初中九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題26分而治之

1、初中九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題26分而治之分類討論閱讀與思考在解決某些數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，需要將問題所涉及的所有對象按一定的標(biāo)準(zhǔn)，分成若干類，然后逐類 討論，才能得出正確的解答，這種解題方法稱為分類討論法.運(yùn)用分類討論法解題的關(guān)鍵是如何正確進(jìn)行分類.正確分類的標(biāo)準(zhǔn)是：對所討論的全體分類要不重復(fù)，又不遺漏”；在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；對于多級討論，應(yīng)逐級進(jìn)行.初中數(shù)學(xué)分類討論問題的常見形式有：1 . 一些定義、定理、公式和法則有范圍或條件的限制，在使用過程中必須討論；2 .題設(shè)條件中含有變量或參數(shù)時(shí)，必須根據(jù)變量或參數(shù)的不同取值進(jìn)行討論；3 . 一些問題的圖形位置或形狀不確定時(shí)，

2、只有通過討論，才能保證結(jié)論的完整性；4 . 一些問題的條件沒有明確給出或結(jié)論不唯一時(shí)，只有通過討論，才能保證解答的嚴(yán)密性；5 .對于自然數(shù)問題，有時(shí)須按剩余類分類討論.例題與求解【例1】如圖，在 RtAABC中，/ C=90, AC=3, BC=4.若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜 邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 R的取值范圍是 .(北京市宣武區(qū)中考試題)解題思路：圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓與斜邊相切或圓與斜邊相交.【例 2】 解方程：| X - 2 | + | X+3 | =x +10.X的取值范圍進(jìn)行分類討解題思路：解絕對值方程的關(guān)鍵是去方程左邊的絕對值符號，這就要對 論.需分下列三種情況：

3、 X W 3;3v X W2;x2.【例3】若關(guān)于X的方程(6 - k)(9 - k)x2 - (117- 15k)x +54=0的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)k的值有.(全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)解題思路：用因式分解法可得到根的簡單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定k的值才能全面而準(zhǔn)確.【例4】如圖，已知 4ABC中，AB=5, BC=3, AC=4, PQ/AB, P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn) A, C不重合）， Q在BC上.（1）當(dāng)APQC的面積與四邊形 PABQ的面積相等時(shí)，求 CP的長；（2）當(dāng)APQC的周長與四邊形 PABQ的周長相等時(shí)，求 CP的長；（3

4、）試問：在AB上是否存在點(diǎn) M,使得4PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長.（福州市中考試題）解題思路：對于（3）,使4PQM為等腰直角三角形有兩種情況：一是以PQ為直角邊，二是以 PQ為斜邊.【例5】證明：每個(gè)大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個(gè)大于 1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.（全國初中數(shù)學(xué) 聯(lián)賽試題）解題思路：由于自然數(shù)可分為奇數(shù)、偶數(shù)兩大類，因此，很容易考慮到按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論.【例6】設(shè)a和b是相異實(shí)數(shù)，證明：存在整數(shù)m和n,使得am bn 0, bm an 0. （加 拿大中學(xué)生競賽試題）解題思路：a, b為相異實(shí)數(shù)，則必有 ab0或ab0兩種情況.能力訓(xùn)

5、練6 .已知a+b= 8, ab=8,化簡bJE aa =.（內(nèi)江市中考試題）7 .已知實(shí)數(shù)a, b滿足以a2-7a+2=0, a2-7b+2=0,則上 色的值為（淮陰市中考a b試題）8 .在4ABC 中過 A 作4ABC 的高，垂足為 D.若/ BAD=55, /CAD=25,則/ BAC=9 .在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn) A（2, 2）, B （2, 3）,點(diǎn)P在y軸上，且4APB為直角三角形， 則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為.（河南省競賽誠題）10 平面上 A, B兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2J3與2+J3,則線段中點(diǎn)C至IJ直線l的距離是.11 以線段 AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為 O, C是半圓圓周

