沖擊高分系列高考數(shù)學(xué)文難題專項訓(xùn)練數(shù)列

1、【沖擊高分系列】2014年高考數(shù)學(xué)（文）難題專項訓(xùn)練：數(shù)列1.（2013年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，10,5分）若數(shù)列滿足，則當(dāng)取最小值時的值為()A. 或B. C. D. 或2.(2013年湖北七市高三4月聯(lián)考，9,5分) 如右圖，一單位正方體形積木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干個小正方體形積木擺成塔形，其中上面正方體中下底面的四個頂點是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點，如果所有正方體暴露在外面部分的面積之和超過8.8，則正方體的個數(shù)至少是()A. 6B. 7C. 8 D. 103.(2013年北京海淀區(qū)高三第二次模擬，8,5分) 若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對于任意正整數(shù)都有成立，則

2、稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為. 已知¥數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. 若，則可以取3個不同的值B. 若，則數(shù)列是周期為的數(shù)列C. 且，存在，是周期為的數(shù)列D. 且，數(shù)列是周期數(shù)列4.（2013湖北黃岡市高三三月質(zhì)量檢測，9,5分）等差數(shù)列前項和為，已知則(）A. B. C. D. 5. (2012浙江紹興一中高三十月月考,7，3分)已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足，且，若有窮數(shù)列（）的前n項和等于，則n等于()A4B5C6D76. (2012北京東城區(qū)高三模擬，8,5分)定義：已知數(shù)列則的值為( )7.(2012河南省畢業(yè)班模擬，11,5分)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線（

3、a0，b0）的左、右焦點，P為雙曲線上的一點，若F1PF290°，且F1PF2的三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是()A2 B3 C4 D58.(2009江西, 8, 5分) 數(shù)列an的通項an=n2·, 其前n項和為Sn, 則S30為()A. 470B. 490C. 495D. 5109.(2013年河南十所名校高三第二次聯(lián)考，16,5分) 設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列，的前n項和分別為，. 若a5b5，a6b6，且S7S54（T6T4），則_.10.（2013年廣東省廣州市高三4月綜合測試，13，5分）數(shù)列的項是由1或2構(gòu)成，且首項為1，在第個1和第個1之

4、間有個2，即數(shù)列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，記數(shù)列的前項和為，則；.11. (2012北京海淀區(qū)高三11月月考，14,5分)數(shù)列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），則稱為的一個峰值（）若，則的峰值為；（）若，且不存在峰值，則實數(shù)的取值范圍是12. （2012安徽合肥高三第二次檢測，14,5分）設(shè)函數(shù)的最大值和最小值分別為和，且，13.(2012河南高三模擬，16,5分)某數(shù)表中的數(shù)按一定規(guī)律排列,如下表所示,從左至右以及從上到下都是無限的. 此表中,主對角線上數(shù)列1,2,5,10,17,的通項公式an=. 1111111234561357911147101316

5(2012四川,16,4分)記x為不超過實數(shù)x的最大整數(shù). 例如,2=2,1. 5=1,-0. 3=-1. 設(shè)a為正整數(shù),數(shù)列xn滿足x1=a,xn+1=(nN*). 現(xiàn)有下列命題:當(dāng)a=5時,數(shù)列xn的前3項依次為5,3,2;對數(shù)列xn都存在正整數(shù)k,當(dāng)nk時總有xn=xk;當(dāng)n1時,xn>-1;對某個正整數(shù)k,若xk+1xk,則xk=. 其中的真命題有. (寫出所有真命題的編號)15.(2008江蘇, 10, 5分) 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:123456789101112131415根據(jù)以上排列規(guī)律, 數(shù)陣中第n(n3) 行的從左至右的第3個數(shù)是. 1

6、6.(2009湖南, 15, 5分) 將正ABC分割成n2(n2, nN*) 個全等的小正三角形(圖1, 圖2分別給出了n=2, 3的情形) , 在每個三角形的頂點各放置一個數(shù), 使位于ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于3時) 都分別依次成等差數(shù)列. 若頂點A、B、C處的三個數(shù)互不相同且和為1, 記所有頂點上的數(shù)之和為f(n) , 則有f(2) =2, f(3) =, , f(n) =. 圖1圖217.(2011湖南, 16, 5分) 對于nN*, 將n表示為n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+ak-1×21+ak&#

7、215;20, 當(dāng)i=0時, ai=1, 當(dāng)1ik時, ai為0或1. 記I(n) 為上述表示中ai為0的個數(shù)(例如:1=1×20, 4=1×22+0×21+0×20, 故I(1) =0, I(4) =2) , 則(1) I(12) =;(2) 2I(n) =. 18.(2011江蘇, 13, 5分) 設(shè)1=a1a2a7, 其中a1, a3, a5, a7成公比為q的等比數(shù)列, a2, a4, a6成公差為1的等差數(shù)列, 則q的最小值是. 19.(2009上海, 12, 4分) 已知函數(shù)f(x) =sin x+tan x. 項數(shù)為27的等差數(shù)列an滿足a

