高中數(shù)學(xué)易錯易混易忘知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)易錯、易混、易忘知識點總結(jié)高中數(shù)學(xué)易錯、易混、易忘知識點總結(jié)【易錯點易錯點 1】忽視空集是忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。例例 1、設(shè)設(shè)，若，若 A B = B，求實數(shù)，求實數(shù) a 組成的集合組成的集合.2|8150Ax xx|10Bx ax 綜上滿足條件的綜上滿足條件的 a 組成的集合為組成的集合為。1 10,3 5【練練 1】已知集合已知集合、，若，若，2|40Ax xx22|2110Bx xaxa BA則實數(shù)則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 。答案：。答案：或或。1a 1a 【易錯點易錯點 2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)

2、先的原則。求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例例 2、已知、已知, 求求的取值范圍的取值范圍.22214yx 22xy答案：答案：x2+y2的取值范圍是的取值范圍是1, 328【練練 2】若動點（若動點（x, y）在曲線）在曲線上變化，則上變化，則的最大值為的最大值為（ ）22214xyb0b 22xy（A）（B）（C）（D）24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：答案：A【易錯點易錯點 3】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點對稱。判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點對稱。例例 5、判斷函數(shù)判斷函數(shù)的奇

3、偶性。的奇偶性。2lg 1( )22xf xx解析：由函數(shù)的定義域為解析：由函數(shù)的定義域為定義域關(guān)于原點對稱，在定義域下定義域關(guān)于原點對稱，在定義域下易證易證 1,00,1 2lg 1xf xx即函數(shù)為奇函數(shù)即函數(shù)為奇函數(shù)。 fxf x 【練練 5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯點易錯點 4】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從

4、定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。例例 7、試判斷函數(shù)、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。的單調(diào)性并給出證明。 0,0bf xaxabx解析：由于解析：由于即函數(shù)即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在在上的單調(diào)上的單調(diào) fxf x f x f x0,性即可。設(shè)性即可。設(shè) ， 由于由于 故當故當120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x120 xx 時時，此時函數(shù)，此時函數(shù)在在上增函數(shù)，同理可上增函數(shù)，同理可12,bx xa 120f xf x f x,ba證函數(shù)證函數(shù)在在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)

5、，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為減函數(shù)，在 f x0,ba,0ba為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在在和和上分別為增函數(shù)，在上分別為增函數(shù)，在,ba f x,ba ,ba和和上分別為減函數(shù)上分別為減函數(shù).0,ba,0ba【練練 7】 （1） （濰坊市統(tǒng)考題）（濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在在 10 xf xaxaax f x上的單調(diào)性。上的單調(diào)性。 （2）設(shè)）設(shè)在在的最小值為的最小值為，求，求的解析式。的解析式。0, f x01x g a yg a答案：（答案：（1）函數(shù)在）函數(shù)在為增函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。為減函數(shù)。 （2）1,a10,a 12

6、101aayg aaa【易錯點易錯點 5】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤結(jié)論。結(jié)論?！揪毦?8】函數(shù)函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）2yxbxc0,xA、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：答案：A【易錯點易錯點 6】應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。值是否在定義域限制范圍之

7、內(nèi)。例例 9、 已知：已知：a0 , b0 , a+b=1,求求(a+)2+(b+)2的最小值的最小值。a1b1錯解錯解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2的最小的最小a1b121a21bab2abab1a1b1值是值是 8【易錯點分析易錯點分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等號成立的條件是，第一次等號成立的條件是 a=b=,21第二次等號成立的條件第二次等號成立的條件 ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8 不是最小值。不是最

8、小值。ab1解析：原式解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4=(1-2ab)21a21b21a21ba1b1ab2(1+)+4 由由 ab()2= 得：得：1-2ab1-=,且且16，1+17原式原式221ba2ba 412121221ba221ba17+4= (當且僅當當且僅當 a=b=時，等號成立時，等號成立)(a+)2+(b+)2的最小值是的最小值是。2122521a1b1225【知識歸類點拔知識歸類點拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一

