全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科全國卷Ⅱ及答案分析解答

1、2007年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）求值sin210=（）ABCD2（5分）函數(shù)y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間是（）ABCD3（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則z=（）A2+iB2iC2iD2+i4（5分）以下四個數(shù)中的最大者是（）A（ln2）2Bln（ln2）ClnDln25（5分）在ABC中，已知D是AB邊上一點，若=2，=，則=（）ABCD6（5分）不等式的解集是（）A（2，+）B（2，1）（2，+）C（2，1）D（，2）（1，+）7（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所

2、成角的正弦值等于（）ABCD8（5分）已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標(biāo)為（）A3B2C1D9（5分）把函數(shù)y=ex的圖象按向量=（2，3）平移，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則f（x）=（）Aex3+2Bex+32Cex2+3Dex+2310（5分）從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（）A40種B60種C100種D120種11（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（）ABCD12（5分）設(shè)F為拋

3、物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若+=，則的值為（）A3B4C6D9二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（1+2x2）（x）8的展開式中常數(shù)項為 14（5分）在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1，2），若在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則在（0，2）內(nèi)取值的概率為15（5分）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為cm216（5分）已知數(shù)列的通項an=5n+2，其前n項和為Sn，則=三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）在ABC中，已知內(nèi)角A=，邊BC=2，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y

4、（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；（2）求y的最大值18（12分）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P（B）19（12分）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點（1）求證：EF平面SAD（2）設(shè)SD=2CD，求二面角AEFD的大小20（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線：xy

5、=4相切（1）求圓O的方程（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍21（12分）設(shè)數(shù)列an的首項a1（0，1），an=，n=2，3，4（1）求an的通項公式；（2）設(shè)，求證bnbn+1，其中n為正整數(shù)22（12分）已知函數(shù)f（x）=x3x（1）求曲線y=f（x）在點M（t，f（t）處的切線方程（2）設(shè)a0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：abf（a）2007年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）（2007全國卷）求值sin210=（）

6、ABCD【分析】通過誘導(dǎo)公式得sin 210=sin（210180）=sin30得出答案【解答】解：sin 210=sin（210180）=sin30=故答案為D2（5分）（2007全國卷）函數(shù)y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間是（）ABCD【分析】畫出y=|sinx|的圖象即可得到答案【解答】解：根據(jù)y=|sinx|的圖象，如圖，函數(shù)y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間是，故選C3（5分）（2007全國卷）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則z=（）A2+iB2iC2iD2+i【分析】將復(fù)數(shù)z設(shè)a+bi，（a，bR），代入復(fù)數(shù)方程，利用復(fù)數(shù)相等的條件解出復(fù)數(shù)z【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，（a，bR）滿足=i，

7、1+2i=aib，z=2i，故選C4（5分）（2007全國卷）以下四個數(shù)中的最大者是（）A（ln2）2Bln（ln2）ClnDln2【分析】根據(jù)lnx是以e1為底的單調(diào)遞增的對數(shù)函數(shù)，且e2，可知0ln21，ln（ln2）0，故可得答案【解答】解：0ln21，ln（ln2）0，（ln2）2ln2，而ln=ln2ln2，最大的數(shù)是ln2，故選D5（5分）（2007全國卷）在ABC中，已知D是AB邊上一點，若=2，=，則=（）ABCD【分析】本題要求字母系數(shù)，辦法是把表示出來，表示時所用的基底要和題目中所給的一致，即用和表示，畫圖觀察，從要求向量的起點出發(fā)，沿著三角形的邊走到終點，把求出的結(jié)果和給

8、的條件比較，寫出【解答】解：在ABC中，已知D是AB邊上一點=2，=，=，=，故選A6（5分）（2007全國卷）不等式的解集是（）A（2，+）B（2，1）（2，+）C（2，1）D（，2）（1，+）【分析】首先不等式的分母可化為（x+2）（x2），不等式的分子和分母共由3個一次因式構(gòu)成要使得原不等式大于0，可等同于3個因式的乘積大于0，再可根據(jù)串線法直接求解【解答】解：依題意，原不等式可化為等同于（x+2）（x1）（x2）0，可根據(jù)串線法直接解得2x1或x2，故答案應(yīng)選B7（5分）（2007全國卷）已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于