8、n, 且公差d0. 若f(a1) +f(a2) +f(a27) =0, 則當(dāng)k=時, f(ak) =0. 20.(2007湖南, 15, 5分) 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1, 偶數(shù)換成0, 得到如圖所示的0-1三角數(shù)表. 從上往下數(shù), 第1次全行的數(shù)都為1的是第1行, 第2次全行的數(shù)都為1的是第3行, , 第n次全行的數(shù)都為1的是第行;第61行中1的個數(shù)是. 第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行11001121.(2008北京, 14, 5分) 某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上, 為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下:第k棵樹種植在點Pk(xk, yk) 處, 其中x1=1, y1=

9、1, 當(dāng)k2時, T(a) 表示非負(fù)實數(shù)a的整數(shù)部分, 例如T(2. 6) =2, T(0. 2) =0. 按此方案, 第6棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)為;第2 008棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)為. 22.(2009湖北, 15, 5分) 已知數(shù)列an滿足:a1=m(m為正整數(shù)) , an+1=若a6=1, 則m所有可能的取值為.23.(2010湖南, 15, 5分) 若數(shù)列an滿足:對任意的nN*, 只有有限個正整數(shù)m使得am<n成立, 記這樣的m的個數(shù)為(an) *, 則得到一個新數(shù)列(an) *. 例如, 若數(shù)列an是1, 2, 3, , n, , 則數(shù)列(an) *是0, 1, 2, , n-1,

10、 . 已知對任意的nN*, an=n2, 則(a5) *=, (an) *) *=. 24.（2013安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)合考試21,14分）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a1=a，Sn=kan+1且常數(shù)k滿足0< |k|< 1.(I) 求數(shù)列an的通項公式；(II) 對于每一個正整數(shù)m, 若將數(shù)列中的三項am+1，am+2，am+3按從小到大的順序調(diào)整后，均可構(gòu)成等差數(shù)列，且記公差為dm，試求k的值及相應(yīng)dm的表達(dá)式(用含m的式子表示) ；(III) 記數(shù)列dm (這里dm是(2) 中的dm的前m項和為Tm=d1+d2+dm. 問是否存在 a, 使得Tm< 90對恒成

11、立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，請說明理由.25.（2013年安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考，20,13分）已知橢圓為橢圓的兩個焦點，為橢圓上任意一點，且構(gòu)成等差數(shù)列，點到直線的距離為3。（I）求橢圓的方程；（II）是否存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，請說明理由(III) 在（II) 的條件下，求證：為定值.26.（2013湖北黃岡市高三三月質(zhì)量檢測，22,14分）設(shè).（）若對一切恒成立，求的最大值.（）設(shè)，且是曲線上任意兩點，若對任意的，直線AB的斜率恒大于常數(shù)，求的取值范圍；（）求證：.27.(2013北京海淀區(qū)高三三

12、月模擬題，20,13分）設(shè)為平面直角坐標(biāo)系上的兩點，其中. 令，若, 且，則稱點為點的“相關(guān)點” ，記作：. 已知為平面上一個定點，平面上點列滿足：，且點的坐標(biāo)為，其中.（）請問：點的“相關(guān)點” 有幾個？判斷這些“相關(guān)點” 是否在同一個圓上，若在同一個圓上，寫出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由；（）求證：若與重合，一定為偶數(shù)；（）若，且，記，求的最大值.28.(2013重慶市高三九校一月聯(lián)合診斷考試，21,12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，且.（）求的值；（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，證明：對一切正整數(shù)，都有：.29. (2012北京海淀區(qū)高三11月月考，20,14分）已知

13、數(shù)集具有性質(zhì)P：對任意的，使得成立（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P，并說明理由；（）求證：；（）若，求數(shù)集中所有元素的和的最小值30.(2012四川省米易中學(xué)高三第二次段考，21,10分)設(shè)為數(shù)列的前項和，對任意的，都有為常數(shù)，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項和31. (2012浙江紹興一中高三十月月考,22,10分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，（）設(shè)，求證：（1）；（2）數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其公差；（）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值32.(2012廣東省海珠區(qū)綜合測試，19，14分)已知等差數(shù)列滿足又