9、正、二定、三一正、二定、三相等相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)?！疽族e點易錯點 7】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。數(shù)的真數(shù)的限制條件?！揪毦?10】設(shè)設(shè)，且，且試求函數(shù)試求函數(shù) y = log a (4 + 3x x2 )的的單調(diào)區(qū)間。的的單調(diào)區(qū)間。0a 1a 答案：當答案：當，函數(shù)在，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減在

10、上單調(diào)遞增當上單調(diào)遞增當函數(shù)在函數(shù)在上單上單01a31,23,421a 31,2調(diào)遞增在調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。上單調(diào)遞減。3,42【易錯點易錯點 8】 用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性【練練 11】不等式不等式ax的解集是的解集是(4,b)，則則a_，b_。x32答案：答案：（提示令換元（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于原不等式變?yōu)殛P(guān)于 t 的一元二次不等式的解集為的一元二次不等式的解集為）1,368abxt2, b【易錯點易錯點 9】已知已知求求時時, 易忽略易忽略 n的情況的情況nSna例例 12、數(shù)列、數(shù)列前前 n 項和項和且且。 （1）求）求的值及數(shù)

11、列的值及數(shù)列的通項公式。的通項公式。 nans1111,3nnaas234,a a a na答案：該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故答案：該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故。2111 423 3nnnan 【知識點歸類點拔知識點歸類點拔】對于數(shù)列對于數(shù)列與與之間有如下關(guān)系：之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系利用兩者之間的關(guān)系nans1112nnnsnassn可以已知可以已知求求。但注意只有在當。但注意只有在當適合適合時兩者才可以合并否則要寫分段函時兩者才可以合并否則要寫分段函nsna1a12nnnassn數(shù)的形式。數(shù)的形式?！揪毦?12】已知數(shù)列已知數(shù)列滿足滿足 a1 = 1, an = a1 + 2

12、a2 + 3a3 + + (n 1)an 1 (n 2),則數(shù)列則數(shù)列的通項的通項 na na為為 。答案：（將條件右端視為數(shù)列答案：（將條件右端視為數(shù)列的前的前 n-1 項和利用公式法解答即可）項和利用公式法解答即可）nna11!22nnann【易錯點易錯點 10】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前 n 項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從子集（從 1 開始）開始）【練練 13】設(shè)設(shè)是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，是前是前 n 項和，且項和，且，則下列結(jié)論錯誤的是（），則下列結(jié)論錯誤的是（） nans56ss6

13、78sssA、B、C、 D、和和均為均為的最大值。的最大值。0d 70a 95ss6s7sns答案：答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前 n 項和關(guān)于項和關(guān)于 n 的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯點易錯點 11】解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。例例 14、已知關(guān)于的方程、已知關(guān)于的方程和和的四個根組成首項為的四個根組成首項為的等差數(shù)列，求的等差數(shù)列，求230 xxa230 xxb34的值

14、。的值。ab【思維分析思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。何排列的。解析：根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：解析：根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：故故從而從而=。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【易錯點易錯點 12】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比的情況用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比的情況【練練 15】 （2005 高考全國卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列高考全國卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列的公比為的公比為 q，前，前 n

15、項和項和（1）求）求 q 的取值的取值 na0ns 范圍。范圍。答案：答案： 1,00,【易錯點易錯點 13】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前 n 項和不會采用錯項相減項和不會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位。法或解答結(jié)果不到位。【練練 16】已知已知 un = an + an 1b + an 2b2 + + abn 1 + bn , 當當時，求時，求,0,0nNabab數(shù)列數(shù)列的前的前 n 項和項和 nans答案：答案：時時當當時時.1a 21221221nnnnanaaasa1a 32nn ns【易錯點易錯點 1

16、4】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項求和方法時對裂項后抵消項不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項。的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項。例例 17、求、求nS321121111n3211答案：答案： 2 2n nn n + + 1 1【練練 17】 （2005 濟南統(tǒng)考）求和濟南統(tǒng)考）求和121222nS1414221616221)2(1)2(22nn答案：答案：715115131131111nS1211211nn122nnn【易錯點易錯點 15】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹

