廣東第二師范學(xué)院第四屆數(shù)學(xué)建模競賽題參考解答

1、廣東第二師范學(xué)院第四屆數(shù)學(xué)建模競賽題參考解答一、最大補(bǔ)鈣某人需要補(bǔ)充礦物質(zhì)，現(xiàn)有甲、乙兩種膠囊，這兩種膠囊都含有礦物質(zhì)鈣、鐵、鋅、鈉、鉀，甲種膠囊每顆含有礦物質(zhì)鐵、鋅、鈉、碘、鈣別離是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg ;乙種膠囊每粒含有礦物質(zhì)鐵、鋅、鈉、碘、鈣別離是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg. 假設(shè)這人天天攝入礦物質(zhì)鐵最多19 mg,礦物質(zhì)鋅最多13 mg,礦物質(zhì)鈉最多 24 mg,礦物質(zhì)碘至少12 mg,那么他天天應(yīng)服兩種膠囊各多少粒才能知足維生素的需要量，并能取得最大量的 礦物質(zhì)鈣？解：設(shè)該人天天服用甲種膠囊為x粒，乙種膠囊y粒，取得礦物質(zhì)鈣 Z m

2、g,由題意得數(shù)學(xué)模型為：maxZ 5x 2yx3y19x2y13,4x y24st .4x3y12x 0y 0（10分）這是一個整線性計劃問題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域為：由直線 x3y19, x 2y 13, 4x y 24, 4x 3y 12取得最大值.4xy 24x 2y13解方程組x y ,得M點的坐標(biāo)為（5, 4）,現(xiàn)在 Z=5*5+2*4=33 （m©故天天應(yīng)服5粒甲種膠囊，4粒乙種膠囊才能知足礦物質(zhì)的需要量，且能取得最大量的礦物質(zhì)鈣。-（25分）二、劇院選址某電影公司打算在新建城區(qū)建一所電影院， 讓周圍七個居民區(qū)的居民就近觀看電影。 七 個居民區(qū)之間的道路如以下圖所示，

3、 電影院應(yīng)建在哪個居民區(qū)， 才能使大伙兒都方便？ （圖 中距離單位：百米）。(2分)解：用dijstra算法求出各居民區(qū)之間的最短距離di ji , J從Vi到VViV2V VV5V V7d(Vi)= maxdi j1 J 7,7di,jj 1V0 3 4 5 7 8 101037V23 0 3 2 4 5 7724V34 3 0 5 5 6 8831V45 2 5 0 2 3 55(min)22(min)V57 4 5 2 0 1 3722(min)V68 5 6 3 1 0 2825W10 7 8 5 3 2 01035-（18 分）從上表可見應(yīng)選擇 V4作為建電影院的地址。如此最遠(yuǎn)的居民

4、區(qū)離電影院也只有500米,而且各居民區(qū)到電影院的總距離最短。-（25分）三、持續(xù)投資某工廠打算投資a （百萬元）用于購進(jìn)I型和n型兩種生產(chǎn)線，I型生產(chǎn)線每套售價b（百萬元），n型生產(chǎn)線每套售價 c （百萬元）.假設(shè)貝進(jìn)x套I型生產(chǎn)線和y套n型生產(chǎn)線， 可使該廠新增年產(chǎn)值2-A 9=L（x,y） x4y 4 （百萬元）當(dāng)a=144,b=4,c=3,問該廠應(yīng)當(dāng)別離購進(jìn)I型和H型兩種生產(chǎn)線個多少套，能使該廠新增年產(chǎn)值最大,并求此最大值?解：構(gòu)造Fbxcy那么Fx,43 dy4 x4dx - y 414b0(1)3Fy4c0(2)Fbxcya0(3)其中d2.6"V由(1)、(2)得3dTy

5、X34(4)(5)(4)與(5)相乘，取得d4cb33d4(6)x,y的值.(8)把(6)代入(4) (5),假設(shè)a=144,b=4,c=3時，可得x99(6)代入(5),取得 一 一即x - y y44(7)代入(3),取得 y = 12(8)代入(7),取得 x = 27注意到，函數(shù)F僅有唯一的駐點(27, 12 )，且依照問題的實際意義可知必然存在最大值，故最大值必在駐點處取得，即別離購進(jìn)A型生產(chǎn)線27套和B型生產(chǎn)線12套可使新增 年產(chǎn)值最大，且新增年產(chǎn)值的最大值為maxL = 36 (百萬元)四、對流隔熱為了在冬季供暖和夏日降溫時，動物生長的均流池減少能源損耗，均流池的池壁需要建造對流