14、數(shù)列中,且.(1)求數(shù)列,的通項公式; (2)若數(shù)列,的前項和分別是,且求數(shù)列的前項和;(3)若對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.33.34.(2012福建省畢業(yè)班質(zhì)量檢測，20，14分)設(shè)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)下列兩個步驟變換得到：（1）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，并將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；（2）將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標(biāo)縮短為原來的倍（橫坐標(biāo)不變），并將圖象向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象（）求的表達(dá)式；（）判斷方程的實根的個數(shù)，證明你的結(jié)論；（）設(shè)數(shù)列滿足，試探究數(shù)列的單調(diào)性，并加以證明35.(2012北京海淀區(qū)期末練習(xí)，20，13分）將一個正整數(shù)

15、表示為的形式，其中，且，記所有這樣的表示法的種數(shù)為（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（）寫出的值，并說明理由；（）對任意正整數(shù)，比較與的大小，并給出證明；（）當(dāng)正整數(shù)時，求證：36. （2012安徽合肥高三第二次檢測，19，13分）已知數(shù)列滿足時，（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）試比較與的大小，并說明理由.37.（2012江西省南昌市第二次模擬，21,14分）(1)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若m+n=s+t(m,n,s,tN*，且mn,st)，證明：.(2)注意到(1)中Sn與n的函數(shù)關(guān)系，我們得到命題：設(shè)拋物線x2=2

16、py(p>0)的圖像上有不同的四點A，B，C，D，若xA，xB，xC，xD分別是這四點的橫坐標(biāo)，且xA+xB=xC+xD，則ABCD.判定這個命題的真假，并證明你的結(jié)論.(3)我們知道橢圓和拋物線都是圓錐曲線，根據(jù)(2)中的結(jié)論，對橢圓提出一個有深度的結(jié)論，并證明.38. (2012天津十二區(qū)縣聯(lián)考，19,14分)已知數(shù)列的首項，前項和為，且，設(shè)，.（）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（II）設(shè)，證明：；（）對于（）中數(shù)列，若數(shù)列滿足（），在每兩個與之間都插入（）個2，使得數(shù)列變成了一個新的數(shù)列，試問：是否存在正整數(shù),使得數(shù)列的前項的和?如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.

17、39.(2012湖南,19,12分)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù),記A(n)=a1+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+a4+an+2,n=1,2,. (1)若a1=1,a2=5,且對任意nN*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項公式;(2)證明:數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意nN*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列. 40.(2012大綱全國,22,12分)函數(shù)f(x)=x2-2x-3. 定義數(shù)列xn如下:x1=2,xn+1是過兩點P(4,5)、Qn(xn, f(xn)的直線PQn與x軸交點的橫

18、坐標(biāo). (1)證明:2xnn+1<3;(2)求數(shù)列xn的通項公式. 41. (2007浙江, 21, 15分) 已知數(shù)列an中的相鄰兩項a2k-1, a2k是關(guān)于x的方程x2-(3k+2k) x+3k·2k=0的兩個根, 且a2k-1a2k(k=1, 2, 3) () 求a1, a3, a5, a7;() 求數(shù)列an的前2n項和S2n;() 記f(n) =, Tn=+. 求證:Tn(nN*) . 42.(2007四川, 21, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x2-4, 設(shè)曲線y=f(x) 在點(xn, f(xn) ) 處的切線與x軸的交點為(xn+1, 0) (nN*) , 其

19、中x1為正實數(shù). () 用xn表示xn+1;() 求證:對一切正整數(shù)n, xn+1xn的充要條件是x12;() 若x1=4, 記an=lg, 證明數(shù)列an成等比數(shù)列, 并求數(shù)列xn的通項公式. 43.(2007安徽, 21, 14分) 某國采用養(yǎng)老儲備金制度, 公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金. 數(shù)目為a1, 以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0) , 因此, 歷年所交納的儲備金數(shù)目a1, a2, 是一個公差為d的等差數(shù)列. 與此同時, 國家給予優(yōu)惠的計息政策, 不僅采用固定利率, 而且計算復(fù)利. 這就是說, 如果固定年利率為r(r>0) . 那么, 在第n年末, 第一年所

20、交納的儲備金就變?yōu)閍1(1+r) n-1, 第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1+r) n-2, . 以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額. () 寫出Tn與Tn-1(n2) 的遞推關(guān)系式;() 求證:Tn=An+Bn, 其中An是一個等比數(shù)列, Bn是一個等差數(shù)列. 44.(2008北京, 20, 13分) 對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A:a1, a2, , an, 定義變換T1, T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1(A) :n, a1-1, a2-1, , an-1. 對于每項均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B:b1, b2, , bm, 定義變換T2, T2將數(shù)列B各項從大到小排列, 然后去掉所有為零的項, 得到