9、（）ABCD【分析】根據(jù)正三棱柱及線面角的定義知，取A1C1的中點D1，B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值【解答】解：取A1C1的中點D1，連接B1D1，AD1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，B1D1面ACC1A1，則B1AD1是AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角，正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，故選A8（5分）（2007全國卷）已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標(biāo)為（）A3B2C1D【分析】根據(jù)斜率，對已知函數(shù)求導(dǎo)，解出橫坐標(biāo)，要注意自變量的取值區(qū)間【解答】解：設(shè)切點的橫坐標(biāo)為（x0，y0）曲線的一條切線的斜率為，y=，解得x0=3或x0=2（舍去，不符合題意）

10、，即切點的橫坐標(biāo)為3故選A9（5分）（2007全國卷）把函數(shù)y=ex的圖象按向量=（2，3）平移，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則f（x）=（）Aex3+2Bex+32Cex2+3Dex+23【分析】平移向量=（h，k）就是將函數(shù)的圖象向右平移h個單位，再向上平移k個單位【解答】解：把函數(shù)y=ex的圖象按向量=（2，3）平移，即向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后得到y(tǒng)=f（x）的圖象，f（x）=ex2+3，故選C10（5分）（2009湖北）從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（）A40

11、種B60種C100種D120種【分析】分2步進(jìn)行，首先從5人中抽出兩人在星期五參加活動，再從剩下的3人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動，分別計算其情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，首先從5人中抽出兩人在星期五參加活動，有C52種情況，再從剩下的3人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動，有A32種情況，則由分步計數(shù)原理，可得不同的選派方法共有C52A32=60種，故選B11（5分）（2007全國卷）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（）ABCD【分析】由題設(shè)條件設(shè)|AF2|=

12、1，|AF1|=3，雙曲線中2a=|AF1|AF2|=2，由此可以求出雙曲線的離心率【解答】解：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=t，|AF1|=3t，（t0）雙曲線中2a=|AF1|AF2|=2t，t，離心率，故選B12（5分）（2007全國卷）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若+=，則的值為（）A3B4C6D9【分析】先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再依據(jù)=0，判斷點F是ABC重心，進(jìn)而可求x1+x2+x3的值最后根據(jù)

13、拋物線的定義求得答案【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）拋物線焦點坐標(biāo)F（1，0），準(zhǔn)線方程：x=1=，點F是ABC重心則x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1（1）=x1+1|FB|=x2（1）=x2+1|FC|=x3（1）=x3+1|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故選C二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（2007全國卷）（1+2x2）（x）8的展開式中常數(shù)項為 42【分析】將問題轉(zhuǎn)化成的常數(shù)項及含x2的項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)

14、為0，2求出常數(shù)項及含x2的項，進(jìn)而相加可得答案【解答】解：先求的展開式中常數(shù)項以及含x2的項；由82r=0得r=4，由82r=2得r=5；即的展開式中常數(shù)項為C84，含x2的項為C85（1）5x2的展開式中常數(shù)項為C842C85=42故答案為4214（5分）（2007全國卷）在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1，2），若在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8【分析】根據(jù)服從正態(tài)分布N（1，s2），得到正態(tài)分布圖象的對稱軸為x=1，根據(jù)在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，根據(jù)根據(jù)隨機(jī)變量在（1，2）內(nèi)取值的概率與在（0，1）內(nèi)取值的概率相同，得到隨機(jī)變量在（0，

15、2）內(nèi)取值的概率【解答】解：測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1，s2），正態(tài)分布圖象的對稱軸為x=1，x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，隨機(jī)變量在（1，2）內(nèi)取值的概率與在（0，1）內(nèi)取值的概率相同，也為0.4，隨機(jī)變量在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8故答案為：0.815（5分）（2007全國卷）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為2+4cm2【分析】本題考查的知識點是棱柱的體積與表面積計算，由一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上如果正四棱柱的底面邊長為1cm，我們根據(jù)球的直徑等于棱柱的對角線長，我們可以求出棱柱的各棱的長度

16、，進(jìn)而得到其表面積【解答】解：由一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上正四棱柱的對角線的長為球的直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長為1cm，設(shè)正四棱柱的高為h，2R=2=，解得h=，那么該棱柱的表面積為2+4cm2故答案為：2+416（5分）（2007全國卷）已知數(shù)列的通項an=5n+2，其前n項和為Sn，則=【分析】由通項公式知該數(shù)列是等差數(shù)列，先求出首項和公差，然后求出其前n項和，由此能得到的值【解答】解：數(shù)列的通項an=5n+2，a1=3，a2=8，d=5其前n項和為Sn，則=故答案為：三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）（2007全國卷）在ABC中，已知內(nèi)角A=，邊BC=2