17、的邏輯思維。易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬎季S?！揪毦?18】 （1） （2000 全國）已知數(shù)列全國）已知數(shù)列,其中其中,且數(shù)列且數(shù)列為等比數(shù)列為等比數(shù)列.求常數(shù)求常數(shù) nc23nnnc 1nncpcp答案：答案：p=2 或或 p=3（提示可令（提示可令 n=1,2,3 根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于 p 的方程，再說明的方程，再說明 p 值對任意自然數(shù)值對任意自然數(shù)n 都成立）都成立）【易錯點易錯點 16】用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點的個數(shù)）時，易忽略討論二次項的系數(shù)是否為尤用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點的個數(shù)）時，易

18、忽略討論二次項的系數(shù)是否為尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.例例 19、已知雙曲線、已知雙曲線，直線，直線，討論直線與雙曲線公共點的個數(shù)，討論直線與雙曲線公共點的個數(shù)224xy1yk x綜上知當綜上知當或或時直線與雙曲線只有一個交點，當時直線與雙曲線只有一個交點，當且且。時。時1k 2 33k 2 32 333k1k 直線與雙曲線有兩個交點，當直線與雙曲線有兩個交點，當或或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。2 33k 2 33k 【知識點歸類點拔知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組

19、解的個數(shù)對應(yīng)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個數(shù)對應(yīng)于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于漸進線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于漸進線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線

20、與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一?！揪毦?19】 （1）已知雙曲線）已知雙曲線 C： ，過點，過點 P（1，1）作直線）作直線 l, 使使 l 與與 C 有且只有一個公共點，則滿足上述條有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線件的直線 l 共有共有_條。答案：條。答案：4 條（可知條（可知 kl存在時，令存在時，令 l: y-1=k(x-1)代入代入中整理有中整理有(4-k2)1422yxx2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0, 當當4-k2

21、=0即即k=2時，有一個公共點；當時，有一個公共點；當k2時，由時，由=0有有，有一個切點另：當，有一個切點另：當kl不存不存25k在時，在時，x=1也和曲線也和曲線C有一個切點有一個切點綜上，共有綜上，共有4條滿足條件的直線）條滿足條件的直線）【易錯點易錯點 17】易遺忘關(guān)于易遺忘關(guān)于和和齊次式的處理方法。齊次式的處理方法。sincos例 20、已知，求（1）；（2）的值.2tansincossincos22cos2cos.sinsin【易錯點易錯點 18】單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對此知識遺忘，應(yīng)用意識不強，另一方面易單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對此知識遺忘，應(yīng)用

22、意識不強，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯誤。將角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯誤。例例 21、下列命題正確的是（）、下列命題正確的是（）A、都是第二象限角，若都是第二象限角，若，則，則B、都是第三象限角，若都是第三象限角，若sinsintantan，則，則C、都是第四象限角，若都是第四象限角，若，則，則coscossinsinsinsinD、都是第一象限角，若都是第一象限角，若，則，則。tantancoscossinsin解析：解析：A、由三角函數(shù)易知此時角、由三角函數(shù)易知此時角的正切線的數(shù)量比角的正

23、切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即的正切線的數(shù)量要小即B、tantan同理可知同理可知C、知滿足條件的角、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要大即的正切線的數(shù)量要大即sinsin。正確。正確。D、同理可知應(yīng)為、同理可知應(yīng)為。tantansinsin【易錯點易錯點 19】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時。易將在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時。易將和和求錯。求錯。例例 23要得到函數(shù)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）的圖象（）sin 23yx1sin2yxA、 先將每個先將每個 x 值擴大到原來的值擴大到原

24、來的 4 倍，倍，y 值不變，再向右平移值不變，再向右平移個單位。個單位。3B、 先將每個先將每個 x 值縮小到原來的值縮小到原來的倍，倍，y 值不變，再向左平移值不變，再向左平移個單位。個單位。143C、 先把每個先把每個 x 值擴大到原來的值擴大到原來的 4 倍，倍，y 值不變，再向左平移個值不變，再向左平移個單位。單位。6D、 先把每個先把每個 x 值縮小到原來的值縮小到原來的倍，倍，y 值不變，再向右平移值不變，再向右平移個單位。個單位。146【易錯點易錯點 20】沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解

