十年高考高考數(shù)學真題分類匯三角函數(shù)

1、2004-2013年高考數(shù)學真題分類匯：三角函數(shù)一、選擇填空題1.（江蘇2004年5分）函數(shù)y=2cos2x+1(xR)的最小正周期為【】(A) (B) (C) (D)【答案】B?！究键c】三角函數(shù)的周期性及其求法。【分析】把函數(shù)y=2cos2x+1（xR）化為一個角的一次三角函數(shù)的形式，求出周期即可：函數(shù)y=2cos2x+1=cos2x+2，它的最小正周期為：。故選B。2（江蘇2005年5分）中，BC=3，則的周長為【】A BC D【答案】D。【考點】正弦定理。【分析】根據(jù)正弦定理分別求得AC和AB，最后三邊相加整理即可得到答案：根據(jù)正弦定理，。ABC的周長為=。故選D。3.（江蘇2005年5

2、分）若，則=【】A B C D【答案】A?！究键c】運用誘導公式化簡求值，二倍角的余弦。【分析】由可得，即。由二倍角的余弦公式，得。故選A。4.（江蘇2006年5分）已知，函數(shù)為奇函數(shù)，則a【】（A）0（B）1（C）1（D）±1【答案】A。【考點】函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的奇偶性的判斷?！痉治觥?且函數(shù)為奇函數(shù)，即。a0。故選A。5.（江蘇2006年5分）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點【】（A）向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）（B）向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）（C）向左平移個單位長度，再把所得各點

3、的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）（D）向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）【答案】C?！究键c】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換。【分析】先將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖像。故選C。7.（江蘇2006年5分）在ABC中，已知BC12，A60°，B45°，則AC【答案】?！究键c】正弦定理?！痉治觥拷馊切?，已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理。因此，由正弦定理得，解得。8.（江蘇2006年5分）【答案】2?！究键c】弦切互化，同角三角函

4、數(shù)基本關(guān)系的運用，兩角和與差的正弦函數(shù)?！痉治觥吭谇笕堑膯栴}中，要注意這樣的口決“三看”即（1）看角，把角盡量向特殊角或可計算角轉(zhuǎn)化；（2）看名稱，把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切；（3）看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式，如果滿足直接使用，如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用。9.（江蘇2007年5分）下列函數(shù)中，周期為的是【】A B C D【答案】D。【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法。【分析】根據(jù)公式對選項進行逐一分析即可得到答案：的周期為：T=4，排除A；的周期為：T=，排除B；的周期為：T=8，排除C；的周

5、期為：T=。故選D。10.（江蘇2007年5分）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【】A B C D【答案】D。【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角差的正弦公式?！痉治觥坷脙山遣畹恼夜綄瘮?shù)解析式化簡整理，從而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得答案：，。根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即時，函數(shù)單調(diào)遞增。故選D。11.（江蘇2007年5分）若，.則.【答案】?！究键c】兩角和與差的余弦函數(shù)，弦切互化。【分析】先由兩角和與差的公式展開，得到，的正余弦的方程組，兩者聯(lián)立解出兩角正弦的積與兩角余弦的積，再由商數(shù)關(guān)系求出兩角正切的乘積：，。二式聯(lián)立，得，。12.（江蘇2007年5分）某時鐘的秒針端點到中心點O的距離為，秒針均勻地繞點O旋

6、轉(zhuǎn)，當時間時，點A與鐘面上標的點B重合，將A，B兩點的距離表示成的函數(shù)，則，其中。【答案】。【考點】在實際問題中建立三角函數(shù)模型。【分析】由題意知可以先寫出秒針轉(zhuǎn)過的角度，整個圓周對應(yīng)的圓心角是360°，可以算出一秒轉(zhuǎn)過的角度，再乘以時間，連接AB，過圓心向它做垂線，把要求的線段分成兩部分，用直角三角形得到結(jié)果：AOB=，根據(jù)直角三角形的邊長求法得到。13.（江蘇2008年5分）若函數(shù)最小正周期為，則.【答案】?！究键c】三角函數(shù)的周期公式?！痉治觥坑扇呛瘮?shù)的周期公式，得。14.（江蘇2008年5分）滿足條件的三角形ABC的面積的最大值【答案】?！究键c】三角形的計算?！痉治觥吭O(shè)BC，