17、，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；（2）求y的最大值【分析】（1）由內(nèi)角A=，邊BC=2，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y，我們結(jié)合三角形的性質(zhì)，ABC的內(nèi)角和A+B+C=，ABC的周長y=AB+BC+AC，我們可以結(jié)合正弦定理求出函數(shù)的解析式，及自變量的取值范圍（2）要求三角函數(shù)的最值，我們要利用輔助角公式，將函數(shù)的解析式，化為正弦型函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值的求法進(jìn)行求解【解答】解：（1）ABC的內(nèi)角和A+B+C=，由得應(yīng)用正弦定理，知，因為y=AB+BC+AC，所以，（2）=，所以，當(dāng)，即時，y取得最大值18（12分）（2007全國卷）從某批產(chǎn)品中，有放回地

18、抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P（B）【分析】（1）有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品包括無二等品和恰有一件是二等品兩種情況，設(shè)出概率，列出等式，解出結(jié)果（2）由上面可以知道其中二等品有1000.2=20件取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品的對立事件是沒有二等品，用組合數(shù)列出結(jié)果【解答】解：（1）記A0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，

19、A1表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”則A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1p）2+C21p（1p）=1p2于是0.96=1p2解得p1=0.2，p2=0.2（舍去）（2）記B0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，則若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其中二等品有1000.2=20件，故19（12分）（2007全國卷）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點（1）求證：EF平面SAD（2）設(shè)SD=2CD，求二面角AEFD的大小【分析】法一：（1）作FGDC交SD于點G，則G

20、為SD的中點要證EF平面SAD，只需證明EF平行平面SAD內(nèi)的直線AG即可（2）取AG中點H，連接DH，說明DMH為二面角AEFD的平面角，解三角形求二面角AEFD的大小法二：建立空間直角坐標(biāo)系，平面SAD即可證明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本題【解答】解：法一：（1）作FGDC交SD于點G，則G為SD的中點連接，又，故為平行四邊形EFAG，又AG平面SAD，EF平面SAD所以EF平面SAD（2）不妨設(shè)DC=2，則SD=4，DG=2，ADG為等腰直角三角形取AG中點H，連接DH，則DHAG又AB平面SAD，所以ABDH，而ABAG=A，所以DH面AEF取EF中點M，連接MH，則HM

21、EF連接DM，則DMEF故DMH為二面角AEFD的平面角所以二面角AEFD的大小為法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz設(shè)A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0），取SD的中點，則平面SAD，EF平面SAD，所以EF平面SAD（2）不妨設(shè)A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），EF中點，又，所以向量和的夾角等于二面角AEFD的平面角所以二面角AEFD的大小為20（12分）（2007全國卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線：xy=4相切（1）求圓O的方程（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|、|P

22、O|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍【分析】首先分析到題目（1）中圓是圓心在原點的標(biāo)準(zhǔn)方程，由切線可直接求得半徑，即得到圓的方程對于（2）根據(jù)圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，列出方程，再根據(jù)點P在圓內(nèi)求出取值范圍【解答】解：（1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點O到直線的距離，即得圓O的方程為x2+y2=4（2）不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0），x1x2由x2=4即得A（2，0），B（2，0）設(shè)P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得，兩邊平方，可得（x2+y2+4）216x2=（x2+y2）2，化簡整理可得，x2y2=2=x24+y2=2（y21）由

23、于點P在圓O內(nèi)，故由此得y21所以的取值范圍為2，0）21（12分）（2007全國卷）設(shè)數(shù)列an的首項a1（0，1），an=，n=2，3，4（1）求an的通項公式；（2）設(shè)，求證bnbn+1，其中n為正整數(shù)【分析】（1）由題條件知，所以1an是首項為1a1，公比為的等比數(shù)列，由此可知（2）方法一：由題設(shè)條件知，故bn0那么，bn+12bn2=an+12（32an+1）an2（32an）=由此可知bnbn+1，n為正整數(shù)方法二：由題設(shè)條件知，所以由此可知bnbn+1，n為正整數(shù)【解答】解：（1）由，整理得又1a10，所以1an是首項為1a1，公比為的等比數(shù)列，得（2）方法一：由（1）可知，故bn0那么，bn+12bn2=an+12（32an+1）an2（32an）=又由（1）知an0且an1，故bn+12bn20，因此bnbn+1，n為正整數(shù)方法二：由（1）可知，因為，所以由an1可得，即兩邊開平方得即bnbn+1，n為正整數(shù)22（12分）（2007全國卷）已知函數(shù)f（x）=x3x（1）求曲線y=f（x）在點M（