6、隔熱層，某均流池要建造可利用20年的對流隔熱層，每厘米厚的對流隔熱層建造本錢為6萬元.該均流池每一年的能源消花費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)知足關(guān)系：C(x) = -(0 w x w 1明設(shè)不建對流隔熱層，每一年能源消花費(fèi)用為8萬元.設(shè)3x I 5f(x)為對流隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消花費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式.(2)對流隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.解：(1)設(shè)對流隔熱層厚度為 x cm,由題設(shè)，每一年能源消花費(fèi)用為C(x) =k-,3x+5一，一一 .40再由C(0) = 8,得k=40,因此C(x)=-,而建造費(fèi)用為 C1

7、(x)=6x.3x + 5最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消花費(fèi)用之和為f(x) = 20C(x) + C (x) = 20 1 十1' 3x+ 56x= 78007 + 6x(0WxWl0)(2)f '釵6 2400 2，令 f ' (x)0,即 2400 2 =6,解得 x=5, 3x+5(3x 5)(3x 5)25 .x=§(舍去).當(dāng) 0Vx<5 時，f ' (x)<明 5Vx<10 時，f ' (x)>0 x=5 是 f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5) = 6X5+-800- = 70.當(dāng)隔熱層修建5

8、 cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值 70萬元.15 + 5五、投彈演練小的速度水平飛行，炸彈投出后，在空中受到阻力的大小與炸彈的速度成正比，比例系 數(shù)為kgm,飛機(jī)的飛行方向指向轟炸目標(biāo)，假設(shè)要使炸彈的威力達(dá)到最大，飛機(jī)應(yīng)該在離 轟炸目標(biāo)水平距離多遠(yuǎn)處投下炸彈?OA解：設(shè)時刻為0時刻時，飛機(jī)投下炸彈，現(xiàn)在飛機(jī)和炸彈在。點，過。點做垂線垂直于地面，與地面相交于 A點，設(shè)目標(biāo)所在位置為 B點，以過O、A、B三點的平面為坐標(biāo)平面， 以拋出點。為原點，飛機(jī)的速度方向為x軸正方向，垂直向下為 y軸正方向成立坐標(biāo)系，如上圖所示，要使炸彈的威力達(dá)到最大， 在B點炸彈的速度與水平方向夾角應(yīng)為 3 ,那么t時，炸彈的

9、速度為V(t),其方向與x軸正方向的夾角為Vt.y設(shè)MD在x方向的投影大小為 力(母 在y方向的投影大小為為 牙。.阻力在x方向的投影大 小為在y方向的投影大小為京芋，那么依照牛頓第二定律有:7n7r = 一 刃?。︰iW其中：?。?#163;） = 。年 ms&J%® =9金疝1。）倨=rco* cm（佻）匕=zco* 8口那么有以下微分方程：f d%(血鼻 = -E因= mg -其中 二0 二.利用分離變量法解得vjt) =%金T',利用常數(shù)變易法解得% =臂(1一士).設(shè)炸彈抵達(dá)B點的時刻為七日,則-： vae-edt”口。1手=三%(1 一 力而在B點處應(yīng)該有

10、望2二"""E：=cot (?). 叫詈自_£喧丐 )故.,最終I AB | = r0 （1 e e六、通力合作正所謂術(shù)業(yè)有專攻，三個工程隊都希望通力合作，各自抽調(diào)一名優(yōu)秀員工，合作完成 各自工程的一個小項目.假設(shè)每一個工程隊抽調(diào)的優(yōu)秀員工別離記作甲、乙、丙，三人同意 依照下面的方案每人工作 10150元至200元之間，他們?nèi)绱藫Q工，三家老板都以為自己的收支平穩(wěn).此刻依照下表計算他們各自的日工資是多少?每人完成的工作日甲乙丙在甲所在的隊216在乙所在的隊451在內(nèi)所在的隊443解：“價錢” J,乙日工資為P2,丙日工資為P3.因為收支平穩(wěn)，因此他們在這10天內(nèi)各人的總收入等于支出，例如，對甲來講，若是不被抽調(diào)在自己的工程隊，老板應(yīng)支付收入為10P1,而甲參與合作后，完成三家項目的總收入為2 pl P2 6P3,收支平穩(wěn)能夠成立一個方程，一樣對乙、丙來講都有相應(yīng)的方程， 于是取得方程組（數(shù)學(xué)*II型）：2Pi P2 6 P3 1