21、數(shù)列T2(B) ;又定義S(B) =2(b1+2b2+mbm) +. 設(shè)A0是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列, 令A(yù)k+1=T2(T1(Ak) ) (k=0, 1, 2, ) . () 如果數(shù)列A0為5, 3, 2, 寫出數(shù)列A1, A2;() 對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A, 證明:S(T1(A) ) =S(A) ;() 證明:對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0, 存在正整數(shù)K, 當(dāng)kK時, S(Ak+1) =S(Ak) . 45.(2008湖南, 18, 12分) 數(shù)列an滿足a1=1, a2=2, an+2=an+sin2, n=1, 2, 3, . () 求a3, a4, 并求數(shù)列a

22、n的通項公式;() 設(shè)bn=, Sn=b1+b2+bn. 證明:當(dāng)n6時, |Sn-2|<.46. (2008天津, 22, 14分) 在數(shù)列an與bn中, a1=1, b1=4, 數(shù)列an的前n項和Sn滿足nSn+1-(n+3) Sn=0, 2an+1為bn與bn+1的等比中項, nN*. () 求a2, b2的值;() 求數(shù)列an與bn的通項公式;() 設(shè)Tn=(-1b1+(-1b2+(-1bn, nN*. 證明:|Tn|<2n2, n3. 47.(2008上海, 21, 18分) 已知以a1為首項的數(shù)列an滿足:an+1=() 當(dāng)a1=1, c=1, d=3時, 求數(shù)列an的

23、通項公式;() 當(dāng)0<a1<1, c=1, d=3時, 試用a1表示數(shù)列an前100項的和S100;() 當(dāng)0<a1<(m是正整數(shù)) , c=, 正整數(shù)d3m時, 求證:數(shù)列a2-, a3m+2-, a6m+2-, a9m+2-成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d=3m. 48.(2009湖南, 21, 13分) 對于數(shù)列un, 若存在常數(shù)M>0, 對任意的nN*, 恒有|un+1-un|+|un-un-1|+|u2-u1|M, 則稱數(shù)列un為B-數(shù)列. () 首項為1, 公比為q(|q|<1) 的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請說明理由;() 設(shè)Sn是數(shù)列xn的前n項和. 給出

24、下列兩組論斷:A組:數(shù)列xn是B-數(shù)列, 數(shù)列xn不是B-數(shù)列;B組:數(shù)列Sn是B-數(shù)列, 數(shù)列Sn不是B-數(shù)列. 請以其中一組中的一個論斷為條件, 另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題. 判斷所給命題的真假, 并證明你的結(jié)論;() 若數(shù)列an、bn都是B-數(shù)列. 證明:數(shù)列anbn也是B-數(shù)列. 49.(2009四川, 22, 14分) 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn, 對任意的正整數(shù)n, 都有an=5Sn+1成立, 記bn=(nN*) . () 求數(shù)列bn的通項公式;() 記cn=b2n-b2n-1(nN*) , 設(shè)數(shù)列cn的前n項和為Tn, 求證:對任意正整數(shù)n, 都有Tn<() 設(shè)數(shù)

25、列bn的前n項和為Rn. 已知正實數(shù)滿足:對任意正整數(shù)n, Rnn恒成立, 求的最小值. 50. (2009陜西, 22, 12分) 已知數(shù)列xn滿足x1=, xn+1=, nN*. () 猜想數(shù)列x2n的單調(diào)性, 并證明你的結(jié)論;() 證明:|xn+1-xn|. 51.(2009上海, 23, 18分) 已知an是公差為d的等差數(shù)列, bn是公比為q的等比數(shù)列. () 若an=3n+1, 是否存在m、kN*, 有am+am+1=ak?請說明理由;() 找出所有數(shù)列an和bn, 使對一切nN*, =bn, 并說明理由;() 若a1=5, d=4, b1=q=3, 試確定所有的p, 使數(shù)列an中

26、存在某個連續(xù)p項的和是數(shù)列bn中的一項, 請證明. 52.(2010重慶, 21, 12分) 在數(shù)列an中, a1=1, an+1=can+cn+1·(2n+1) (nN*) , 其中實數(shù)c0. () 求an的通項公式;() 若對一切kN*有a2k>a2k-1, 求c的取值范圍. 53. (2010天津, 22, 14分) 在數(shù)列an中, a1=0, 且對任意kN*, a2k-1, a2k, a2k+1成等差數(shù)列, 其公差為dk. () 若dk=2k, 證明a2k, a2k+1, a2k+2成等比數(shù)列(kN*) ;() 若對任意kN*, a2k, a2k+1, a2k+2成等比

