對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn)識(shí)

1、對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn) 識(shí)日期:對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn)識(shí)摘要：通過對(duì)兩個(gè)重要極限重要性的理解和認(rèn)識(shí)，總結(jié)有關(guān)兩個(gè)重要極限的論文成果，指出兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，主張學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)不僅局限于課本，要培養(yǎng)提高探究問題的能力 ，系統(tǒng)全面的看待問題，深刻細(xì)致的體會(huì)微積分思想的嚴(yán) 謹(jǐn)性。關(guān)鍵詞：重要極限；重要性；證明；應(yīng)用1.緒論兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算和整個(gè)微積分思想中起著舉足輕重的作用，目前，關(guān)于這方面的分析已經(jīng)很成熟，有關(guān)于它們的來源，證明 ，應(yīng)用和深入擴(kuò)展，本 文系統(tǒng)的總結(jié)了部分具有代表性的成果，從而可以直觀全面的認(rèn)識(shí)和體會(huì)兩個(gè)重要 極限的重要性，對(duì)剛接

2、觸極限理論，沒有深入認(rèn)識(shí)兩個(gè)重要極限的學(xué)生來說，具有指 導(dǎo)意義。lim 沁 1 它 lim（1 丄）x ex 0 x匕 Xx數(shù)學(xué)分析課程在講述關(guān)于兩個(gè)重要極限時(shí)，著重強(qiáng)調(diào)了它在整個(gè)極限計(jì)算中有重要地位。能將許多復(fù)雜的極限計(jì)算迅速簡(jiǎn)化，應(yīng)用非常靈活。因此，這兩個(gè)重要的極限可 以說是全部微積分學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)，其重要性就不難理解了。試想，若沒有它們, 那么只要遇見微積分相關(guān)的計(jì)算題，必須用最基本的方法，有些還不一定求得 出來，更不用說由它們推廣出的更復(fù)雜的應(yīng)用了。2.兩個(gè)重要極限的證明兩個(gè)重要極限是極限理論的重要內(nèi)容，也是解決極限問題的一種有效方法, 在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，起著重要作用，了解它們的證明方法對(duì)

3、充分理解和認(rèn)識(shí)它們是十 分必要的，它的證明過程也是對(duì)兩邊夾定理及單調(diào)有界數(shù)列必有極限這一準(zhǔn)則的恰 當(dāng)應(yīng)用。2.1第一個(gè)重要極限：X叫乎1證明：作單位圓，如圖1:1(1A圖1設(shè)X為圓心角AOB ,并設(shè)0?見圖不難發(fā)現(xiàn):S AOBS扇形 aOBS AOD ,即：si nx2 21tanx,即sinx x tanx,21亠丄sinx cosxCOSXsin X 1X(因?yàn)? X ,所以上不等式不改變方向)2當(dāng)X改變符號(hào)時(shí)，cosx, sin X及1的值均不變,故對(duì)滿足0 IX-的一切24sin XX,有 cosx X又因?yàn)镃OSX(1 COSX)1 2si n2G)22所以 1 cosx 12lim

4、 cosxX 0而 lim cosx lim 11X 0X 0lim s1x 0 X,證畢。12 . 2第二個(gè)重要極限：lim(1 -)xXX先考慮X取正整數(shù)時(shí)的情形:lim (1n丄)nn對(duì)于b a0,有不等式：b(n1)bn,即:bn1an 1(n 1)bn(ba),bn(n 1)a nb即:n 1 a(n 1)a nb n 1 sin X0 x(1e1 (n 1)1將其代入,所以(1丄)n ,所以nlimXlim (11)xX1 11)n為單調(diào)數(shù)列, n(12nii)(n所以1(12n)n(1即對(duì)n,X2n又對(duì)(1記作Xn。1)a nb2n 1)2n1(1;)o )2n,2n_)2n 2