25、現(xiàn)象。例例 24、已知、已知，求求的值。的值。0,7sincos13tan解析：據(jù)已知解析：據(jù)已知（1）有）有，又由于，又由于，故有，故有7sincos131202sincos0169 0,，從而，從而即即sin0,cos0sincos0（2）聯(lián)立（）聯(lián)立（1）（）（2）可得）可得，可，可17sincos12sincos13125sin,cos1313得得。12tan5【易錯點易錯點 21】根據(jù)已知條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數(shù)值再求角的意識或確定角的三角根據(jù)已知條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數(shù)值再求角的意識或確定角的三角函數(shù)名稱不適當造成錯解。函數(shù)名稱不適當造成錯解。例

26、例 25、若、若，且，且、均為銳角，求均為銳角，求的值。的值。510sin,sin510解析：由解析：由且且、均為銳角知解析：由均為銳角知解析：由且且510sin,sin510510sin,sin510、均為銳角知均為銳角知,則則2 53 10cos,cos510由由、均為銳角即均為銳角即故故2 53 105102cos51051020,【易錯點易錯點 22】對正弦型函數(shù)對正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、的性質(zhì)：如圖象、sinyAxcosyAx對稱軸、對稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。對稱軸、對稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。例例 26、如果函數(shù)、如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線的

27、圖象關(guān)于直線對稱，那么對稱，那么 a 等于（等于（ ）sin2cos2yxax8x A. B. C.1 D.122【易錯點分析易錯點分析】函數(shù)函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與 y 軸平行，而軸平行，而sinyAx對稱中心是圖象與對稱中心是圖象與 x 軸的交點，學(xué)生對函數(shù)的對稱性不理解誤認為當軸的交點，學(xué)生對函數(shù)的對稱性不理解誤認為當時，時，y=0，導(dǎo)致解答出錯。，導(dǎo)致解答出錯。8x 解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為，故，故的最大值為的最大值為，依題意，依題意，21sin 2yaxy21a 直線直線是函數(shù)的對

28、稱軸，則它通過函數(shù)的最大值或最小值點即是函數(shù)的對稱軸，則它通過函數(shù)的最大值或最小值點即8x sincos44a，解得，解得.故選故選 D21a1a （法二）若函數(shù)關(guān)于直線（法二）若函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對稱則必有是函數(shù)的對稱則必有，代入即得，代入即得。8x 04ff1a 【練練 26】 （1） （2003 年高考江蘇卷年高考江蘇卷 18）已知函數(shù)）已知函數(shù)上上 R 上的偶函數(shù)，上的偶函數(shù)，)0 , 0)(sin()(xxf其圖象關(guān)于點其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求上是單調(diào)函數(shù)，求和和 的值的值.)0 ,43(M2, 0答案：答案：或或。2,232（2） （2005 全國

29、卷一第全國卷一第 17 題第一問）設(shè)函數(shù)的題第一問）設(shè)函數(shù)的， sin 2f xx圖象的一條對稱軸是直線圖象的一條對稱軸是直線，求，求 答案：答案：= yf x8x34【易錯點易錯點 23】利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角形解的個數(shù)。形解的個數(shù)。例例 27、在、在中，中，。求。求的面積的面積ABC30 ,2 3,2BABACABC解析：故相應(yīng)的三角形面積為解析：故相應(yīng)的三角形面積為或或.12 32sin3032s 12 322 32【知識點歸類點拔知識點歸類點拔】正弦定理

30、和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題（在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴格格單調(diào)，內(nèi)不嚴格格單調(diào)，0,此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)。如：在此時三角形解的情況可能

31、是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)。如：在中，已知中，已知 a,b 和和 A 解的情況如下：解的情況如下：ABC（1）當當 A 為銳角為銳角（2）若）若 A 為直角或鈍角為直角或鈍角【練練 27】如果滿足如果滿足，的三角形恰有一個的三角形恰有一個, 那么那么 k 的取值范圍是（）的取值范圍是（）60ABC2AC BCkA、B、C、D、或或8 3012k12k 012k8 3k 答案：答案：D【易錯點易錯點 24】含參分式不等式的解法。易對分類討論的標準把握不準，分類討論達不到不重不漏的目的。含參分式不等式的解法。易對分類討論的標準把握不準，分類討論達不到不重不漏的目的。例