7、則AC，根據(jù)面積公式得=，根據(jù)余弦定理得，代入上式得=。由三角形三邊關(guān)系有，解得。當時取最大值。15.（江蘇2009年5分）函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則= .【答案】3?！究键c】三角函數(shù)的周期?！痉治觥扛鶕?jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)的周期T，然后求出：由圖中可以看出：，。16.（江蘇2010年5分）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點為P，過點P作PP1軸于點P1，直線PP1與的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為。【答案】。【考點】余弦函數(shù)的圖象，正切函數(shù)的圖象?！痉治觥肯葘⑶驪1P2的長轉(zhuǎn)化為求的值，再由滿足=可求出的值，從而得到答案：由三角函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合思想，知線段P1

8、P2的長即為的值，且其中的滿足=，解得=。線段P1P2的長為。17.（江蘇2010年5分）在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，則=_?！敬鸢浮??！究键c】正、余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用。【分析】，。18.（江蘇2011年5分）已知則的值為【答案】。【考點】三角函數(shù)的和差倍計算?！痉治觥?，。19.（江蘇2011年5分）函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則【答案】。【考點】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用。【分析】由函數(shù)圖象得，,再結(jié)合三角函數(shù)圖象和性質(zhì)知，。20. （2012年江蘇省5分）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中若，則的值為 【答案】?！究键c】周期函數(shù)的性

9、質(zhì)。【解析】是定義在上且周期為2的函數(shù)，即。又，。聯(lián)立，解得，。11（2012年江蘇省5分）設(shè)為銳角，若，則的值為 【答案】?！究键c】同角三角函數(shù)，倍角三角函數(shù)，和角三角函數(shù)?！窘馕觥繛殇J角，即，。，。7（2013江蘇卷1）函數(shù)的最小正周期為。答案：18（2013江蘇卷11） 設(shè)為銳角，若，則的值為【解析】根據(jù)，因為，所以 ，因為.【點評】重點考查兩角和與差的三角公式、角的靈活拆分、二倍角公式的運用.在求解三角函數(shù)值時，要注意角的取值情況，切勿出現(xiàn)增根情況.本題屬于中檔題，運算量較大，難度稍高.二、解答題1.（江蘇2004年12分）已知0<<，tan+cot=，求sin()的值.【

10、答案】解：由已知。【考點】弦切互化，兩角差的正弦函數(shù)?！痉治觥扛鶕?jù)求得的值，從而根據(jù)的范圍求得的值，最后根據(jù)兩角和公式求得答案。3.（江蘇2008年14分）如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別交單位圓于A，B兩點已知A，B兩點的橫坐標分別是，BAxyO（1）求的值；（2）求的值【答案】解：（1）由已知條件即三角函數(shù)的定義可知，為銳角故，。同理可得。=。（2）,由，得。【考點】兩角和與差的正切函數(shù)。【分析】（1）先由已知條件得；再求、，從而求出、；最后利用=解之。BCDAOP（2）利用（1）把轉(zhuǎn)化為求之，再根據(jù)的范圍確定角的值。4.（江蘇2008年14分）如圖，某地有三

11、家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處AB20km，BC10km為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO記鋪設(shè)管道的總長度為ykm（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（）設(shè)（rad），將表示成的函數(shù)；（）設(shè)（km），將表示成的函數(shù)；（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短?！敬鸢浮拷猓海?）（）延長PO交AB于點Q，由條件知PQ垂直平分AB，若BAO=(rad) ，則, 。又OP，。所求函數(shù)關(guān)系式為。（）若OP=(km) ，則OQ10，O

12、A =OB=。所求函數(shù)關(guān)系式為。（2）選擇函數(shù)模型（），令0 得sin 。，=。當時，是的減函數(shù)；當時，是的增函數(shù)當=時，。這時點P 位于線段AB 的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB 邊km處?！究键c】在實際問題中建立三角函數(shù)模型?！痉治觥浚?）（）根據(jù)題意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函數(shù)的關(guān)系可推得OP，從而得出y的函數(shù)關(guān)系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍。（）已知OP，可得出OQ的表達式，由勾股定理推出OA，易得y的函數(shù)關(guān)系式。（2）欲確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數(shù)關(guān)系式，故可以利用導數(shù)求解最值，注意結(jié)果應(yīng)與實際