27、數(shù)列, 其公比為qk. (i) 設(shè)q11, 證明是等差數(shù)列;(ii) 若a2=2, 證明<2n-2(n2) . 54. (2010四川, 21, 12分) 已知數(shù)列an滿足a1=0, a2=2, 且對任意m, nN*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2. () 求a3, a5;() 設(shè)bn=a2n+1-a2n-1(nN*) , 證明:bn是等差數(shù)列;() 設(shè)cn=(an+1-an) qn-1(q0, nN*) , 求數(shù)列cn的前n項和Sn. 55.(2011湖北, 19, 13分) 已知數(shù)列an的前n項和為Sn, 且滿足:a1=a(a0) , an+1=rSn(n

28、N*, rR, r-1) . () 求數(shù)列an的通項公式;() 若存在kN*, 使得Sk+1, Sk, Sk+2成等差數(shù)列, 試判斷:對于任意的mN*, 且m2, am+1, am, am+2是否成等差數(shù)列, 并證明你的結(jié)論. 56.(2011廣東, 20, 14分) 設(shè)b>0, 數(shù)列an滿足a1=b, an=(n2) . () 求數(shù)列an的通項公式;() 證明:對于一切正整數(shù)n, an+1. 57.(2011江蘇, 20, 16分) 設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合, 數(shù)列an的首項a1=1, 前n項的和為Sn,已知對任意的整數(shù)kM, 當(dāng)整數(shù)n>k時, Sn+k+Sn-k=2(Sn+S

29、k) 都成立. () 設(shè)M=1, a2=2, 求a5的值;() 設(shè)M=3, 4, 求數(shù)列an的通項公式. 58. (2011北京, 20, 13分) 若數(shù)列An:a1, a2, , an(n2) 滿足|ak+1-ak|=1(k=1, 2, , n-1) , 則稱An為E數(shù)列. 記S(An) =a1+a2+an. () 寫出一個滿足a1=a5=0, 且S(A5) >0的E數(shù)列A5;() 若a1=12, n=2 000, 證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2 011;() 對任意給定的整數(shù)n(n2) , 是否存在首項為0的E數(shù)列An, 使得S(An) =0?如果存在, 寫出一個滿足

30、條件的E數(shù)列An;如果不存在, 說明理由. 59.(2011上海, 22, 18分) 已知數(shù)列an和bn的通項公式分別是an=3n+6, bn=2n+7(nN*) . 將集合x|x=an, nN*x|x=bn, nN*中的元素從小到大依次排列, 構(gòu)成數(shù)列c1, c2, , cn, . () 寫出c1, c2, c3, c4;() 求證:在數(shù)列cn中、但不在數(shù)列bn中的項恰為a2, a4, , a2n, ;() 求數(shù)列cn的通項公式. 60.(2007全國, 22, 12分) 已知數(shù)列an中a1=2, an+1=(-1) (an+2) , n=1, 2, 3, . () 求an的通項公式;()

31、若數(shù)列bn中b1=2, bn+1=, n=1, 2, 3, , 證明:<bna4n-3, n=1, 2, 3, . 61.(2007江蘇, 20, 16分) 已知an是等差數(shù)列, bn是公比為q的等比數(shù)列, a1=b1, a2=b2a1. 記Sn為數(shù)列bn的前n項和. () 若bk=am(m, k是大于2的正整數(shù)) , 求證:Sk-1=(m-1) a1;() 若b3=ai(i是某個正整數(shù)) , 求證:q是整數(shù), 且數(shù)列bn中的每一項都是數(shù)列an中的項;() 是否存在這樣的正數(shù)q, 使等比數(shù)列bn中有三項成等差數(shù)列?若存在, 寫出一個q的值, 并加以說明;若不存在, 請說明理由. 62.

32、(2007重慶, 21, 12分) 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和Sn滿足S1>1, 且6Sn=(an+1) (an+2) , nN*. () 求an的通項公式;() 設(shè)數(shù)列bn滿足an(-1) =1, 并記Tn為bn的前n項和, 求證:3Tn+1>log2(an+3) , nN*. 63.(2008山東, 19, 12分) 將數(shù)列an中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10記表中的第一列數(shù)a1, a2, a4, a7, 構(gòu)成的數(shù)列為bn, b1=a1=1. Sn為數(shù)列bn的前n項和, 且滿足=1(n2) . () 證明數(shù)

33、列成等差數(shù)列, 并求數(shù)列bn的通項公式;() 上表中, 若從第三行起, 每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列, 且公比為同一個正數(shù). 當(dāng)a81=-時, 求上表中第k(k3) 行所有項的和. 64.(2009天津, 22, 14分) 已知等差數(shù)列an的公差為d(d0) , 等比數(shù)列bn的公比為q(q>1) . 設(shè)Sn=a1b1+a2b2+anbn, Tn=a1b1-a2b2+(-1) n-1anbn, nN*. () 若a1=b1=1, d=2, q=3, 求S3的值;() 若b1=1, 證明:(1-q) S2n-(1+q) T2n=, nN*;() 若正整數(shù)n滿足2nq, 設(shè)k1,