5、2n 2)(1(n所以 (1 1/ 是有界的。n由單調(diào)有界定理知lim (1-)n存在,并使用e來表示,X n1即 lim (1 -)n e X n2.718281828459045X ( R)， y ax(a 0,a1),y loga x(a 0,a1),y = si n X, y=co s x, y=tan x,y=cot x,y= a rc ta n x,lim f(X X) f(x)x 0X(3.1)當(dāng)這一極限存在時(shí)，其值就是f'(x。但這僅僅是停留在導(dǎo)數(shù)定義上的，如果 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都要計(jì)算極限3.1的話，顯然是非常復(fù)雜和繁瑣的，勢(shì)必限制導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)

6、，并不都需要計(jì)算極限3.1,而只需根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則就可以很方便地求得任何一個(gè)初等函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)。因此，兩個(gè)重要極限對(duì)于以上六類基本初等函數(shù)的求導(dǎo)起到了至關(guān)重要的 作用。3 .兩個(gè)重要極限在微分學(xué)中的重要性在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們熟悉的基本初等函數(shù)有以下五類： 錯(cuò)誤! 幕函數(shù)y 錯(cuò)誤! 指數(shù)函數(shù) 錯(cuò)誤! 對(duì)數(shù)函數(shù) 錯(cuò)誤! 三角函數(shù)反三角函數(shù) y=arc s i nx, y = a rc cosx， y= a rc tan x, y=arc c otx。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則混合運(yùn)算與符合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)，微積分中我們經(jīng)常需要計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分學(xué)的基本概念

7、一一 導(dǎo)數(shù)是建立在極限概念基礎(chǔ)上的。即求一個(gè)函數(shù) f(x)在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)f'(x)，就是計(jì)算極限關(guān)于基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，我們可以大致分為三類函數(shù)：第一類是幕函數(shù)第二類是三角函數(shù)和反三角函數(shù)，第三類是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。對(duì)于第一類函數(shù)的求導(dǎo)，要利用二項(xiàng)式定理和導(dǎo)數(shù)定義便求得。對(duì)于第二類函數(shù)的求導(dǎo)，需要sin x利用到lim0s1這個(gè)重要極限。對(duì)于第三類函數(shù)的求導(dǎo)，需要利用到X這個(gè)極限。lim (1-)x lxm 0loga(1 ；)x求得了(logax)'以后，指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的求導(dǎo)公式就容易得出了?？梢姡瑑蓚€(gè)重要極限在導(dǎo)出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的過程中 ，特別是涉及 三角函數(shù)的

8、過程中起到了關(guān)鍵性的作用， 沒有這兩個(gè)重要極限，兩類函數(shù)的求導(dǎo) 公式就不可能得出。兩個(gè)重要極限在初等函數(shù)求導(dǎo)過程中起到了重要的紐帶作用 ex x下面來看一看基本求導(dǎo)公式是如何得來的。3 .1重要極限在三角函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用以正弦函數(shù)S1 n X的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)為例.由導(dǎo)數(shù)的定義(sinx)'lim sin(x X)sin(x)2cos(x x) sinx lim22L0xxcosx1 cosxX sin 虧 limcos(x )2sinxi t2 lims 1(令 txL0 t2求得(si n X )' =cosx后,其余的三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式就可以 利用多個(gè)求導(dǎo)法

9、則得到了。3.2重要極限在指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用其次，再看看對(duì)數(shù)函數(shù)logaX的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程。由導(dǎo)數(shù)定義其中應(yīng)用了第一個(gè)重要極限xmo乎1，即 lXm02x)o(logax)' lim 0loga(x x) logax呃JogaU1x -)x lim0loga(1x x 01lim -loga(1 X-0x牢 Zlogaex x1xln a其中應(yīng)用了第二個(gè)重要極限lim(1丄)xxe,即e (令x/因?yàn)橥频拐液瘮?shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的過程中要用到這兩個(gè)極限，而所有的初等函數(shù)都可以從這兩類函數(shù)以及它們的反函數(shù)出發(fā)， 經(jīng)過有限的四則運(yùn)算復(fù)合 得到。因此，從這兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