32、例 29、解關(guān)于、解關(guān)于 x 的不等式的不等式1(a1).2) 1(xxa【易錯點分析易錯點分析】將不等式化為關(guān)于將不等式化為關(guān)于 x 的一元二次不等式后，忽視對二次項系數(shù)的正負的討論，導(dǎo)致錯解。的一元二次不等式后，忽視對二次項系數(shù)的正負的討論，導(dǎo)致錯解。解：綜上所述：當解：綜上所述：當 a1 時解集為時解集為(，)(2，+)；當；當 0a1 時，解集為時，解集為(2，)；當；當 a=012aa12aa時，解集為時，解集為；當；當 a0 時，解集為時，解集為(，2).12aa【易錯點易錯點 25】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯位求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯位【練練 30】已知函數(shù)已知函數(shù)的定義域

33、和值域分別為的定義域和值域分別為 R 試分別確定滿足試分別確定滿足 221212f xaxax條件的條件的 a 的取值范圍。答案：（的取值范圍。答案：（1）或或（2）或或1a 3a 31a 1a 【易錯點易錯點 26】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。例例 33、記、記，若不等式，若不等式的解集為的解集為，試解關(guān)于，試解關(guān)于 t 的不等式的不等式 2f xaxbxc 0f x 1,3。282ftft解析：不等式的解為：解析：不等式的解為：。33t 【練練 33】 （1）設(shè)函數(shù)）設(shè)函

34、數(shù),求使求使的的的的 x 取值范圍取值范圍。 f x| 1| 1|2xx f x22答案答案：x 取值范圍是取值范圍是),43【易錯點易錯點 27】涉及向量的有關(guān)概念、運算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯誤。涉及向量的有關(guān)概念、運算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯誤。例例 35、下列命題：、下列命題：|=|若若則則422|)()(aaabcacba)()(a bababb ,cac，則存在唯一實數(shù)，則存在唯一實數(shù) ，使，使若若，且，且，則，則設(shè)設(shè)是是ababcbcac oba 21,ee平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量，都存在唯一一組實數(shù)，都存在唯一一組實數(shù)

35、 x、y，使，使成立。成立。若若|a21eyexa+|=|則則=0。=0，則，則=或或=真命題個數(shù)為（真命題個數(shù)為（ ）a baba ba ba 0b 0A1B2C3D3 個以上個以上解析：解析：正確。正確。錯誤，錯誤，錯誤。錯誤。錯誤。錯誤。錯誤。錯誤。錯誤。錯誤。錯誤。錯誤。正確。正確。錯誤。錯誤。 答案：答案：B【易錯點易錯點 28】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運算的幾何意義解題時，數(shù)形結(jié)合的意識不夠，忽視隱利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運算的幾何意義解題時，數(shù)形結(jié)合的意識不夠，忽視隱含條件。含條件。例例 36、四邊形四邊形 ABCD 中，中，且，且ABBCCDDA，試問四邊形，試問四

36、邊形 ABCD 是什么圖形是什么圖形?解：四邊形解：四邊形 ABCD 是矩形是矩形【練練 36】 （1） （2003 高考江蘇）高考江蘇）O 是平面上一是平面上一 定點，定點，A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足滿足則則 P 的軌跡一定通過的軌跡一定通過 ABC 的的 （ ）)., 0|(ACACABABOAOPA外心外心B內(nèi)心內(nèi)心C重心重心D垂心垂心（2） （2005 全國卷文科）點全國卷文科）點 O 是三角形是三角形 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點，則點 O 是是的（的（）OAOCOCOBOBOAABC（A）三個內(nèi)角的角

37、平分線的交點）三個內(nèi)角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點）三條中線的交點（D）三條高的交點）三條高的交點答案：（答案：（1）B （2）D 【易錯點易錯點 29】忽視向量積定義中對兩向量夾角的定義。忽視向量積定義中對兩向量夾角的定義。例例 37、已知、已知中中,求求ABC5,8,7abcBCCA 答案：故據(jù)數(shù)量積的定義知答案：故據(jù)數(shù)量積的定義知.5 8cos12020BCCA 【知識點歸類點拔知識點歸類點拔】高中階段涉及角的概念不少高中階段涉及角的概念不少,在學(xué)習過程中要明確它們的概念及取值范圍在學(xué)習過程中要明確它們的概念及取值范圍,如直