34、 k2, , kn和l1, l2, , ln是1, 2, , n的兩個不同的排列, c1=b1+b2+bn, c2=b1+b2+bn, 證明:c1c2. 65.(2009重慶, 21, 12分) 設(shè)m個不全相等的正數(shù)a1, a2, , am(m7) 依次圍成一個圓圈. () 若m=2 009, 且a1, a2, , a1 005是公差為d的等差數(shù)列, 而a1, a2 009, a2 008, , a1 006是公比為q=d的等比數(shù)列;數(shù)列a1, a2, , am的前n項和Sn(nm) 滿足:S3=15, S2 009=S2 007+12a1, 求通項an(nm) ;() 若每個數(shù)an(nm)

35、是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項, 求證:a1+a6+>ma1a2am. 66. (2009北京, 20, 13分) 已知數(shù)集A=a1, a2, , an(1a1<a2<<an, n2) 具有性質(zhì)P:對任意的i, j(1ijn) , aiaj與兩數(shù)中至少有一個屬于A. () 分別判斷數(shù)集1, 3, 4與1, 2, 3, 6是否具有性質(zhì)P, 并說明理由;() 證明:a1=1, 且=an;() 證明:當(dāng)n=5時, a1, a2, a3, a4, a5成等比數(shù)列. 67. (2010全國, 22, 12分) 已知數(shù)列an中, a1=1, an+1=c-. () 設(shè)c=, bn=

36、, 求數(shù)列bn的通項公式;() 求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范圍.68.(2011天津, 20, 14分) 已知數(shù)列an與bn滿足bnan+an+1+bn+1an+2=0, bn=, nN*, 且a1=2, a2=4. () 求a3, a4, a5的值;() 設(shè)cn=a2n-1+a2n+1, nN*, 證明cn是等比數(shù)列;() 設(shè)Sk=a2+a4+a2k, kN*, 證明<(nN*) . 69. (2011四川, 20, 12分) 設(shè)d為非零實數(shù), an=d+2d2+(n-1) dn-1+ndn(nN*) . () 寫出a1, a2, a3并判斷an是否為等比數(shù)

37、列. 若是, 給出證明;若不是, 說明理由;() 設(shè)bn=ndan(nN*) , 求數(shù)列bn的前n項和Sn. 70. (2007上海, 20, 18分) 若有窮數(shù)列a1, a2, , an(n是正整數(shù)) , 滿足a1=an, a2=an-1, , an=a1即ai=an-i+1(i是正整數(shù), 且1in) , 就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”. () 已知數(shù)列bn是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”, 且b1, b2, b3, b4成等差數(shù)列, b1=2, b4=11, 試寫出bn的每一項;() 已知cn是項數(shù)為2k-1(正整數(shù)k1) 的“對稱數(shù)列”, 且ck, ck+1, , c2k-1構(gòu)成首項為50, 公差為-

38、4的等差數(shù)列, 記數(shù)列cn的前2k-1項和為S2k-1, 則當(dāng)k為何值時, S2k-1取到最大值?最大值為多少?() 對于給定的正整數(shù)m>1, 試寫出所有項數(shù)不超過2m的“對稱數(shù)列”, 使得1, 2, 22, , 2m-1成為數(shù)列中的連續(xù)項;當(dāng)m>1 500時, 試求其中一個數(shù)列的前2 008項和S2 008. 71.(2008江蘇, 19, 16分) () 設(shè)a1, a2, , an是各項均不為零的n(n4) 項等差數(shù)列, 且公差d0. 若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序) 是等比數(shù)列. (i) 當(dāng)n=4時, 求的數(shù)值;(ii) 求n的所有可能值. () 求證:對于給

39、定的正整數(shù)n(n4) , 存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b1, b2, , bn, 其中任意三項(按原來順序) 都不能組成等比數(shù)列. 72.(2009湖北, 19, 13分) 已知數(shù)列an的前n項和Sn=-an-+2(n為正整數(shù)) . () 令bn=2nan, 求證數(shù)列bn是等差數(shù)列, 并求數(shù)列an的通項公式;() 令cn=an, Tn=c1+c2+cn, 試比較Tn與的大小, 并予以證明. 73.(2010江蘇, 19, 16分) 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn. 已知2a2=a1+a3, 數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列. () 求數(shù)列an的通項公式(用n, d表示) ;() 設(shè)c