6、上的一點(diǎn)，且OC2=AC BC,則/ CAB=.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）12 如圖，在兩直角三角形中，/ ACB=/ADC=90, AC=娓，AD=2.當(dāng)AB=時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似.第11題圖8,已知方程m2 x 2 （2m 3） x +1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是S ,則S的取值范圍 是. （天津市中考試題）9.關(guān)于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0 , x2+（2m+1） x +m2=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是（）A. m 2424C. 一一vmvD. m 一4222（四川省選拔賽試題）10 .如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5溝的正方形點(diǎn)陣中，橫縱方向相鄰的兩

7、個(gè)點(diǎn)之間的距離都是 1個(gè)單 位.定義：由點(diǎn)陣中 4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫陣點(diǎn)平行四邊形，圖中以 A, B為頂點(diǎn)，面積為 2的 陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為 （）A. 3個(gè)B. 6個(gè) C. 7個(gè)D. 9個(gè)（武漢市四月調(diào)考試題）11 .如圖，矩形 ABCD中，AB=7, AD =3, BE=2EC,若F是AB上的點(diǎn)，使以 F, A, D為頂點(diǎn)的 三角形和以F, B, E為頂點(diǎn)的三角形相似，則這樣的點(diǎn) 5有（）（紹興市競賽試題）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)12 .下面是某同學(xué)在一次測驗(yàn)中解答的填空題：若 x2=a2,則 x=a.方程2x（x 1）=x1的解為x=0.若直角三角形有兩邊長分別為

8、3和4,則第三邊長為 5其中答題完全正確的題目個(gè)數(shù)為（）D. 3個(gè)（重慶市中考試題）A . 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)13 .在半徑為5cm的圓內(nèi)有長為5 0, kw（）的圖象經(jīng)過線段 BC的中點(diǎn)D.x（1）求k的值；（2）若點(diǎn)P（x,y）在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動 （不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)P作PRy軸于點(diǎn)R,作PQXBC 所在直線于點(diǎn) Q,記四邊形COPR的面積為S,求S關(guān)于x的解析式并寫出x的取值范圍.Ay18 .已知4ABC中，BC=6 cm, CA=8 cm, / C=90,動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒 1 cm的速度沿CA, AB運(yùn)動到B點(diǎn).(1)設(shè)P從C開始運(yùn)動的距離為 x cm,(2)從

9、C出發(fā)幾秒時(shí)，Sabcp=-Saabc?4 BCP的面積為y cm2,把y表示成x的函數(shù);(荊州市中考試題)P19 .如圖，已知。Oi與。O2外切于點(diǎn)O,以直線OiO2為x軸，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 直線AB切OOi于點(diǎn)B,切。O2于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C(0, 2),交x軸于點(diǎn)M; BO的延長線交。2于點(diǎn) D,且 OB: OD=1: 3.(1)求。O2的半徑長；(2)求直線AB的解析式；(3)在直線AB上是否存在點(diǎn)P,使AMO2P與AMOB相似？若存在，求出 P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在， 說明理由.(吉林省中考試題)D20 .已知拋物線11： y=ax22amx+am2+2m+1(a0, m0)

10、的頂點(diǎn)為A,拋物線12的頂點(diǎn)B在y軸上, 且拋物線l1和拋物線l2關(guān)于點(diǎn)P(1 , 3)成中心對稱.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求l2的解析式和 m的值；(2)設(shè)l2與x軸正半軸的交點(diǎn)是 C,當(dāng)4ABC為等腰三角形時(shí)，求 a的值.(浙江省競賽試題)21 .已知定理： 若三個(gè)大于3的質(zhì)數(shù)a, b, c滿足關(guān)系式2a+5b=c,則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù), 試問：上述定理中的整數(shù) n 的最大可能值是多少？并證明你的結(jié)論（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）22 .如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方），證明：（1） 2a ， 2b 都是整數(shù)；（2） a， b ， c 都是整數(shù)，并且 c 是平方數(shù)反過來，如果（2）成立，是否對一切 x的整數(shù)值，ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）23. 2 007個(gè)質(zhì)點(diǎn)均勻分布在半徑為R的圓周上，依次記為Pi, P2, P3,，P2007.小明用紅色按如下規(guī)則去涂這些點(diǎn)：設(shè)某次涂第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則下次就涂第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)后面的第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)按此規(guī)則，小明能否將所有的質(zhì)點(diǎn)均涂成