38、線的傾如直線的傾斜角的取值范圍是斜角的取值范圍是，兩直線的夾角的范圍是，兩直線的夾角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是，0 ,1800 ,900 ,180異面直線所成的角的范圍是異面直線所成的角的范圍是，直線和平面所成的角的范圍是，直線和平面所成的角的范圍是二面角的取值范圍是二面角的取值范圍是0 ,900 ,90。0 ,180【易錯點易錯點 30】立體圖形的截面問題。立體圖形的截面問題。例例 56、正方體、正方體-，E、F 分別是分別是、的中點，的中點，p 是是上的動點（包括端點）上的動點（包括端點）ABCD1111A BC D1AA1CC1CC，過，過 E、D、P 作正方體

39、的截面，若截面為四邊形，則作正方體的截面，若截面為四邊形，則 P 的軌跡是（）的軌跡是（）A、 線段線段B、線段、線段C、線段、線段和一點和一點D、線段、線段和一點和一點 C。1C FCFCF1C1C F答案：選答案：選 C【知識點歸類點拔知識點歸類點拔】高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質(zhì)上對學(xué)生空間想象能力及對高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質(zhì)上對學(xué)生空間想象能力及對平面基本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查?？忌鶎@一類型的題感到吃力，實質(zhì)上高中平面基本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查?？忌鶎@一類型的題感到吃力，實質(zhì)上高中階段對作截面

40、的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個就是一條直線上有兩點在一平面階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個就是一條直線上有兩點在一平面內(nèi)則這條直線上所在的點都在這平面內(nèi)和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線（即交線）內(nèi)則這條直線上所在的點都在這平面內(nèi)和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線（即交線） （注意（注意該定理地應(yīng)用如證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點該定理地應(yīng)用如證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線則依據(jù)定理知交點在

41、第三條直線；諸點共線：即證明此諸點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線則依據(jù)定理知交點在第三條直線；諸點共線：即證明此諸點都是某兩平面的共公點即這此點轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上）據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi)通都是某兩平面的共公點即這此點轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上）據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi)通過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)作另一種方法

42、就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用。出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用?！揪毦?56】 （1） （2005 高考全國卷二）正方體高考全國卷二）正方體 ABCDA1 B1 C1 D1中，中，P、Q、R、分別是、分別是 AB、AD、B1 C1的中點。那么正方體的過的中點。那么正方體的過 P、Q、R 的截面圖形是（）的截面圖形是（）（A）三角形）三角形 （B）四邊形）四邊形 （C）五邊形）五邊形 （D）六邊形）六邊形 答案：答案：D （2）在正三棱柱）在正三棱柱-中，中，P、Q、R 分別是分別是、的中點，作出過

43、三點的中點，作出過三點ABC111A BCBC1CC11ACP、Q、R 截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形。截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形?！疽族e點易錯點 31】判斷過空間一點與兩異面直線成相等的角的直線的條數(shù)判斷過空間一點與兩異面直線成相等的角的直線的條數(shù)例例 57、 （93 全國考試）如果異面直線全國考試）如果異面直線 a、b 所在的角為所在的角為,P 為空間一定點，則過點為空間一定點，則過點 P 與與 a、b 所成的角所成的角50都是都是的直線有幾條？的直線有幾條？30A、一條、一條 B 二條二條 C 三條三條 D 四條四條解析：如圖，過點解析：如圖，過點

44、 P 分別作分別作 a、b 的平行線的平行線、，則，則、所成的角所成的角abab也為也為，即過點，即過點 P 與與、成相等的角的直線必與異面直線成相等的角的直線必與異面直線 a、b 成相成相50ab等的角，由于過點等的角，由于過點 P 的直線的直線 L 與與、成相等的角故這樣的直線成相等的角故這樣的直線 L 在在、aba確定的平面的射影在其角平分線上，則此時必有確定的平面的射影在其角平分線上，則此時必有b當當時，時，coscoscosAPBAPOOPBcos30coscos25APO有有，此時這樣的直線存在且有兩條當，此時這樣的直線存在且有兩條當時，有時，有cos30cos0,1cos25AP