40、為實數(shù), 對滿足m+n=3k且mn的任意正整數(shù)m, n, k, 不等式Sm+Sn>cSk都成立, 求證:c的最大值為.74.(2010江西, 22, 14分) 證明以下命題:() 對任一正整數(shù)a, 都存在正整數(shù)b, c(b<c) , 使得a2, b2, c2成等差數(shù)列;() 存在無窮多個互不相似的三角形n, 其邊長an, bn, cn為正整數(shù)且成等差數(shù)列. 75. (2007湖南, 21, 13分) 已知An(an, bn) (nN*) 是曲線y=ex上的點, a1=a, Sn是數(shù)列an的前n項和, 且滿足:=3n2an+, an0, n=2, 3, 4, . () 證明:數(shù)列(n

41、2) 是常數(shù)數(shù)列;() 確定a的取值集合M, 使aM時, 數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列;() 證明:當(dāng)aM時, 弦AnAn+1(nN*) 的斜率隨n單調(diào)遞增. 76.(2007陜西, 22, 12分) 已知各項全不為零的數(shù)列ak的前k項和為Sk, 且Sk=akak+1(kN*) , 其中a1=1. () 求數(shù)列ak的通項公式;() 對任意給定的正整數(shù)n(n2) , 數(shù)列bk滿足=(k=1, 2, , n-1) , b1=1. 求b1+b2+bn. 77.(2008廣東, 21, 12分) 設(shè)p, q為實數(shù), , 是方程x2-px+q=0的兩個實根. 數(shù)列xn滿足x1=p, x2=p2-q, xn=p

42、xn-1-qxn-2(n=3, 4, ) . () 證明:+=p, =q;() 求數(shù)列xn的通項公式;() 若p=1, q=, 求xn的前n項和Sn. 78.(2008陜西, 22, 14分) 已知數(shù)列an的首項a1=, an+1=, n=1, 2, . () 求an的通項公式;() 證明:對任意的x>0, an-, n=1, 2, ;() 證明:a1+a2+an>. 79.(2009江西, 22, 14分) 各項均為正數(shù)的數(shù)列an, a1=a, a2=b, 且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m, n, p, q都有= . () 當(dāng)a=, b=時, 求通項an;() 證明:對任意a,

43、存在與a有關(guān)的常數(shù), 使得對于每個正整數(shù)n, 都有an. 答案1.A2.A 3.D 4.B 5. B 6. C 7.D 8. A 9. 10.36；3981 11.（）10；（）或， 12. 13.n2-2n+2 14.15.16.;(n+1) (n+2)17.(1) 2(2) 1 093 18. 19.1420.2n-1;3221.(1, 2) ;(3, 402) 22.4, 5, 32 23.2;n2 24.(1) ，.此兩式相減，得，化簡得.又，是公比為，首項為的等比數(shù)列.() .又時，通項公式（2）是正整數(shù)，.又按從小到大順序調(diào)整后可以構(gòu)成等差數(shù)列，所以公差.若，解得. 于是，.若，此

44、時方程無解，即不符合題意.若，解得. 于是，.綜上，若，則；若，則.(3) 因為，若，則.由，即對一切正整數(shù)成立，故. 這與是正整數(shù)矛盾.所以，此時不存在滿足條件的.若，則.由，即對一切正整數(shù)成立，得.所以，.綜上，可知存在滿足條件的正整數(shù)，且的最大值為40.25.由題知，即得.又由，解得.橢圓E的方程為：.假設(shè)存在以原點為圓心，為半徑的圓滿足條件.若圓的切線的斜率存在，并設(shè)其方程為，由消去，整理得.設(shè)，有又，算得，化簡得, 進(jìn)一步解得.所求圓的方程為.當(dāng)AB的斜率不存在時，, 有，代入. 此時仍有.綜上，總存在以原點為圓心的圓：滿足題設(shè)條件.因點A在橢圓上，故設(shè)，代入橢圓方程，得.又由于，可

45、設(shè),同理，得.所以，為定值. 26.（）f（x）=ex-a（x+1），f（x）=ex-a，a0，f（x）=ex-a=0的解為x=lnaf（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，f（x）0對一切xR恒成立，-alna0，alna0，amax=1（）設(shè)是任意的兩實數(shù)，且，故，不妨令函數(shù)，則上單調(diào)遞增.，恒成立.=.故. 9分（）由（1）知exx+1，取x=, 得1-即 .累加得(故存在正整數(shù)a=2使得.27.（）因為為非零整數(shù)）,故或，所以點的相關(guān)點有8個.又因為，即.所以這些可能值對應(yīng)的點在以為圓心，為半徑的圓上.（）依題意與重合,則，,即，,兩式相加得. （*）因為,故為