10、出發(fā)，利用函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合和反函數(shù)求導(dǎo) 法則，就能求得全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。再由于積分是微分的逆運(yùn)算，可以得到基 本積分表，依靠他們能算出大量初等函數(shù)的積分?？梢哉f，兩個(gè)重要極限可以說是全部微分積分學(xué)的基礎(chǔ)，在微積分的計(jì)算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用,所以這兩個(gè)重要極限極其重要。4.1兩個(gè)重要極限在一元極限中的應(yīng)用0第一個(gè)重要極限實(shí)際上是兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限。0 0 得這一不定的結(jié)果，因此稱這一類型的極限為重要極限是屬于1型未定式。若分子分母分別求極限便4.兩個(gè)重要極限在計(jì)算中的應(yīng)用型未定式。類似地，第二個(gè)00綜上所述,可以得出這樣的結(jié)論，凡是含有三角函數(shù)的 型未定式和1 型未定式，我們都

11、可不妨用兩個(gè)重要極限來試試 ，看能否求出它的結(jié)果，以下舉例來說明如何應(yīng)用這兩個(gè)重要極限于極限運(yùn)算中的。.2 x 解：limoVUlim 竺/ x 0 xx 0 x2.2X sin lim - x 0 x 22(2)2lim -x 0 2xsi n 2x2xsin-.2 AX22例2 求 limtanx sinxx 0蘇. tanx sin x _ 解:xim)； = limx33-xsin Xcosx0 x3si nx=limx 0 xsinxxim0limx 0 cosx1 cosxSinx cosx3x1 cosx1lim2x 0 x22例3 求 lim(1 -)x x x22解：令-x

12、= t，則 x= ±xt當(dāng)x 時(shí)t 0,于是1M 2=e-解：令3 x=1 + u ,則 x=2-1.2 Xu當(dāng)X時(shí)u0,于是lim (3x2丄)x = lim(1 u) ux 2y.u0x=limiu 01(1 u)u1 2 11 luim0(1 u)2=e例5 求 lim(1 tanx)cotX.解：設(shè) t=ta12 X，則一 =c ot Xt當(dāng)X0時(shí)t0，Ui叫0于是 Hm(1 tanx)cotX = lim (1何1翱=呵(11" 例4 求 lim(-X)X .x 2 X1u) u (1 u)21t)t=e.4. 2兩個(gè)重要極限在二元函數(shù)極限中的應(yīng)用4.2 . 1重

13、要極限lim沁X 0 X1的應(yīng)用極限lim Sn止衛(wèi)u(x,y) 0 u(x, y)1是一元函數(shù)第一個(gè)重要極限的推廣，其中(X, y)(Xo,yo)時(shí)，u(x,y)0,把u(x, y)看作新變量t，考慮極限過程t 0。|isi n(x3例1求極限(xy)叫0,0)X23y)解：(gg(xj)叫,0)sin (x3y3)y33Xy22Xy(3lim)0sn(X y )0 X y(腫0,0)33Xy22xy極限運(yùn)算過程中第一個(gè)等號(hào)是一個(gè)恒等變形。我們?cè)O(shè) f (x, y)in(X一共，定義域是 DX y(x,y)(x,y)(0,0)。.z 3 3 3 3再設(shè) fi(x,y) Si叫 y)x2 y2X

14、 y X y定義域DiX, y (x, y)(0,0)且y x ,顯然有Di可以看到，從函數(shù)f(x,y)到fi(x,y)定義域變小了，但f(x,y) ,fi(x,y)分別在各自證明如下:的定義域D與Di內(nèi)，當(dāng)(x, y)(0,0)時(shí)，可以證明極限都是存在的,(1)以下是對(duì)f(x,y)sin(x3y3)在定義域D(x,y)(x,y)(0,0)內(nèi)極限的證明。因?yàn)楫?dāng)(x,y)(0,0)時(shí)，有:33xy22xy2x 2x y /33,Sin(x y )2 2X y=0所以由夾逼準(zhǔn)則得lim Sin(x3y3)(x,y)(0,0)fi(x,y)sin(33Xy ) X332X y X yDi x,y (