13、情況相符合。5.（江蘇2009年14分）科網(wǎng)設(shè)向量（1）若與垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求證：.網(wǎng)【答案】解：（1）與垂直，即，即。（2）當時，取最大值，且最大值為。（3），即，即與共線。【考點】向量的基本概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式?！痉治觥浚?）先根據(jù)向量的線性運算求出，可求出的正余弦之間的關(guān)系，最后可求正切值。（2）根據(jù)向量的求模運算得到的關(guān)系，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可確定答案。（3）將化成弦的關(guān)系整理即可得到，正是的充要條件，從而得證。6.（江蘇2010年14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿

14、BC的高度=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？【答案】解：（1）由得，同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設(shè)知，得，。，（當且僅當時，取等號），當時，最大。，則，當時，最大。故所求的是m?！究键c】解三角形的實際應(yīng)用，兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。【分析】（1）在RtABE中可得，在RtADE中

15、可得，在RtBCD中可得，再根據(jù)ADAB=DB即可得到H。（2）先用分別表示出和，再根據(jù)兩角和公式，求得，再根據(jù)均值不等式可知當時，有最大值即有最大值，得到答案。7.（江蘇2010年附加10分）已知ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1） 求證是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)，cosA是有理數(shù)?！敬鸢浮孔C明：（1）設(shè)三邊長分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，為正有理數(shù)。又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù)。（2）當時，顯然cosA是有理數(shù)，當時，且cosA是有理數(shù)，也是有理數(shù)。假設(shè)當時，結(jié)論成立，即cosA、均是有理數(shù)。當時，。cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)。是有理數(shù)。即當時，結(jié)論成

16、立。綜上所述，對于任意正整數(shù)，cosA也是有理數(shù)。【考點】余弦定理的應(yīng)用，余弦的兩角和公式，數(shù)學歸納法。【分析】（1）設(shè)出三邊為，根據(jù)三者為有理數(shù)可推斷出是有理數(shù)，是有理數(shù)，從而根據(jù)有理數(shù)集對于除法的具有封閉性推斷出也為有理數(shù)，根據(jù)余弦定理可知=cosA，因此cosA是有理數(shù)。（2）先看當n=1時，根據(jù)（1）中的結(jié)論可知cosA是有理數(shù)，當n=2時，根據(jù)余弦的二倍角推斷出cos2A也是有理數(shù)。再假設(shè)時，結(jié)論成立，從而可知，均是有理數(shù)，用余弦的兩角和公式分別求得，根據(jù)cosA，均是有理數(shù)推斷出是有理數(shù)是有理數(shù)，即是有理數(shù)。從而時成立最后綜合原式得證。8.（江蘇2011年14分）在ABC中，角A、

17、B、C所對應(yīng)的邊為（1）若求A的值；（2）若，求的值.【答案】解：（1）由題意知，從而，。，。（2）由，及，得，是直角三角形，且。【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差角公式、正余弦定理。【分析】（1）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡，求出tanA，然后求出A的值即可。（2）利用余弦定理以及，求出是直角三角形，即可得出的值。也可以由正弦定理得：，而。9.（2012年江蘇省14分）在中，已知（1）求證：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。由正弦定理，得，。又，。即。（2），。，即。由（1），得，解得。，?！究键c】平面微量的數(shù)量積，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正切公式，解三角形?！窘馕觥浚?）先將表

18、示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明。（2）由可求，由三角形三角關(guān)系，得到，從而根據(jù)兩角和的正切公式和（1）的結(jié)論即可求得A的值。7、（2013江蘇卷18）.18本小題滿分16分。如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到?，F(xiàn)有甲乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為。在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到。假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經(jīng)測量，。（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？CBA18解：（1）， 根據(jù)得（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲乙距離為d，則即時，即乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短。（3）由正弦定理得（m）乙從B出發(fā)時，甲已經(jīng)走了50（2+8+1）=550（m），還需走710 m 才能到達C設(shè)乙的步行速度為V ,則為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi)法二：解：（1）如圖作BDCA于點D，設(shè)BD20k，則DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）設(shè)乙出發(fā)x分