46、奇數(shù).于是（*）的左邊就是個奇數(shù)的和，因為奇數(shù)個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以一定為偶數(shù).（）令，依題意，因為.因為有，且為非零整數(shù)，所以當(dāng)?shù)膫€數(shù)越多，則的值越大.而且在這個序列中，數(shù)字的位置越靠前，則相應(yīng)的的值越大;而當(dāng)取值為1或的次數(shù)最多時，取2的次數(shù)才能最多，的值才能最大.當(dāng)時，令所有的都為1，都取2，則.當(dāng)時，若，此時，可取個1，個，此時可都取2，達(dá)到最大; 此時=.若, 令, 其余的中有個，個1.相應(yīng)的，對于，有, 其余的都為2，則.當(dāng)時，令則相應(yīng)的取則=+.綜上，28.（）由題意知，.4分（），檢驗知，滿足，又，數(shù)列是首項為1，公差等于1的等差數(shù)列，數(shù)列的通項公式. 7分（）由（）知，=，

47、又=，=，又，.12分29.()因為，所以不具有性質(zhì)P.因為，所以具有性質(zhì)P. 4分()因為集合具有性質(zhì)P：即對任意的，使得成立，又因為，所以，所以，所以，所以，6分將上述不等式相加得，所以. 9分()首先注意到，由（）知，又有性質(zhì)P知數(shù)集A的元素都是整數(shù).則可以設(shè)滿足性質(zhì)P的集合，或，此時集合A中所有元素的和為147.下面，我們證明147是集合A中所有元素和的最小值.假設(shè)數(shù)集，滿足最?。ù嬖谛燥@然，因為滿足的數(shù)集只有有限個）.第一步：首先說明集合中至少有個元素: 由()可知，又，所以，所以.第二步：證明，：先證明：若，則，設(shè)，為了使得最小，在集合中一定不含有元素，使得，從而；假設(shè)，根據(jù)性質(zhì)P

48、，對，有，使得，顯然, 所以，而此時集合中至少還有5個不同于的元素，從而，矛盾，所以，進(jìn)而，且；同理可證，.即.則.根據(jù)性質(zhì)P，有，使得，我們需要考慮如下幾種情形：, 此時集合中至少還需要一個大于等于4的元素，才能得到元素8，此時；，此時集合中至少還需要一個大于4的元素，才能得到元素7，此時；，此時集合的和是147；，此時集合的和是147. 綜上所得，數(shù)集中所有元素的和的最小值是147. 14分30.（1）當(dāng)時，解得當(dāng)時，即又為常數(shù)，且，數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列4分（2）由（1）得，是首項為，公差為1的等差數(shù)列，（）9分（3）由（2）知，則，得， 14分： 31.（）（1），.即.-（

49、3分）（2）由（1）得 .數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列. -（5分）（），.，.（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明：假設(shè)則，當(dāng)時，與（）矛盾.所以假設(shè)不成立，所以.假設(shè)則，當(dāng)時，與（）矛盾.所以假設(shè)不成立，所以.，.又，是公比為的等比數(shù)列.假設(shè)，則，則.又，即，解得.中至少有兩項相同，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，.-（10分）32.( 1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則有解得，數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列. 4分(2)由(1)可得，得， 10分(3)，當(dāng)時, 取最小值,，即，當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，由，解得,即實數(shù)的取值范圍是. 14分 33.（）由題意得，創(chuàng)新數(shù)列為，的所有數(shù)列有兩個，即數(shù)

50、列，；或數(shù)列，. 4分（）存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.理由如下：設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，是中的最大值，.由題意知，為中最大值，為中的最大值，所以，且.假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則且，當(dāng)時，為常數(shù)列，又，數(shù)列為，.即此時數(shù)列是首項為的任意一個符合條件的數(shù)列；8分當(dāng)時，為，.此時數(shù)列為，；10分當(dāng)時，=，即又，這與矛盾，即此時假設(shè)不成立，不是等差數(shù)列.即此時不存在使得它的創(chuàng)新數(shù)列為公差的等差數(shù)列. 13分綜上所得，存在數(shù)列：為以為首項的任意一個符合條件的數(shù)列，或為數(shù)列，時，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列： 34.()，3分，. 5分()方程有且只有一個實根. 理由如下：6分由()知，令,，又，所以在上至少有一個實根. 7分又,函數(shù)在R上單調(diào)遞減,函數(shù)在R上有且只有一個零點，即方程有且只有一個實根. 9分()，又，.猜測,即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列. 11分以下用數(shù)學(xué)歸納法證明且時,成立.(1)當(dāng)時,顯然有成立.(2)假設(shè)時,命題成立，即12分則時,，又在上是增函數(shù)，即時,命題成立. 13分綜合(1) ,(2)，且時, 成立. 數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列. 14分21本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分如果多做，則按所做的前兩