷18）.18本小題滿分16分。如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到?，F有甲乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為。在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到。假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經測量，。（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？CBA18解：（1）， 根據得（2）設乙出發(fā)t分鐘后，甲乙距離為d，則即時，即乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短。（3）由正弦定理得（m）乙從B出發(fā)時，甲已經走了50（2+8+1）=550（m），還需走710 m 才能到達C設乙的步行速度為V ,則為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應控制在范圍內法二：解：（1）如圖作BDCA于點D，設BD20k，則DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）設乙出發(fā)x分