15、x,y)(0,0)且 yx ,內(nèi)極限的存在性，由極限的四則運(yùn)算法則容易知在定義域D (X, y) (x, y) (0,0)內(nèi)極限存在，那么極限道，并且其值易算得為0. 既然 f (x, y) Sin(X322 ，X y X y y3)關(guān)系(Di D ),知道在Di D必唯一。我們可以在D內(nèi)任找(x, y)(0,0)的方式來計(jì)算出極限值。由D與Di的Di中兩函數(shù)相等，所以在求極限找(x, y)(0,0)的方式時(shí)，我們可以在Di( DiD)中找，顯然，兩函數(shù)的極限是相等的。f(x,y)fi(x,y).z 33 33Sin(Xy ) X y|i sin(X y )但是,(x,y)m(0,0)x2y2

16、.,33、33Sin(X y ) X yI I I I IQQOO(x,y) (0,0)X3y3X2yxjim 0,0) fi(x,y)是成立的。所以在(x,y)(0,0)時(shí)，兩函數(shù)的極限是相等的。同理可以計(jì)算下面例子。|im sinxy例 2 求極限(xy) (oo) y1 2sin u(X, y) u(x, y);1 cosu(x,y) 尹 (x, y);In 1 u(x, y) u(x, y); tan u(x, y) u(x, y);u(x,y) A/1 u(x, y)解:lim 沁(x,y)(0,0) ylim 沁 Xlim 沁 lim x1 0 0。(x,y) (0,0) xyxy

17、 0 xy (x,y) (0,0)在一元函數(shù)中由第一個(gè)重要極限可以得到幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小，推廣到二元函數(shù)中得到：u X, y 0同一元函數(shù)一樣，等價(jià)無(wú)窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用。例求極限(xJy解： lim(x,y)(0 ,0= lim 楚=0)tan(X y)(x,y) (0，)x y例4求極限lim 1 cos(x2y2)(x,y) (0,0)Z 22 2 2(X y )x y解:(x,y)im(0,0)y5x2y2f ,y)im(0,0)1/222尹y) 1,2 T. 22(x y )x y 24. 2.2重要極限lim (1x-)xex極限lim (1u(x,y)例5求極限lim

18、 (1(x,y) ( ,1)x217一)x解：（xjim ,1）（1X2一丿XX211 X Rxlim (1-)(X,y) ( ,1) 'X（x,y）m（ ,1）(1 丄)XXlim_X_(x,y)( ，1) X y1e e對(duì)于二元函數(shù)極限的運(yùn)算方法除了利用兩個(gè)重要極限以外，還有多種方法，比 如利用不等式，使用夾逼準(zhǔn)則；利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限的運(yùn)算法則；同時(shí)還可以 用路徑的方法判斷極限不存在，但是在使用這些方法時(shí)往往不是孤立使用的，通常會(huì) 多種方法綜合使用，來解決二元函數(shù)的極限問題。本文通過舉例主要討論了兩個(gè)重要極 限在二元函數(shù)極限中的應(yīng)用，并給出了二元函數(shù)極限運(yùn)算中幾個(gè)常見的無(wú)窮小的等價(jià) 代換公式及其應(yīng)用，更加深了對(duì)兩個(gè)重要極限在二元函數(shù)極限運(yùn)算中作用的理解，以 便更好的解決二元函數(shù)的極限問題。5.總結(jié)關(guān)于兩個(gè)重要極限的公式本身十分簡(jiǎn)單，但由它們上面卻引出許多的話題.關(guān)于它用某個(gè)與自的證明方法還有很多，本文選取了最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的證法，還談及了它們的一些應(yīng)用，這些 話題都反映一個(gè)共同思想：在研究函數(shù)在一點(diǎn)的無(wú)窮小領(lǐng)域內(nèi)