45、O130BPC這樣的直線不存在。故選這樣的直線不存在。故選 Bcos30cos1cos65APO【練練 57】如果異面直線如果異面直線 a、b 所在的角為所在的角為,P 為空間一定點，則過點為空間一定點，則過點 P 與與 a、b 所成的角都是所成的角都是的直的直10050線有幾條？線有幾條？A、一條、一條 B 二條二條 C 三條三條 D 四條四條 答案：答案：C【易錯點易錯點 32】對于兩個平面平行的判定定理易把條件誤記為對于兩個平面平行的判定定理易把條件誤記為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行的兩條相交直線分別平行”，容易導(dǎo)致

46、證明過程跨步太大。，容易導(dǎo)致證明過程跨步太大。例例 59、如圖，在正方體、如圖，在正方體中，中，M、N、P 分別是分別是的中點，的中點，1111ABCDABC D11111,C C BC C D求證：平面求證：平面 MNP/平面平面1ABD0lCBbaAp【易錯點分析易錯點分析】本題容易證得本題容易證得 MN/,MP/BD，而直接由此得出而直接由此得出1AD面面1/MNPABD面解析：連結(jié)解析：連結(jié)分別是分別是的中點，的中點，111,B D B CP N1111,DC BC11/,PNB D11/,/B DBDPN BD又又同理：同理：11,/PNABDPNABD面平面1/,MNABDPNMN

47、N平面又。1/DMNABD平面平面【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】個平面平行問題的判定或證明是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問個平面平行問題的判定或證明是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題，即題，即“線面平行則面面平行線面平行則面面平行”，必須注意這里的，必須注意這里的“線面線面”是指一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面，定是指一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面，定理中的條件缺一不可。理中的條件缺一不可?！揪毦?59】正方體正方體中，中， （1）M，N 分別是棱分別是棱1111ABCDABC D的中點，的中點，E、F 分別是棱分別是棱的中點，的中點，求證：求證：1

48、111,AB AD1111,BC C DE、F、B、D 共面；共面；平面平面 AMN/平面平面 EFDB平面平面/平面平面11AB D1C BD證明：（證明：（1）則則 E、F、B、D 共面。共面。1111/,/,EFB D B DBDEFBD易證：易證：MN/EF，設(shè)，設(shè)1111,ACMNP ACEFQ ACBDO/,/PQAO PQAOPAOQ/AMNEFDB平面平面連結(jié)連結(jié) AC，為正方體，為正方體，同，同1111ABCDABC DACDB11,AAABCDACBD平面理可證理可證于是得于是得11ACBC111!1,ACC BDACABD平面同理可證平面111/AB DC BD面面【易錯

49、點易錯點 33】求異面直線所成的角，若所成角為求異面直線所成的角，若所成角為，容易忽視用證明垂直的方法來求夾角大小這一重，容易忽視用證明垂直的方法來求夾角大小這一重090要方法。要方法。例例 60、 （2001 全國全國 9）在三棱柱）在三棱柱中，若中，若，則，則111ABCABC12ABBB所成角的大小為（所成角的大小為（ ）A、 B、 C、 D、11ABC B與0600900105075【易錯點分析易錯點分析】忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當而浪費很多時間。忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當而浪費很多時間。【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，

50、對特殊的角，求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，對特殊的角，如如時，可以采用證明垂直的方法來求之。時，可以采用證明垂直的方法來求之。090【練練 60】 （2005 年浙江年浙江 12）設(shè)設(shè) M，N 是直角梯形是直角梯形 ABCD 兩腰的中點，兩腰的中點，于于 EDEAD（如圖）（如圖） ，現(xiàn)將，現(xiàn)將沿沿 DE 折起，使二面角折起，使二面角ADE為為，此時點，此時點 A 在平面在平面 BCDE 內(nèi)的內(nèi)的ADEB045射影恰為點射影恰為點 B，則，則 M，N 的連線與的連線與 AE 所成的角的所成的角的大小等于大小等于 。解析：易知解析：易知取取 AE 中點中點 Q，連，連 MQ，BQ0045 ,90 ,AEBABEABBE，N 為為 BC 的中點的中點11/,/,22MQDE MQDE DEBC DEBC，即，即 M，N 連線與連線與 AE 成